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1、关于常微分方程基本概念第一页，讲稿共九十八页哦2022/10/142n300多年前，由牛顿多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，
2、因为人们不太可能观察到运很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程动的全过程.然而，运动物体然而，运动物体(变量变量)与它的瞬时变化率与它的瞬时变化率(导数导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自下面的例子，将会使你看到微分
3、方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言然规律的一种最为自然的数学语言.第二页，讲稿共九十八页哦2022/10/143定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数(或微分或微分)的方程的方程，一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程，有有时时简简称称为为方方程程，未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微分方程微分方程称做常微分方程称做常微分方程，未未知知函函数数是是多多元元函函数数的的微分方程微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程.本本教教材材仅仅讨讨论论常常微微分分方程，并简称为微分方程方程，并简称为微分方程.(1)y=kx,k 为常数；为常数；例例如如
4、，下下列列方方程程都都是是微微分分方方程程(其其中中 y,v,均均为为未未知函数知函数).).(2)(y-2xy)dx+x2 dy=0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；第三页，讲稿共九十八页哦2022/10/144微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶.例如，方程例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，为一阶微分方程，通常，通常，n 阶微分阶微分方程的一般形式为方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0，其中其中 x 是自变量，是自变量，y 是未知函数，是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，是已知函数
5、，而且一定含有而且一定含有 y(n).(4)(5)方程方程(4)-(5)为二阶微分方程为二阶微分方程.第四页，讲稿共九十八页哦2022/10/145定义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解叫做该方程的解.二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解 若若微微分分方方程程的的解解中中含含有有任任意意常常数的个数与方程的阶数相同数的个数与方程的阶数相同，且且任任意意常常数数之之间间不不能能 合合 并并，则则 称称 此此 解解 为为 该该 方方 程程 的的通通 解解(或或 一一 般般 解解).当当通通解解中中
6、的的各各任任意意常常数数都都取取特特定定值值时时所所得得到到的的解解，称称为为方方程程的的特解特解.例例如如方方程程 y =2x 的的解解 y=x2+C 中中含含有有一一个个任任意意常常数数且与该方程的阶数相同，且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件如果求满足条件 y(0)=0 的解，代入通解的解，代入通解 y=x2+C 中，中，得得 C=0，那么，那么 y=x2 就是方程就是方程 y =2x 的特解的特解.第五页，讲稿共九十八页哦2022/10/146二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是即即 y(x0)=y0 与与 y(x0)=y
7、 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.用用来来确确定定通通解解中中的的任任意意常常数数的的附附加加条条件件一一般般称称为为初初始条件始条件.通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是第六页，讲稿共九十八页哦2022/10/147例例 1 验证函数验证函数 y=3e x xe x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数，的导数，y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y，y 及及 y
8、 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x=0，即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所所以该函数是所给二阶微分方程的解给二阶微分方程的解.第七页，讲稿共九十八页哦2022/10/148 得得 C=2，故故所所求求特特解为解为 y=2x2.例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解 为为 y=Cx2 (C 为为任任意意常常 数数)，并并 求求 满满 足足 初初 始始 条条 件件 y|x=1=2 的的 特特 解解.解解 由由 y=Cx2 得得y =2Cx,将将 y 及及 y 代代入入原原方
9、方程程的的左左、右右两两边边，左边有左边有 y=2Cx，所所 以以 函函 数数 y=C x2 满满 足足 原原 方方 程程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数，所所以以 y=Cx2 是是一一阶阶微微分方程分方程将初始条件将初始条件 y|x=1=2 代入通解，代入通解，第八页，讲稿共九十八页哦2022/10/149例例 3设设一一个个物物体体从从 A 点点出出发发作作直直线线运运动动，在在任任一一时时刻刻的的速速度度大大小小为为运运动动时时间间的的两两倍倍.求求物物体体运运动动规规律律(或称运动方程或称运动方程)解解首先建立坐标系：取首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点，
10、点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向(如图如图)，并设物体在并设物体在时刻时刻 t 到达到达 M 点，其坐标为点，其坐标为 s(t).显显然然，s(t)是是时时间间 t 的的函函数数，它它表表示示物物体体的的运运动动规规律律，是是本本题题中中待待求求的的未未知知函数，函数，s(t)的导数的导数 s(t)就是物体运动的速度就是物体运动的速度 v(t).由题意，知由题意，知v(t)=2t，以及以及s(0)=0.ASOMs(t)第九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1410因为因为 v(t)=s(t)，因此，求物体的运动方程已化成了，因此，求物体的运动方程已化成了
11、求解初值问题求解初值问题 积分后，得通解积分后，得通解 s(t)=t2+C.故初值问题的解为故初值问题的解为 s(t)=t2，也是本题所求的物体的运动方程也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件再将初始条件 代入代入通解中，得通解中，得 C=0，第十页，讲稿共九十八页哦2022/10/1411例例 4已已知知直直角角坐坐标标系系中中的的一一条条曲曲线线通通过过点点(1,2)，且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点 P(x,y)处处的的切切线线斜斜率率等等于于该该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y=y(x)，根根据据导
12、导数数的的几几何意义及本题所给出的条件，何意义及本题所给出的条件，y =y2，即即积分得积分得又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得，代入上式，得所以，求此曲线的方程为所以，求此曲线的方程为得得第十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1412一一般般地地，微微分分方方程程的的每每一一个个解解都都是是一一个个一一元元函函数数 y=y(x)，其其图图形形是是一一条条平平面面曲曲线线，我我们们称称它它为微分方程的为微分方程的积分曲线积分曲线.通通解解的的图图形形是是平平面面上上的的一一族族曲曲线，称为线，称为积分曲线族积分曲线族，特特解解的的图图形形是是积积分分曲曲线线族族中
13、的一条确定的曲线中的一条确定的曲线.这这就就是是微微分分方方程程的的通通解与特解的几何意义解与特解的几何意义.第十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1413一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程第六章微第六章微第六章微第六章微 分分分分 方方方方 程程程程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次方程二、齐次方程二、齐次方程二、齐次方程第十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/1414一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,
14、y,y)=0.第十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1415一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如y =f(x)g(y)的微分方程，称为的微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式，的形式，第十五页，讲稿共九十八页哦2022/10/1416(2)两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，积函数的一个
15、原函数，而把积分所带来的任意常数明而把积分所带来的任意常数明确地写上确地写上.第十六页，讲稿共九十八页哦2022/10/1417例例 1 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解第十七页，讲稿共九十八页哦2022/10/1418例例 2 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得化简得化简得第十八页，讲稿共九十八页哦2022/10/1419另外，另外，y=0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为
16、任意常数为任意常数.中中 的的 C2 可可 以以 为为 0，这样，方程的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得第十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1420例例 3 求求方方程程 dx+xydy=y2dx+ydy 满满足足初初始始条条件件 y(0)=2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量，得分离变量，得两边积分，有两边积分，有第二十页，讲稿共九十八页哦2022/10/1421化简，得化简，得即即将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入，代入，为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为第二十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1422例例 4解解
17、分离变量得分离变量得即即第二十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1423两边积分，得两边积分，得经整理，得方程的通解为经整理，得方程的通解为也可写为也可写为第二十三页，讲稿共九十八页哦 形如方程称为齐次方程,求解方法:二、可化二、可化为变量分离方程量分离方程类型型第二十四页，讲稿共九十八页哦例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得第二十五页，讲稿共九十八页哦两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为第二十六页，讲稿共九十八页哦例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得第二十七页，讲稿共九十八页哦两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为第二十八页
18、，讲稿共九十八页哦2022/10/1429三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y，且，且均为均为 y 或或 y 的一次项的一次项.它的特点是：右它的特点是：右边是已知函数，边是已知函数，第二十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1430称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程，简简称称线线性性齐齐次次方
19、方程程，0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分方程，为一阶线性非齐次微分方程，简称简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 Q(x)若若 Q(x)0，则方程成为，则方程成为第三十页，讲稿共九十八页哦2022/10/14311 1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程.两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得第三十一页，讲稿共九十八页哦2022/10
20、/1432例例 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x)=sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则第三十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1433例例 7求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 满足初始条件满足初始条件 y|x=1=e 的特解的特解.解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1)=e 代入通解，代入通解，得得
21、C=1.故所求特解为故所求特解为第三十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/14342 2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，将将 y=C(x)y1(其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程 y +P(x)y=0 的的解解)及及其其导导数数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入方程代入方程则有则有即即第三十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1435因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x)均为已知函数，均
22、为已知函数，代入代入 y=C(x)y1 中，得中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得所以可以通过积分求得第三十五页，讲稿共九十八页哦2022/10/1436且且 含含 有有 一一 个个 任任 意意 常常 数数，所所 以以 它它 是是 一一 阶阶 线线 性性 非非 齐齐 次次 方方 程程的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法，是是将将常
23、常数数 C 变变为为待待定定函函数数 C(x)，再通过确定再通过确定 C(x)而求得方程解的方法，称而求得方程解的方法，称为为常数变易法常数变易法.第三十六页，讲稿共九十八页哦2022/10/1437例例 8 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为的通解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设设所所给给线线性性非非齐齐次次方方程程的的解解为为第三十七页，讲稿共九十八页哦2
24、022/10/1438于是，有于是，有因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为解法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：第三十八页，讲稿共九十八页哦2022/10/1439则则代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为第三十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1440例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程的通解为的通解为第四十页，讲稿共九十八页哦2022/10/1441设所给线
25、性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得第四十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1442因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p)=1 代入，得代入，得 C=p p，所所 以以，所所求的特解，即初值问题的解为求的特解，即初值问题的解为第四十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1443例例 10求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x=x(y)的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程，程
26、，它的自由项它的自由项 Q(y)=1.第四十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/1444代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为即所求通解为第四十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1445第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例例例 1 设设曲曲线线过过点点(1,1)，且且其其上上任任意意点点 P 的的切切线线在在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.解解设设所所求求的的
27、曲曲线线方方程程为为 y=y(x)，P(x,y)为其上任意点，为其上任意点，则则过过点点 P 的的切切线线方方程程为为其中其中(X,Y)是切线上动点是切线上动点,(x,y)是曲线上任意固定的点是曲线上任意固定的点.xyOP(x,y)L第四十五页，讲稿共九十八页哦2022/10/1446令令 X=0，得切线在，得切线在 y 轴上的截距为轴上的截距为 Y=y-xy，y-xy =3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为这是一阶线性齐次方程，其通解为因曲线过点因曲线过点(1,1).代入方程，得代入方程，得 C=1.所以曲线方程为所以曲线方程为由题意得由题意得第四十六页，讲稿共九十八页哦2022/10/14
28、47例例 2 设设跳跳伞伞员员开开始始跳跳伞伞后后所所受受的的空空气气阻阻力力与与他他下下落的速度成正比落的速度成正比(比例系数为常数比例系数为常数 k 0)，起起跳跳时时的的速速度度为为 0.求求下下落落的的速速度度与与时时间间之之间间的的函函数数关关系系.解解设下落速度为设下落速度为 v(t)，则则加加速速度度 a=v (t)运运动动，物体所受的外力为：物体所受的外力为：F=mg kv，于是，由牛顿第二定律可得于是，由牛顿第二定律可得 mg-kv=mv ，第四十七页，讲稿共九十八页哦2022/10/1448又由题意得初始条件又由题意得初始条件v|t=0=0，可见，初值问题可见，初值问题 是
29、一个一阶是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为线性非齐次微分方程，其通解为由由 v(0)=0 得得 C=mg.即为所求的函数关系即为所求的函数关系.所以，特解所以，特解第四十八页，讲稿共九十八页哦2022/10/1449例例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，物物体体的的初初始始温温度度为为 200 C，且由，且由 200 C 冷却到冷却到 100 C 需要需要 40 s.已知已知(冷却定律冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比：冷却速率与物体和介质的温度差成正比.其介质其介质(冷却剂冷却剂)温度始终保持为温度始终保持为 10 C，并并求求物物
30、体体温温度降到度降到 20 C 所需的时间所需的时间.解解设物体温度为设物体温度为 =(t)，则则物物体体的的冷冷却却速速率率为为 (t).由冷却定律可得由冷却定律可得 (t)应满足的微分方程为应满足的微分方程为 (t)=-k (t)-10(k 0)，试求物体温度试求物体温度 与时间与时间 t 的函数关系的函数关系,第四十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1450另由题意知另由题意知 (t)所满足的初始条件为所满足的初始条件为|t=0=200.于是，初值问题是于是，初值问题是解此初值问题，得特解解此初值问题，得特解(t)=10+190e-kt.因此，得因此，得由于由于 (40)=100，即
31、即 100=10+190e-40k，第五十页，讲稿共九十八页哦2022/10/1451最后，将最后，将 =20 代入上式，代入上式，即物体温度降到即物体温度降到 20 C 大约需要大约需要 2 min38 s.从而得物体温度从而得物体温度 与时间与时间 t 的函数关系为的函数关系为并解出并解出第五十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1452一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第四节第四节第四节第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线
32、性微分方程二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例第五十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1453一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称称为为自自由由项项，当当 f(x)0 时时，称称为为二二阶
33、阶线线性性非非齐齐次次微微分分方程方程，简称简称二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程.当当 f(x)恒恒为为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，简简称称二二阶阶线线性性齐齐次次方程方程.方方程程中中 p(x)、q(x)和和 f(x)都都是是自自变变量量的的已已知知连续函数连续函数.这这类类方方程程的的特特点点是是：右右边边是是已已知知函函数或零，左边每一项含数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y，且且每每项项均均为为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项，例例如如 y +xy +y=x2 就就是是二二阶阶线性非齐次方程线性非齐次方程.而而 y +x(y)2
34、+y=x2 就就不不是是二二阶阶线线性性方程方程.第五十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/1454定定理理 1如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是线线性性齐齐次次方方程程的的两两个个解，解，y=C1 y1+C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因因为为 y1 与与 y2 是是方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的两两个解，个解，与与所以有所以有其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数第五十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1455于是有于是有y +p(x)y +q(x)y=0所以所以 y=C1y1+C2y2 是是 y +p(x)y +q(x)y=0
35、 的解的解.第五十五页，讲稿共九十八页哦2022/10/1456定定义义设设函函数数 y1(x)和和 y2(x)是是定定义义在在某某区区间间 I 上上的的两两个个函数，函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，行的方法，即看它们的比是否为常数，事事实实上上，当当 y1(x)与与 y2(x)线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，其其中中 k1,k2 不全为不全为 0，如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常
36、数 k1和和 k2，使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上是上是线线性相关性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.第五十六页，讲稿共九十八页哦2022/10/1457即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数.反反之之，若若y1 与与 y2 之之比比为为常常数数，则则 y1=l l y2，即，即 y1-l l y2=0.所以所以 y1 与与 y2 线线性相关性相关.因因此此，如如果果两两个个函函数数的的比比是是常常数数，则则它它们们线线性相关；性相关；例例如如函函数数 y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性所以，它们是
37、线性无关的无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.第五十七页，讲稿共九十八页哦2022/10/1458定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以，由定理所以，由定理 1 知知 y=C1 y1+C2 y2 也是该方程的解也是该方程的解.又因为又因为 y1 与与 y2 线性无关，即线性无关，即 y
38、1 与与 y2 之比不为常数，之比不为常数，故故C1 与与C2不能合并为一个任意常数，不能合并为一个任意常数，因此因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.所所以以它它们们中中任任一一个个都都不不能能用用另另一一个个(形形如如 y1=ky2 或或 y2=k1 y)来表示来表示.第五十八页，讲稿共九十八页哦2022/10/1459定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程的一个特解，是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.证证因为因为 y*与与 Y 分别
39、是线性非齐次方程分别是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)和线性齐次方程和线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以有所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y +p(x)Y +q(x)Y=0.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则第五十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1460又因为又因为 y =Y +y*，y =Y +y*，所以所以y +p(x)y +q(x)y =(Y +y*)+p(x)(Y +y*)+q(x)(Y+y*)=(Y +p(x)Y +q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)
40、y*)=f(x).第六十页，讲稿共九十八页哦2022/10/1461求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求求线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的线线性性无无关的两个特解关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1+C2 y2.(2)求求线线性性非非齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的的一一个特解个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y=Y+y*.又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，是二阶线性齐次方程的通解，它含
41、有两个任意常数，故故 y=Y+y*中含有两个任意常数中含有两个任意常数.即即 y=Y+y*是是线线性性非齐次方程非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的通解的通解.这说明函数这说明函数 y=Y+y*是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，第六十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1462y +p(x)y +q(x)y=f1(x)+f2(x)，y +p(x)y +q(x)y=f1(x)，和和y +p(x)y +q(x)y=f2(x)则则是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，第六十二页，讲稿共九十八页哦2022/10
42、/1463证证因为因为 y1*与与 y2*分别是分别是 与与 的特解，的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f 1(x)，与与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f 2(x).于是有于是有=f 1(x)+f 2(x)，所以有所以有=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*即即 y1*+y2*满足方程满足方程，第六十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/1464二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +
43、qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则则称称该该方方程程为为二二阶阶常常系系数数线线性性微分方程微分方程.第六十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1465设二阶常系数线性齐次方程为设二阶常系数线性齐次方程为y +py +qy=0.考虑到左边考虑到左边 p，q 均为常数，均为常数，我我们们可可以以猜猜想想该该方方程程具具有有 y=erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 为待定常数为待定常数.将将 y =rerx,y =r2erx 及及 y=erx 代入上式，代入上式，erx(r2+pr+q)=0.1 1.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线
44、性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 满足方程满足方程r2+pr+q=0，即即 r 是上述一元二次方程的根时，是上述一元二次方程的根时，y=erx 就是就是式式的解的解.方程方程称为方程称为方程的的特征方程特征方程.特征方程根称为特征方程根称为特征根特征根.得得第六十五页，讲稿共九十八页哦2022/10/14661 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根 r1 与与 r2，2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个
45、特解 y1=erx.还还需需再再找找一一个个与与 y1 线线性性无无关关的的特特解解 y2，为此，设为此，设 y2=u(x)y1，其中其中 u(x)为待定函数为待定函数.将将 y2 及及其其一一阶阶、二二阶阶导导数数 y 2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，y 2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代代入入方方程程 y+py +qy=0 中，得中，得因而它的通解为因而它的通解为所所以以 y1 与与 y2 线线性性无无关关，都是都是 的解，的解，即即 r1 r2.那么，这时函数那么，这时函数即即第六十六页，讲稿共九十八页哦2022/10/1467注注意意到到 是是特特征征
46、方方程程的的重重根根，所所以以有有 r2+pr+q=0及及 2r+p =0.且且 erx 0，因此只要因此只要 u(x)满足满足则则 y2=uerx就是就是 式的解，式的解，为为简简便便起起见见，取取方方程程 u(x)=0 的一个解的一个解 u=x，于是得到方程于是得到方程 且与且与 y1=erx 线性无关的解线性无关的解 y2=xerx.因此，因此，式的通解为式的通解为第六十七页，讲稿共九十八页哦2022/10/14683 特特征征方方程程具具有有一一对对共共轭轭复复根根 r1=+ib b 与与 r2=ib.b.这时有两个线性无关的特解这时有两个线性无关的特解 y1=e(+ib b)x 与与
47、 y2=e(-ib b)x.这是两个复数解，这是两个复数解，为为了了便便于于在在实实数数范范围围内内讨论问题，讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式由欧拉公式(这公式我们将在无穷级数章中补证这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得，可得第六十八页，讲稿共九十八页哦2022/10/1469于是有于是有由由定定理理 1 知知，以以上上两两个个函函数数 e x cosb bx 与与 e x sinb bx均均为为 式的解，式的解，且它们线性无关且它们线性无关.因此，这时方程的通因此，这时方程的通解为解为第六十九页，讲稿共九十八页哦2022/10/1470 上上述
48、述求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程通通解解的的方方法法称称为为特特征征根法，其步骤是：根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根根据据特特征征根根的的三三种种不不同同情情况况，写写出出对对应应的的特特解解，并写出其通解并写出其通解.第七十页，讲稿共九十八页哦特征根方程的通解 一对共轭复根r1,2=i两个不等的实根r1,r2两个相等的实根r1=r2=r(0)第七十一页，讲稿共九十八页哦2022/10/1472例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-
49、2r 3=0,它有两个不等它有两个不等的实根的实根 r1=-1，r2=3,其其对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的特特解为解为 y1=e-x 与与 y2=e3x,所所 以以 方方 程程 的的 通通 解解 为为第七十二页，讲稿共九十八页哦2022/10/1473例例 2求求方方程程 y -4y +4y=0 的的满满足足初初始始条条件件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，求得求得将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其其对对应应的的两两个个线线性性无无关关
50、的的特特解解为为 y1=e2x 与与 y2=xe2x，所以通解为所以通解为所以通解为所以通解为因此，所求特解为因此，所求特解为 它它 有有 重重根根 r=2.第七十三页，讲稿共九十八页哦2022/10/1474例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 2r2+2r+3=0，它它有有共共轭复根轭复根对对 应应 的的 两两 个个 线线 性性 无无 关关 的的 解解 为为所以方程的通解为所以方程的通解为第七十四页，讲稿共九十八页哦2022/10/1475例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该该方方程程的的特特征征方方程