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1、安丘市青云学府二数学组 谢大强圆锥曲线复习圆锥曲线复习1.椭圆的定义椭圆的定义平平面面内内到到两两定定点点F1、F2距距离离之之和和为为常常数数2a()的的点点的的轨轨迹迹叫叫椭椭圆圆.有有|PF1|+|PF2|=2a.在在定定义义中中，当当 时时，表表示示线线段段F1F2;当当 时时,不不表表示示任任何何图形图形.2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|6.双曲线的标准方程双曲线的标准方程 (1)焦焦点点在在x轴轴上上的的双双曲曲线线:,其其中中 ,焦焦点点坐坐标标为为F1(-c,0),F2(c,0)；(2)焦焦点点在在y轴轴上上的的双双曲曲线线:,其其中中c2=a2+b2，焦点坐
2、标为，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).c2=a2+b2 7.双双曲曲线线 (a0,b0)的的几几何何性性质质 (1)范围：范围：,yR；(2)对对称称性性：对对称称轴轴x=0,y=0，对对称称中中心心(0，0)；一一般般规规律律：双双曲曲线线有有两两条条对对称称轴轴，它它们们分分别别是是两两焦焦点点连连线线及及两两焦焦点点连连线线段段的的中中垂线垂线.|x|a (3)顶顶 点点：A1(-a,0),A2(a,0)；实实 轴轴 长长 ，虚轴长，虚轴长 ;一一般般规规律律：双双曲曲线线都都有有两两个个顶顶点点，顶顶点是曲线与它本身的对称轴的交点点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离离心
3、心率率e=()；双双曲曲线线的的离离心心率率在在(1,+)内内，离离心心率率确确定定了了双双曲曲线线的形状的形状.(5)渐渐近近线线：双双曲曲线线 的的两两条条渐渐近近线线方方程程为为 ;双双曲曲线线 的的两两条条渐渐近线方程为近线方程为 .|A1A2|=2a1111|B1B2|=2b1212e11313y=x1414y=x双双曲曲线线有有两两条条渐渐近近线线，他他们们的的交交点点就就是是双双曲曲线线的的中中心心；焦焦点点到到渐渐近近线线的的距距离离等等于于虚虚半半轴轴长长b;公公用用渐渐近近线线的的两两条条双双曲曲线线可可能能是是:a.共共轭轭双双曲曲线线；b.放放大大的的双双曲曲线线；c.
4、共轭放大或放大后共轭的双曲线共轭放大或放大后共轭的双曲线.已已知知双双曲曲线线的的标标准准方方程程求求双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程时时，只只要要令令双双曲曲线线的的标标准准方方程程中中的的“1”为为“0”就就得得到到两两条条渐渐近近线线方方程程，即即方方程程 就就是是双双曲曲线线 的的两两条条渐渐近近线方程线方程.8.抛物线的定义抛物线的定义平平面面内内与与一一定定点点F和和一一条条定定直直线线l(Fl)距距离离相相等等的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做抛抛物物线线，点点F叫叫做做抛抛物物线线的的焦焦点点，直直线线l叫叫做做抛抛物物线的线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与
5、几何性质准线准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴 .x轴y轴 .焦点F(,0).F(0,-)x轴轴y轴轴F(-,0)F(0,)离心率e=1e=1e=1e=1准线 .xy .x=-y=9.直线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断由由圆圆心心到到直直线线的的距距离离d与与圆圆半半径径r比比较较大大小小判判断断位位置置关关系系;(1)当当dr时时,直直线线与与圆圆 ;(2)当当d=r时时,直直线线与与圆圆 ;(3)当当dr时，直线与圆时，直线与圆 .10.直线与圆锥曲线的位置关系
6、的判断直线与圆锥曲线的位置关系的判断判判断断直直线线l与与圆圆锥锥曲曲线线C的的位位置置关关系系时时，可可将将直直线线l的的方方程程代代入入曲曲线线C的的方方程程，消消去去y(或或x)得得一一个个关关于于变变量量x(或或y)的的一一元元二二次次方方程程ax2+bx+c=0（或（或ay2+by+c=0）.相离相离相切相切相交相交(1)当当a0时时,则则有有 ,l与与C相相交交;,l与与C相切相切;,l与与C相离相离;(2)当当a=0时时，即即得得到到一一个个一一次次方方程程，则则l与与C相相交交,且且只只有有一一个个交交点点,此此时时,若若曲曲线线C为为双双曲曲线线,则则l 于于双双曲曲线线的的
7、渐渐近近线线;若若C为为抛抛物物线线,则则l 于于抛抛物物线线的的对对称称轴轴.0=00平行平行平行平行11.弦长公式弦长公式连连接接圆圆锥锥曲曲线线上上两两个个点点的的线线段段称称为为圆圆锥锥曲曲线线的的弦弦.要要能能熟熟练练地地利利用用方方程程与与根根的的系系数数关关系系来来计计算算弦弦长长，常常用用的的弦弦长长公公式式|AB|=.当当直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线相相交交时时，涉涉及及弦弦长长问问题题，常用常用“韦达定理韦达定理”设而不求计算弦长设而不求计算弦长.12.曲线与方程的关系曲线与方程的关系 一一般般的的，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，如如果果某某曲曲线线C(看看作作点点
8、的的集集合合或或适适合合某某种种条条件件的的点点的的轨轨迹迹)上上的的点点与与一一个个二二元元方方程程f(x,y)=0的的实实数数解建立了如下关系：解建立了如下关系：(1)曲曲线线上上的的点点的的坐坐标标都都是是这这个个 ;(2)以以 这这 个个 方方 程程 的的 解解 为为 坐坐 标标 的的 点点 均均 是是 .那那么么，这这个个方方程程叫叫做做曲曲线线的的方方程程，这这条条曲曲线叫做方程的曲线线叫做方程的曲线.方程的解方程的解曲线上的点曲线上的点13.求轨迹方程的基本思路求轨迹方程的基本思路(1)建建立立适适当当的的直直角角坐坐标标系系，设设曲曲线线上上的的任意一点（动点）坐标为任意一点（
9、动点）坐标为M(x,y).(2)写写出出动动点点M所所满满足足的的 .(3)将将动动点点M的的坐坐标标 ,列列出出关于动点坐标的方程关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程化简方程f(x,y)0为最简形式为最简形式.(5)证证明明（或或检检验验）所所求求方方程程表表示示的的曲曲线线上的所有点是否都满足已知条件上的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合几何条件的集合代入几何条件代入几何条件注注意意：第第（2）步步可可以以省省略略，如如果果化化简简过过程程都都是是等等价价交交换换，则则第第（5）可可以以省省略略；否否则则方方程程变变形形时时，可可能能扩扩大大（或或缩缩小小）x、y的的取
10、取值值范范围围，必必须须检检查查是是否否纯纯粹粹或或完完备（即去伪与补漏）备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)直直接接法法：如如果果动动点点满满足足的的几几何何条条件件本本身身就就是是一一些些几几何何量量(如如距距离离与与角角)的的等等量量关关系系，或或这这些些几几何何条条件件简简单单明明了了且且易易于于表表达达，我我们们只只需需把把这这种种关关系系转转化化为为x,y的的等式就得到曲线的轨迹方程；等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定定义义法法：某某动动点点的的轨轨迹迹符符合合某某一一基基本本轨轨迹迹(如如直直线线、圆圆锥锥曲曲线线)的的 ,则则可可根根据据定定
11、义义采采用用设设方方程程求求方方程程系系数数得得到到动动点的轨迹方程；点的轨迹方程；(3)代代入入法法(相相关关点点法法)：当当所所求求动动点点M是是随随着着另另一一动动点点P(称称之之为为相相关关点点)而而运运动动，如如果果相相关关点点P满满足足某某一一曲曲线线方方程程，这这时时我我们们可可以以用用动动点点坐坐标标表表示示相相关关点点坐坐标标，再再把把相相关关点点代代入入曲曲线线方方程程，就就把把相相关关点点所所满满足足的方程转化为动点的轨迹方程；的方程转化为动点的轨迹方程；定义定义(4)参参数数法法：有有时时求求动动点点应应满满足足的的几几何何条条件件不不易易得得出出，也也无无明明显显的的
12、相相关关点点，但但却却较较易易发发现现这这个个动动点点的的运运动动常常常常受受到到另另一一个个变变量量(角角度度、斜斜率率、比比值值、截截距距或或时时间间等等)的的制制约约，即即动动点点坐坐标标(x,y)中中的的x,y分分别别随随另另一一变变量量的的变变化化而而变变化化，我我们们可可称称这这个个变变量量为参数，建立轨迹的参数方程；为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交交轨轨法法：在在求求两两动动曲曲线线交交点点的的轨轨迹迹问问题题时时，通通过过引引入入参参变变量量求求出出两两曲曲线线的的轨轨迹迹方方程程，再再联联立立方方程程，通通过过解解方方程程组组消消去去参变量，直接得到参变量，直接得到x,y
13、的关系式的关系式.1.动点动点P到两定点到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离的距离之和等于之和等于6，则点，则点P的轨迹是的轨迹是()CA.椭圆椭圆 B.圆圆C.线段线段F1F2 D.直线直线F1F2课堂练习课堂练习2.椭椭圆圆 +=1的的焦焦点点坐坐标标是是 ,若若弦弦CD过左焦点过左焦点F1,则则F2CD的周长是的周长是 .(,0)16 由由已已知知，半半焦焦距距c=,故故焦焦点点坐坐标标为为(,0),F2CD的的周周长长为为4a=44=16.3.中心在坐标原点中心在坐标原点,焦点在焦点在y轴上轴上,经过点经过点(,0),离心率为离心率为 的椭圆方程为的椭圆方程为 .=1 b=3
14、 e=a2=b2+c2又椭圆焦点在又椭圆焦点在y轴上轴上,故其方程为故其方程为 =1.a=2b=3.,解得解得依题设依题设4.已已知知M为为线线段段AB的的中中点点,|AB|=6,动动点点P满满足足|PA|+|PB|=8,则则PM的的最最大大值值为为 ,最最小值为小值为 .4 依依题题意意可可知知，P点点轨轨迹迹为为以以A、B为为焦焦点点的的椭椭圆圆，M为为椭椭圆圆中中心心，且且半半焦焦距距为为3，半半长长轴轴为为4，则则|PM|的的最最大大值为值为4，最小值为半短轴，最小值为半短轴 .5.椭椭圆圆 =1(ab0)的的焦焦点点为为F1、F2，两两条条直直线线x=(c2=a2-b2)与与x轴轴的
15、的交交点点为为M、N，若若MN2|F1F2|,则则该该椭椭圆圆的的离离心心率率e的取值范围是的取值范围是 .,1)由已知由已知|MN|=2 .又又|MN|2|F1F2|,则则2 4c,从而从而 ,故故 1,故故e ,1).1.在在解解题题中中凡凡涉涉及及椭椭圆圆上上的的点点到到焦焦点点的距离时，应利用定义求解的距离时，应利用定义求解.2.求求椭椭圆圆方方程程的的方方法法，除除了了直直接接根根据据定定义义法法外外，常常用用待待定定系系数数法法.当当椭椭圆圆的的焦焦点点位位置置不不明明确确，可可设设方方程程为为 +=1(m0,n0),或设为或设为Ax2+By2=1(A0,B0).3.椭椭圆圆中中有
16、有“两两线线”(两两条条对对称称轴轴)，“六六点点”(两两个个焦焦点点、四四个个顶顶点点)，注注意意它它们们之之间间的的位位置置关关系系(焦焦点点在在长长轴轴上上等等)及及相相互互间间的的距距离离(如如焦焦点点到到相相应应顶点的距离为顶点的距离为a-c等等).6.双曲线双曲线 =1的实轴长是的实轴长是 ，焦点坐标，焦点坐标是是 .8（0,5)7.方方程程 =1表表示示双双曲曲线线，则则实实数数k的的取取值值范围是范围是 .(-,-1)(1,+)由由题题设设及及双双曲曲线线标标准准方方程程的的特特征征可可得得(1+k)(1-k)0，求得，求得k1.8.已已知知双双曲曲线线 =1右右支支上上一一点
17、点P到到左左焦焦点点F1的的距距离离为为12，则则点点P到到右右焦焦点点F2的的距距离离为为 ;右支上满足上述条件的点右支上满足上述条件的点P有有 个个.21 由双曲线定义可得由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10，所以所以|PF2|=12-10=2.又又焦焦点点坐坐标标F1（-7，0），F2（7，0），顶顶点坐标为（点坐标为（5，0），），所以满足条件的点只有一个，即为右顶点所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.9.若若双双曲曲线线 =1的的两两条条渐渐近近线线互互相相垂垂直直，则双曲线的离心率则双曲线的离心率 .e=由已知，两渐近线方程为由已知，两渐近线方程为y=x,由两渐近线
18、互相垂直得由两渐近线互相垂直得 (-)=-1,即即a=b.从而从而e=.10.若若双双曲曲线线C的的焦焦点点和和椭椭圆圆 =1的的焦焦点点相相同同，且且过过点点(3 ,2)，则则双双曲曲线线C的的方程是方程是 .=1 由已知半焦距由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在且焦点在x轴上，设双曲线轴上，设双曲线C的方程为的方程为 =1,a2+b220 a2=12 =1 b2=8,故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为 =1.则则,求得求得1.a,b,c有有 关关 系系 式式 c2=a2+b2成成 立立，且且a0,b0,c0.其其中中a与与b的的大大小小关关系系，可可以以为为a=b,ab.2.双
19、双曲曲线线的的几几何何性性质质的的实实质质是是围围绕绕双双曲曲线线中中的的“六六点点”（两两个个焦焦点点、两两个个顶顶点点、两两个个虚虚轴轴的的端端点点），“四四线线”（两两条条对对称称轴轴、两两条条渐渐近近线线），“两两形形”（中中心心、焦焦点点以以及及虚虚轴轴端端点点构构成成的的三三角角形形，双双曲曲线线上上一一点点和和两两焦焦点点构构成成的的三三角角形形）研研究究他他们们之之间间的的相相互互联联系系.3.椭椭圆圆是是封封闭闭性性曲曲线线，而而双双曲曲线线是是开开放放性性的的.又又双双曲曲线线有有两两支支，故故在在应应用用时时要要注意在哪一支上注意在哪一支上.4.根根据据方方程程判判定定焦
20、焦点点的的位位置置时时，注注意意与椭圆的差异性与椭圆的差异性.5.求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程时时应应首首先先考考虑虑焦焦点点的的位位置置，若若不不确确定定焦焦点点的的位位置置时时，需需进进行行讨讨论论，或或可可直直接接设设双双曲曲线线的的方方程程为为Ax2+By2=1(AB0).6.与与双双曲曲线线 共共渐渐近近线线的的双双曲曲线线方方程为程为 =(0).与与双双曲曲线线 共共焦焦点点的的圆圆锥锥曲曲线线方方程为程为 (0).当当0e1时时，曲线为双曲线；当曲线为双曲线；当e=1时，曲线为抛物线时，曲线为抛物线.2.定义及标准方程的理解定义及标准方程的理解.(1)求求抛抛物物线线的的
21、标标准准方方程程，要要先先根根据据题题设设判判断断抛抛物物线线的的标标准准方方程程的的类类型型，再再由由条条件件确确定定参参数数p的的值值.同同时时，知知道道抛抛物物线线的的标标准准方方程程、焦焦点点坐坐标标、准准线线方方程程三三者者之之间间是是相相依依并并存存的的，知知道道其其中中一一个个，就就可可以以求求出出其他两个其他两个.(2)焦焦点点弦弦公公式式：对对于于过过抛抛物物线线焦焦点点的的弦弦长长，可可用用焦焦半半径径公公式式推推出出弦弦长长公公式式.设设过过抛抛 物物 线线 y2=2px(p0)的的 焦焦 点点 F的的 弦弦 为为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有则有|AB|
22、x1+x2+p.(3)与与椭椭圆圆、双双曲曲线线相相比比，抛抛物物线线没没有有对对称称中中心心，只只有有一一个个焦焦点点，一一条条准准线线，一一个个顶点，一条对称轴，且离心率为常数顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛抛物物线线标标准准方方程程中中参参数数p的的几几何何意意义义是是焦焦点点到到准准线线的的距距离离，焦焦点点的的非非零零坐坐标标是是一一次项系数的次项系数的 .(5)抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是哪哪个个轴轴，方方程程中中的的该该项项即即为为一一次次项项；一一次次项项前前面面是是正正号号，则则抛抛物物线线的的开开口口方方向向向向x轴轴或或y轴轴的的正正方方向向；一一次次项项
23、前前面面是是负负号号，则则抛抛物物线线的的开开口口方方向向为为x轴或轴或y轴的负方向轴的负方向.16.若若ab且且ab0,则则直直线线ax-y+b=0和和二二次次曲曲线线bx2+ay2=ab的位置关系可能是的位置关系可能是()C 由由已已知知，直直线线方方程程可可化化为为y=ax+b,其其中中a为为斜斜率率,b为为纵纵截截距距，二二次次曲曲线线方方程程可可化化为为 =1，应应用用淘淘汰汰法法可可知知A、B、D均均自自相相矛矛盾盾.故选故选C.17.直线直线x+y=2与椭圆与椭圆x2+ky2=1有公共点，有公共点，则则k的取值范围是的取值范围是 .(0,18.过过原原点点的的直直线线l:y=kx
24、与与双双曲曲线线C:=1有有两两个个交交点点，则则直直线线l的的斜斜率率k的的取取值值范范围围是是 .由由于于双双曲曲线线的的渐渐近近线线的的方方程程为为y=x,数数形形结结合合可可知知l与与C有有两两个个交交点点，则则直直线线l夹夹在在两渐近线之间，从而两渐近线之间，从而-k0,解得解得-1k0或或0k1,即即-1tan0或或0tan1,故故 或或00直直线线与与双双曲曲线线相相交交，但但直直线线与与双双曲曲线线相相交交不不一一定定有有0，当当直直线线与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线平平行行时时，直直线线与与双双曲曲线线相相交交且且只只有有一一个个交交点点，故故0是是直直线线与与双双曲曲线线
25、相相交交的充分条件，但不是必要条件的充分条件，但不是必要条件.(5)0直直线线与与抛抛物物线线相相交交，但但直直线线与与抛抛物物线线相相交交不不一一定定有有0,当当直直线线与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴平平行行时时，直直线线与与抛抛物物线线相相交交且且只只有有一一个个交交点点，故故0也也仅仅是是直直线线与与抛抛物物线线相交的充分条件，但不是必要条件相交的充分条件，但不是必要条件.2.数形结合思想的应用数形结合思想的应用.要要注注意意数数形形结结合合思思想想的的运运用用.在在做做题题时时，最最好好先先画画出出草草图图，注注意意观观察察、分分析析图图形形的的特征，将形与数结合起来特征，将形与数结
26、合起来.特别地：特别地：(1)过过双双曲曲线线 =1外外一一点点P(x0,y0)的的直直线线与与双双曲曲线线只只有有一一个个公公共共点点的的情情况况如如下下：P点点在在两两条条渐渐近近线线之之间间且且不不含含双双曲曲线线的的区区域域内内时时,有有两两条条与与渐渐近近线线平平行行的的直直线线和和分分别别与与双双曲曲线线两两支支相相切切的的两两条条切切线线,共共四四条；条；P点点在在两两渐渐近近线线之之间间且且包包含含双双曲曲线线的的区区域域内内时时，有有两两条条与与渐渐近近线线平平行行的的直直线线和和只只与与双双曲曲线线一一支支相相切切的的两两条条切切线线，共共四四条条；P在在两两条条渐渐近近线
27、线上上但但非非原原点点，只只有有两两条条：一一条条是是与与另另一一渐渐近近线线平平行行的的直直线线，一一条条是是切切线；线；P为原点时，不存在这样的直线为原点时，不存在这样的直线.(2)过过抛抛物物线线外外一一点点总总有有三三条条直直线线和和抛抛物物线线有有且且只只有有一一个个公公共共点点：两两条条切切线线和和一一条条平行于对称轴的直线平行于对称轴的直线.3.特殊弦问题探究方法特殊弦问题探究方法.(1)若若弦弦过过焦焦点点时时（焦焦点点弦弦问问题题），焦焦点点弦弦的的弦弦长长的的计计算算一一般般不不用用弦弦长长公公式式计计算算，而而是是将将焦焦点点弦弦转转化化为为两两条条焦焦半半径径之和后，利
28、用焦半径公式求解之和后，利用焦半径公式求解.(2)若若问问题题涉涉及及弦弦的的中中点点及及直直线线斜斜率率问问题题（即即中中点点弦弦问问题题），可可考考虑虑“点点差差法法”（即即把把两两点点坐坐标标代代入入圆圆锥锥曲曲线线方方程程，然然后后两两式式作作差差），同同时时常常与与根根和和系系数数的的关系综合应用关系综合应用.21.方程方程|x|-1=表示的曲线是表示的曲线是()DA.一个圆一个圆 B.两个圆两个圆C.半个圆半个圆 D.两个半圆两个半圆 由于由于|x|-1=(|x|-1)2+(y-1)2=1|x|-10 x1 x-1 (x-1)2+(y-1)2=1 (x+1)2+(y-1)2=1曲线
29、是两个半圆，故选曲线是两个半圆，故选D.或或22.设设P为为双双曲曲线线 -y2=1上上一一动动点点,O为为坐坐标标原原点点，M为为线线段段OP的的中中点点，则则点点M的的轨轨迹方程为迹方程为 .x2-4y2=1 (代入法代入法)设设M(x,y)，P(x1,y1)，则则 -y12=1.x=x1=2x y=y1=2y又又,即即,代入代入得得x2-4y2=1.(直推法直推法)依题设依题设,|PF1|+|PF2|=25=10|PQ|=|PF2|,则则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10,则动点则动点Q的轨迹是以的轨迹是以F1为圆心为圆心,10为半径的圆为半径的圆,其方程为其
30、方程为(x+4)2+y2=100.23.已已知知椭椭圆圆 =1的的左左、右右焦焦点点分分别别为为F1、F2,P为为椭椭圆圆上上一一动动点点,延延长长F1P到到Q,使使得得|PQ|=|PF2|,则则动动点点Q的的轨轨迹迹方方程程是是 .(x+4)2+y2=10024.平平面面直直角角坐坐标标系系中中,O为为坐坐标标原原点点,已已知知两两点点A(3,1),B(-1,3),若若点点C满满足足 =+,其其中中、R,且且+=1,则则 点点 C的的 轨轨 迹迹 方方 程程 是是 .x+2y-5=0 （参数法）设（参数法）设C(x,y).由由 =+,得得(x,y)=(3,1)+(-1,3),x=3-y=+3
31、.而而+=1,x=4-1 y=3-2即即则则,消去消去得得x+2y-5=0.25.设设A1、A2是是椭椭圆圆 =1长长轴轴的的两两个个端端点点，P1、P2是是垂垂直直于于A1A2的的弦弦的的端端点，则直线点，则直线A1P1与与A2P2交点交点M的轨的轨 迹方程是迹方程是 .(交轨法交轨法)由已知由已知,A1(-3,0),A2(3,0).设设P1(x1,y1),则则P2(x1,-y1),交点交点M(x,y),则由则由A1、P1、M三点共线三点共线,得得 =.又又A2、P2、M三点共线，得三点共线，得 =.得得 =.又又 =1,即即 =,从而从而 =,即即 .1.曲线与方程关系的理解曲线与方程关系
32、的理解.(1)曲曲线线方方程程的的实实质质就就是是曲曲线线上上任任意意一一点点的的横横、纵纵坐坐标标之之间间的的关关系系，这这种种关关系系同同时时满满足足两两个个条条件件：曲曲线线上上所所有有点点的的坐坐标标均均满满足足方方程程；适适合合方方程程的的所所有有点均在曲线上点均在曲线上.(2)如如果果曲曲线线C的的方方程程是是f(x,y)=0,那那么么点点P0(x0,y0)在在曲曲线线C上上的的充充要要条条件件是是f(x0,y0)=0.(3)视视曲曲线线为为点点集集，曲曲线线上上的的点点应应满满足足的的条条件件转转化化为为动动点点坐坐标标所所满满足足的的方方程程，则则曲曲线线上上的的点点集集(x,
33、y)与与方方程程的的解解集集之之间间建建立立了一一对应关系了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析求轨迹方程方法实质剖析.(1)轨轨迹迹问问题题的的实实质质就就是是用用动动点点的的两两坐坐标标x,y一一一一对对应应的的揭揭示示曲曲线线方方程程解解的的关关系系.在在实实际际计计算算时时，我我们们可可以以简简单单地地认认为为，求求曲曲线线方方程程就就是是求求曲曲线线上上动动点点的的坐坐标标之之间间的的关关系系.当当两两坐坐标标之之间间的的关关系系为为直直接接关关系系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式，就是曲线方程的普通形式;当当x,y的的关关系系用用一一个个变变量量(如如t变变量量)表表示
34、示时时，坐坐标标之之间间的的关关系系就就是是间间接接关关系系，这这时时的的表表示示式式就就是是曲曲线线的的参参数数方方程程.所所以以解解决决问问题题时时，应应该该紧紧紧紧围围绕绕寻寻找找点点的的两两坐坐标标之之间间的的关关系系展展开探究开探究.(2)定定义义法法求求轨轨迹迹是是不不同同于于其其他他求求轨轨迹迹的的思思维维方方法法，它它从从动动点点运运动动的的规规律律出出发发，整整体体把把握握点点在在运运动动中中不不动动的的、不不变变的的因因素素，从从而而得得到到了了动动点点运运动动规规律律满满足足某某一一关关系系，简简单单地地说说，就就是是在在思思维维的的初初期期，先先不不用用设设点点的的坐坐
35、标标，而而直直接接找找动动点点所所满满足足的的几几何何性性质质(往往往往是距离的等量关系是距离的等量关系).由由于于解解析析几几何何研研究究的的几几何何对对象象的的局局限限性性，直直线线、圆圆、圆圆锥锥曲曲线线这这些些的的定定义义都都是是用用距距离离的的关关系系来来定定义义曲曲线线的的，所所以以利利用用定定义义法法求求轨轨迹迹问问题题时时，往往往往应应该该先先考考虑虑动动点点满满足足的的距距离离关关系系，判判断断它它是是否否满满足足五五种种曲曲线线的的定义，从而使问题快速解答定义，从而使问题快速解答.1.已已知知R,则则不不论论取取何何值值，曲曲线线C：x2-x-y+1=0恒过定点恒过定点()
36、DA.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1)由由x2-x-y+1=0,得得(x2-y)-(x-1)=0.x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论可知不论取何值取何值,曲线曲线C过定点过定点(1,1).依题设依题设,即即2.已已知知kR,直直线线y=kx+1与与椭椭圆圆 =1恒恒有有公公共点共点,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是 .1,5)(5,+)由由于于直直线线y=kx+1过过定定点点P(0,1)，则则当当P(0,1)在在椭椭圆圆上上或或椭椭圆圆内内时时，直直线线与与椭椭圆圆恒恒有有公公共共点点，因因此此m且且m5,求求得得m1,5)(5,+).3.双双曲曲线
37、线x2-y2=4上上一一点点P(x0,y0)在在双双曲曲线线的的一一条条渐渐近近线线上上的的射射影影为为Q，已已知知O为为坐坐标标原点，则原点，则POQ的面积为定值的面积为定值 .1 如图如图,双曲线双曲线x2-y2=4的的两条渐近线为两条渐近线为y=x,即即xy=0.又又|PQ|=,|PR|=，所以所以SPOQ=|PQ|PR|=1.4.已已知知定定点点A(2,3),F是是椭椭圆圆 =1的的右右焦焦点点,M为为椭椭圆圆上上任任意意一一点点,则则|AM|+2|MF|的最小值为的最小值为 .6 由由于于点点A在在椭椭圆圆内内，过过M点点作作椭椭圆右准线圆右准线x=8的垂线，垂足为的垂线，垂足为B.
38、由椭圆第二定义，得由椭圆第二定义，得2|MF|=|MB|，则则|AM|+2|MF|AM+|BM|，当当A、B、M三三点点共共线线且且垂垂直直于于准准线线时时，|AM|+2|MF|的最小值为的最小值为6.1.若若探探究究直直线线或或曲曲线线过过定定点点，则则直直线线或或曲曲线线的的表表示示一一定定含含有有参参变变数数，即即直直线线系系或或曲曲线线系系，可可将将其其方方程程变变式式为为f(x,y)+g(x,y)=0(其其中中为为参参变变数数)，由由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标确定定点坐标.2.在在几几何何问问题题中中，有有些些几几何何量量与与参参变变数数无无关关，即即定定值值问问题题，这这类类问问题题求求解解策策略略是是通通过过应应用用赋赋值值法法找找到到定定值值，然然后后将将问问题题转转化化为为代代数数式式的的推推导导、论论证证定定值值符符合合一一般般情形情形.3.解解析析几几何何中中的的最最值值问问题题，或或数数形形结结合合，利利用用几几何何性性质质求求得得最最值值，或或依依题题设设条条件件列列出出所所求求最最值值关关于于某某个个变变量量的的目目标标函函数数，然后应用代数方法求得最值然后应用代数方法求得最值.