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1、预备知识预备知识（三）（三）高斯随机过程高斯随机过程通信原理第四讲通信原理第四讲随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例相关函数相关函数R（t，t+）利用随机过程基础解决通信中问题利用随机过程基础解决通信中问题随机过程随机过程(t)（噪声、信号）噪声、信号）数学期望数学期望E(t)方差方差D(t)统计、观测、计算统计、观测、计算如果平稳如果平稳与与时间起点无关时间起点无关E(t)=mD(t)=2 R（）如果各态历经如果各态历经用时间平均代替集平均用时间平均代替集平均通信系统中所遇到的信号通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态与噪声一般都能满足各态历经条件历经条件最终求最终求出出功
2、率谱，从而获得了频率域功率谱，从而获得了频率域上的功率分布，获得其带宽、功率性上的功率分布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系统的目的能，达到了研究通信系统的目的数字特征的计算数字特征的计算数学期望数学期望方差方差相关函数相关函数2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声随机过程（噪声信号）示例随机过程（噪声信号）示例为什么研究高斯过程中心极限定理表明：中心极限定理表明：一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机一个随机变量，如果
3、它是很多个相互独立的随机变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯过程的特性。过程的特性。高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪声的重要数学模型。声的重要数学模型。高斯随机过程：定义 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1,2,）分布都是分布都是正态分布，则称它为高斯
4、随机过程或正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。正态过程。其其n维正态概率密度函数表示如下：维正态概率密度函数表示如下：高斯随机过程：重要性质高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数学期望、个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。只需要其数字特征，就可以确定高斯过程只需要其数字特征，就可以确定高斯过程对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是统计独立的。统计独立的。高斯过程通过线性系统、其输
5、出也是高斯过程高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程a=0，=1一维高斯分布*a=+/-2，=0.8/1.2一维高斯分布*一维高斯分布的数值计算在通信系统中，通常需要计算随机变量在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数大于某常数的概率：的概率：无法直接无法直接计算出计算出查查Q数值数值计算表计算表一维高斯分布的数值计算Q函数的意义函数的意义 面积面积=Q（）查查Q函数表可以求出概率函数表可以求出概率一维高斯分布的数值计算误差函数误差函数互补误差函数互补误差函数X2时互补误差时互补误差函数近似表示函数近似表示Q函数与误差函函数与误差函数关系数关系一维高斯分布的数值计算例例011-00-1
6、误码率误码率1错成错成0的概率加的概率加0错成错成1的概率，的概率，已知均值、方差，查已知均值、方差，查Q表即可求出表即可求出白噪声 信信号号在在信信道道中中传传输输时时，常常会会遇遇到到这这样样一一类类噪噪声声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 这这种种噪噪声声被被称称为为白白噪噪声声，它它是是一一个个理理想想的的宽宽带带随随机机过过程程。式式中中n0为为一一常常数数，单单位位是是瓦瓦/赫赫。白白噪噪声声的的自自相关函数可借助于下式求得，即相关函数可借助于下式求得，即高斯白噪声 如如果果白白噪噪声声又又是是高高斯斯分分布布的的，我我们们就就
7、称称之之为为高高斯斯白白噪噪声声。由由 可可以以看看出出，高高斯斯白白噪噪声声在在任任意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。应应当当指指出出，我我们们所所定定义义的的这这种种理理想想化化的的白白噪噪声声在在实实际际中中是是不不存存在在的的。但但是是，如如果果噪噪声声的的功功率率谱谱均均匀匀分分布布的的频频率率范范围围远远远远大大于于通通信信系系统统的的工工作作频频带带，我我们们就就可以把它视为白噪声。可以把它视为白噪声。2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通
8、过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声随机过程通过线性系统确知信号通过线性时不变系统时确知信号通过线性时不变系统时线性时不变系统线性时不变系统随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立线性时不变系统线性时不变系统？随机过程通过线性系统输出过程的数学期望输出过程的数学期望输入直流分量输入直流分量与直流增益的积与直流增益的积随机过程通过线性系统输出过程的自相关函数输出过程的自相关函数输出也是平稳输出也是平稳过程过程随机过程通过线性系统输出过程的功率谱密度输出过程的功率谱密度“功率功率”谱增益谱
9、增益随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统线性时不变系统线性时不变系统随机过程通过线性系统例例:输出过程的概率分布输出过程的概率分布 从从原原理理上上看看，在在已已知知输输入入过过程程分分布布的的情情况况下下，通通过下式：过下式：总总可可以以确确定定输输出出过过程程的的概概率率分分布布，其其中中一一个个十十分分有有用用的的情情形形是是：如如果果线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯斯型型的的，则则系系统统的的输输出出过过程程也也是是高高斯斯型型的的。但但要要注注意意，由由于于线线性性系系统统的的介介入入，与与输输入入高高斯斯过过程程相相比比，输输出出过过程程的的数
10、数字特征已经改变了。字特征已经改变了。随机过程通过线性系统例题：例题：带限白噪声带限白噪声 试求功率谱密度为试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为：功率。理想低通的传输特性为：随机过程通过线性系统2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声窄带随机过程窄带窄带(带通带通)信号信号(过程过程)
11、示意示意 通信中信号与噪声都满足通信中信号与噪声都满足“窄带窄带”假设，即假设，即ffc。f为信号带宽，为信号带宽，fc为载频。其包络和相为载频。其包络和相位相对于位相对于fc是缓慢变化的，波形和频谱示意如下是缓慢变化的，波形和频谱示意如下:窄带随机过程窄带信号的两种描述方法窄带信号的两种描述方法包络与相位参数的描述方法包络与相位参数的描述方法同相分量和正交分量的描述方法同相分量和正交分量的描述方法两种描述方法对随机过程仍然适用两种描述方法对随机过程仍然适用窄带随机过程窄带随机过程的性质数学期望数学期望窄带随机过程的性质相关函数相关函数Rx是平稳过程，与是平稳过程，与t无关无关窄带随机过程的性
12、质窄带随机过程的性质输入为高斯过程时输入为高斯过程时根据平稳性，因此：根据平稳性，因此：I、Q分量也是高斯过程分量也是高斯过程 一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量量I和正交分量和正交分量Q也是平稳高斯过程，也是平稳高斯过程，而且均值都为而且均值都为零，方差相同，零，方差相同，在同一时刻同相分量和正交分量互不在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。相关。高斯高斯变量变量包络和相位的统计特性将同将同相与正交的联合分布函数进行二维转换，相与正交的联合分布函数进行二维转换，变成包络与相位的联合变成包络与相位的联合PDF包络和相位的统计特性相互独立相互独
13、立包络和相位的统计特性利用雅各比利用雅各比行列式行列式包络和相位的统计特性包络包络符合符合瑞利瑞利分布分布相位相位符合符合均匀均匀分布分布求求条件条件边际分布边际分布窄带高斯噪声高斯高斯噪声时域波形噪声时域波形近似高近似高斯斯白噪声白噪声频谱示意图频谱示意图窄带窄带滤波滤波窄带高斯噪声示窄带高斯噪声示意图意图包络符合瑞利分布包络符合瑞利分布平稳高斯过程通过窄带系统输出结论平稳高斯过程通过窄带系统输出结论 一一个个均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，它它的的同同相相分分量量I和和正正交交分分量量Q也也是是平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且均均值值都都为为零零，方方差差相相同同，
14、在在同同一一时时刻刻同同相分量和正交分量互不相关。相分量和正交分量互不相关。均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，其其包包络络符符合瑞利分布、相位符合均匀分布。合瑞利分布、相位符合均匀分布。2.3 随机信号分析2.3 随机信号分析随机信号分析随机过程基础随机过程基础高斯随机过程高斯随机过程随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声发送端信道接收端噪声源窄带窄带调制后，调制后，近似为高频近似为高频正弦波正弦波正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声等效为同相等效为同相正交分量正交
15、分量正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声同相、同相、正交分量的联合概率密度正交分量的联合概率密度包络、相位联合概率密度包络、相位联合概率密度求求包络、相位的条件边际分布包络、相位的条件边际分布同同相、正交分量相互独立的高斯过程相、正交分量相互独立的高斯过程雅各比雅各比行列式进行变换行列式进行变换正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声广义瑞利分布，莱斯分布广义瑞利分布，莱斯分布正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声随机信号分析：小结通信中的信号与噪声通常是高斯过程通信中的信号与噪声通常是高斯过程利用利用Q函数或其他函数可以数值计算出符合高函数或其他函数可以数值计算出符合高斯分布的概率数值
16、，是后续分析中计算误码斯分布的概率数值，是后续分析中计算误码率的基础率的基础白噪声、带限白噪声、高斯噪声的物理意义白噪声、带限白噪声、高斯噪声的物理意义平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统窄带高斯过程及其分析方法窄带高斯过程及其分析方法正弦信号加窄带高斯噪声是通信系统分析的正弦信号加窄带高斯噪声是通信系统分析的重要数学模型重要数学模型小结：随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统线性时不变系统线性时不变系统小结：窄带高斯过程及其分析方法窄带高斯过程及其分析方法 一一个个均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，它它的的同同相相分分量量I和和正正交交分分量量Q也也是是平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且均均值值都都为为零零，方方差差相相同同，在在同同一一时时刻刻同同相相分分量量和和正正交交分分量量互互不不相关。相关。均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，其其包包络络符符合合瑞瑞利利分布、相位符合均匀分布。分布、相位符合均匀分布。窄窄带带随随机机过过程程（信信号号），可可以以用用同同相相与与正正交交分分量量或或包包络络与与相相位位的的方方式式表表示示。这这两两种种表表示示与与分分析析方方法法是是后续课程的基础。后续课程的基础。