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1、随机过程随机过程各态历经性各态历经性所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）就可以估计其统计量，也称遍历性就可以估计其统计量，也称遍历性就可以估计其统计量，也称遍历性就可以估计其统计量，也称遍历性令令令令x x(t t)为为为为X X(t t)的一个样本函数，其时间平均值的一个样本函数，其时间平均值的一个样本函数，其时间平均值的一个样本函数，其时间平均值样本函数的时间平均自相关函数为样本函数的时间平均自相关函数为
2、样本函数的时间平均自相关函数为样本函数的时间平均自相关函数为对于对于对于对于平稳随机信号平稳随机信号平稳随机信号平稳随机信号X X(t t)，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X X(t t)为各态历经信号为各态历经信号为各态历经信号为各态历经信号基本
3、含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样基本含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样基本含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样基本含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历本函数的取值经历本函数的取值经历本函数的取值经历信号间的三种关系：信号间的三种关系：信号间的三种关系：信号间的三种关系：1.1.独立。若：独立。若：独立。若：独立。若：2.2.不相关。若：不相关。若：不相关。若：不相关。若：3.3.正交。若：正交。若：正交。若：正交。若：功率谱密度函数功率谱密度函数对于任意信号对于任意信号对于任意信号对于任意信号x x(
4、t t)，定义，定义，定义，定义信号的能量信号的能量信号的能量信号的能量和功率和功率和功率和功率：帕萨伐尔定理：帕萨伐尔定理：帕萨伐尔定理：帕萨伐尔定理：上述过程即为上述过程即为上述过程即为上述过程即为帕萨伐尔定理帕萨伐尔定理帕萨伐尔定理帕萨伐尔定理或或或或瑞利能量定理瑞利能量定理瑞利能量定理瑞利能量定理 ，即：在频域和时域，即：在频域和时域，即：在频域和时域，即：在频域和时域上对同一信号所求的能量相等上对同一信号所求的能量相等上对同一信号所求的能量相等上对同一信号所求的能量相等则：则：则：则：两边取期望：两边取期望：两边取期望：两边取期望：则定义：则定义：则定义：则定义：为随机过程为随机过程
5、为随机过程为随机过程X X(t t)的平均功率谱密度函数的平均功率谱密度函数的平均功率谱密度函数的平均功率谱密度函数将式将式将式将式 代入上式整理：代入上式整理：代入上式整理：代入上式整理：由平稳随机过程可知由平稳随机过程可知由平稳随机过程可知由平稳随机过程可知令令令令当当当当 时，时，时，时，趋近于趋近于趋近于趋近于1 1，可由上式可得到：，可由上式可得到：，可由上式可得到：，可由上式可得到：由傅立叶变换公式可知由傅立叶变换公式可知由傅立叶变换公式可知由傅立叶变换公式可知随机过程随机过程随机过程随机过程X X(t t)的自相关函数和功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，的自相关函数和功率谱密度函
6、数是一对傅立叶变换对，的自相关函数和功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，的自相关函数和功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，描述了随机过程描述了随机过程描述了随机过程描述了随机过程X X(t t)的时域与频域统计规律之间的关系，此为的时域与频域统计规律之间的关系，此为的时域与频域统计规律之间的关系，此为的时域与频域统计规律之间的关系，此为维纳辛维纳辛维纳辛维纳辛钦定理钦定理钦定理钦定理功率谱密度函数的物理意义：功率谱密度函数的物理意义：功率谱密度函数的物理意义：功率谱密度函数的物理意义：1.1.从统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况；从统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况；从
7、统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况；从统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况；2.2.在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用傅立叶变换分析随机信号傅立叶变换分析随机信号傅立叶变换分析随机信号傅立叶变换分析随机信号性质：性质：性质：性质：1.1.是非负的；是非负的；是非负的；是非负的；2.2.是实的；是实的；是实的；是实的；3.3.是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数例如：已知例如：已知例如：已知例如
8、：已知 ，其中，其中，其中，其中 为常数，为常数，为常数，为常数，为均匀分布的随为均匀分布的随为均匀分布的随为均匀分布的随机变量，概率密度如下，求机变量，概率密度如下，求机变量，概率密度如下，求机变量，概率密度如下，求根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换再例如：设平稳过程再例如：设平稳过程再例如：设平稳过程再例如：设平稳过程X X(t t)的相关函数为的相关函数为的相关函数为的相关函数为 ，求其功率谱，求其功率谱，求其功率谱，求其功率谱密度密度密度密度希尔伯特变换希尔伯特
9、变换定义：定义：定义：定义：令令令令f f(t t)为实为实函数，函数，函数，函数，则则称称称称 为为f f(t t)的希的希的希的希尔尔伯特伯特伯特伯特变换变换，记为记为：称称称称 为为g g(t t)的希的希的希的希尔尔伯特反伯特反伯特反伯特反变换变换，记为记为：对对于希于希于希于希尔尔伯特伯特伯特伯特变换变换又可又可又可又可记为记为卷卷卷卷积积形式：形式：形式：形式：从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果 看成是输看成是输看成是输看成是输入为入
10、为入为入为f f(t t)的线性时不变系统的输出的线性时不变系统的输出的线性时不变系统的输出的线性时不变系统的输出希尔伯特变换等效系统希尔伯特变换等效系统希尔伯特变换等效系统希尔伯特变换等效系统频域变换频域变换频域变换频域变换上上上上图图中中中中LTILTI系系系系统统的冲激响的冲激响的冲激响的冲激响应应的傅里叶的傅里叶的傅里叶的傅里叶变换变换即即即即为为系系系系统统的的的的传递传递函数函数函数函数其中其中其中其中 为为符号函数，即：符号函数，即：符号函数，即：符号函数，即：则则系系系系统统函数函数函数函数为为：希希希希尔尔伯特伯特伯特伯特变换变换的物理意的物理意的物理意的物理意义义是将信号是
11、将信号是将信号是将信号f f(t t)的所有的所有的所有的所有频频率成分都相移率成分都相移率成分都相移率成分都相移/2/2，而幅度保持，而幅度保持，而幅度保持，而幅度保持不不不不变变。具有。具有。具有。具有这这种特性的种特性的种特性的种特性的电电路称路称路称路称为为希希希希尔尔伯特伯特伯特伯特滤滤波器波器波器波器希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质 若若若若f f(t t)为为偶函数，偶函数，偶函数，偶函数，则则 为为奇函数；反之亦然奇函数；反之亦然奇函数；反之亦然奇函数；反之亦然 ，即，即，即，即f f(t t)与与与与 相互正交相互正交相互正交相互正交解
12、析信号解析信号解析信号解析信号定定定定义义：令有：令有：令有：令有实实信号信号信号信号f f(t t)，则则称复信号：称复信号：称复信号：称复信号：为为f f(t t)的解析信号（或的解析信号（或的解析信号（或的解析信号（或预预包包包包络络）解析信号的性质：解析信号的性质：解析信号的性质：解析信号的性质：令令令令 ，则则有有有有 解析信号的能量等于解析信号的能量等于解析信号的能量等于解析信号的能量等于实实信号能量的两倍信号能量的两倍信号能量的两倍信号能量的两倍 令令令令 和和和和 为为解析信号，解析信号，解析信号，解析信号，则则有：有：有：有：根据根据根据根据 ，可以得出：，可以得出：，可以得
13、出：，可以得出：例如：已知例如：已知例如：已知例如：已知 求求求求 和它的解析信号和它的解析信号和它的解析信号和它的解析信号对对于于于于积积分困分困分困分困难难的的的的变换变换，可以通，可以通，可以通，可以通过计过计算算算算频频域函数的方法来迂回求解域函数的方法来迂回求解域函数的方法来迂回求解域函数的方法来迂回求解 查表可得：查表可得：查表可得：查表可得：例例解：仍利用频域函数来求解。由频域搬移性可知：于是 这不是一个常用的函数，所以无法通过查表而只能来做它的付氏反变换。1.1.余弦函数的希氏变换为正弦函数；余弦函数的希氏变换为正弦函数；2.2.低通信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数与正低通
14、信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数与正弦函数的乘积。弦函数的乘积。结论：结论：平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统随机过程随机过程随机过程随机过程Y Y(t t)的均值（统计平均）的均值（统计平均）的均值（统计平均）的均值（统计平均）可以看出随机过程可以看出随机过程可以看出随机过程可以看出随机过程Y Y(t t)的均值与的均值与的均值与的均值与t t无关无关无关无关随机过程随机过程随机过程随机过程Y Y(t t)的自相关函数的自相关函数的自相关函数的自相关函数 可以看出可以看出可以看出
15、可以看出Y Y(t t)的自相关函数与的自相关函数与的自相关函数与的自相关函数与t t无关无关无关无关X X(t t)和和和和Y Y(t t)的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度 由维纳辛钦定理可知：由维纳辛钦定理可知：由维纳辛钦定理可知：由维纳辛钦定理可知：Y Y(t t)的功率谱密度的功率谱密度的功率谱密度的功率谱密度令令令令对于希尔伯特变换对于希尔伯特变换对于希尔伯特变换对于希尔伯特变换 与与与与X X(t t)的互相关函数的互相关函数的互相关函数的互相关函数高斯白噪声高斯白噪声令令令令n n(t t)为高斯随机过程，若
16、其功率谱密度为高斯随机过程，若其功率谱密度为高斯随机过程，若其功率谱密度为高斯随机过程，若其功率谱密度则称则称则称则称n n(t t)为高斯白噪声为高斯白噪声为高斯白噪声为高斯白噪声其数学期望为其数学期望为其数学期望为其数学期望为0 0其自相关函数为：其自相关函数为：其自相关函数为：其自相关函数为：n n维维维维概率密度概率密度概率密度概率密度满满满满足足足足n n维维维维正正正正态态态态分布的随机分布的随机分布的随机分布的随机过过过过程；高斯程；高斯程；高斯程；高斯过过过过程的款平程的款平程的款平程的款平稳稳稳稳与与与与严严严严平平平平稳稳稳稳一致一致一致一致性质：性质：性质：性质：1.1.
17、若若若若 ，其中，其中，其中，其中 为确定信号，则为确定信号，则为确定信号，则为确定信号，则X X为高斯随机变量，为高斯随机变量，为高斯随机变量，为高斯随机变量，数字期望为数字期望为数字期望为数字期望为0 0，方差等于：，方差等于：，方差等于：，方差等于：2.2.若若若若 ，；其中；其中；其中；其中 ，为确定信号，为确定信号，为确定信号，为确定信号，则：则：则：则：若若若若 与与与与 在（在（在（在（00T T）时间间隔内正交，即）时间间隔内正交，即）时间间隔内正交，即）时间间隔内正交，即:则：则：则：则：与与与与 统计独立统计独立统计独立统计独立3.3.限带高斯白噪声，其功率谱密度为：限带高
18、斯白噪声，其功率谱密度为：限带高斯白噪声，其功率谱密度为：限带高斯白噪声，其功率谱密度为：其相关函数：其相关函数：其相关函数：其相关函数：十一、窄带平稳随机过程十一、窄带平稳随机过程定义：令定义：令定义：令定义：令X X(t t)为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示若若若若 ，则称，则称，则称，则称X X(t t)为窄带平稳随机过程为窄带平稳随机过程为窄带平稳随机过程为窄带平稳随机过程窄带随机过程的表达式窄带随机过程的表达式窄带随机过程的表达式窄带随机过程的表达式 窄窄窄窄带带随机随机随机随机过过程可以用下式表示程可以用下式表示程可以用下式表示程可以用下式表示 其中其中其中其中:称作称作称作称作X X(t t)的包的包的包的包络络函数函数函数函数;称作称作称作称作X X(t t)的随机相位函数的随机相位函数的随机相位函数的随机相位函数写成同向分量和正交分量的形式写成同向分量和正交分量的形式写成同向分量和正交分量的形式写成同向分量和正交分量的形式 令：令：令：令：其中其中其中其中 称作称作称作称作X X(t t)的同相分量的同相分量的同相分量的同相分量;称作称作称作称作X X(t t)的正交分量的正交分量的正交分量的正交分量 、为为随机随机随机随机过过程程程程