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1、高等数学三重积分第一页，本课件共有22页一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割作近似，求和取极限！分割作近似，求和取极限！”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为第二页，本课件共有22页定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,积和式”极限记作记作第三页，本课件
2、共有22页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)然后，结合二重 积分的方法即可转化为三次积分。先假设连续函数 最后,推广到一般可积函数的定积分计算.这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:第四页，本课件共有22页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)则有：记作第五页，本课件共有22页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)则有：记作第六页，本课件共有22页投影法三次积分的转化方法：三次积分的转化方法：设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第七页，本
3、课件共有22页当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.第八页，本课件共有22页其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面第九页，本课件共有22页例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”第十页，本课件共有22页小结小结:直角坐标下三重积分的计算方法直角坐标下三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”注：注：“三次积分三次积分”的计算：的计算：第十一页，本课件共有22页2.利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 就称为点M 的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分
4、别为圆柱面半平面平面第十二页，本课件共有22页如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第十三页，本课件共有22页其中 为例例3.计算三重积分所解解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第十四页，本课件共有22页例例4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=第十五页，本课件共有22页3.利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 就称为点M 的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第十六页，本课件共有2
5、2页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第十七页，本课件共有22页例例5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面第十八页，本课件共有22页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;第十九页，本课件共有22页1.将用三次积分表示,其中 由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成,第二十页，本课件共有22页1.设 由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 思考与练习思考与练习第二十一页，本课件共有22页2.计算其中解解:利用对称性 第二十二页，本课件共有22页