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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“分割作近似，求和取极限！分割作近似，求和取极限！”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfdvz
2、yxf),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得dvzyxf),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 然后
3、，结合二重 积分的方法即可转化为三次积分。 ,0),(zyxf先假设连续函数 最后, 推广到一般可积函数的定积分计算. 这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:目录 上页 下页 返回 结束 zxyD方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21则有：dvzyxf),(dxdydzzyxfDyxzyxz ),(),( ),( 21 ),( ),( 21),(yxzyxzDdzzyxfdxdy),(2yxzz ),(1yxzz 记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),
4、(:则有：dvzyxf),(bazDdxdyzyxf),(Dbadxdyzyxfz),(dzzDzd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 投影法三次积分的转化方法：三次积分的转化方法：设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:dvzyxf),(),(),(21d),(yxzyxzDzzyxfdxdydvzyxf),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1
5、zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(222czc22
6、22221:czbyaxDzzDdxdycczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 直角坐标下三重积分的计算方法直角坐标下三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”注：注：“三次积分三次积分”的计算：的计算：),(),(21d),(yxzyxzDzzyxfdxdydvzyxf),(zDbadxdyzyxfdz),( ),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyxdvzyxf),(dvzyxf),(目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱面坐标计
7、算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱面坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此dxdydzzyxf),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束
8、2axyzO其中 为例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,122yxdxdydzzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 3. 利
9、用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱面坐标为就称为点M 的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如图所示, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有dxdydzzyxf),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积
10、函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例5. 计算三重积分,)(222dxdydzzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;目录 上页 下页 返回 结束
11、2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:目录 上页 下页 返回 结束 1. 设 由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 4zxy1O2. 计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2 利用对称性 zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220