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1、高等数学三重积分第1页，此课件共22页哦一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“分割作近似，求和取极限！分割作近似，求和取极限！”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为第2页，此课件共22页哦定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,积和式”极限记作记作第3页，此课件
2、共22页哦二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)然后，结合二重 积分的方法即可转化为三次积分。先假设连续函数 最后,推广到一般可积函数的定积分计算.这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:第4页，此课件共22页哦方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)则有：记作第5页，此课件共22页哦方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)则有：记作第6页，此课件共22页哦投影法三次积分的转化方法：三次积分的转化方法：设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第7页，此
3、课件共22页哦当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.第8页，此课件共22页哦其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面第9页，此课件共22页哦例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”第10页，此课件共22页哦小结小结:直角坐标下三重积分的计算方法直角坐标下三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”注：注：“三次积分三次积分”的计算：的计算：第11页，此课件共22页哦2.利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 就称为点M 的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面
4、分别为圆柱面半平面平面第12页，此课件共22页哦如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第13页，此课件共22页哦其中 为例例3.计算三重积分所解解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第14页，此课件共22页哦例例4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=第15页，此课件共22页哦3.利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 就称为点M 的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第16页，此课件共2
5、2页哦如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第17页，此课件共22页哦例例5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面第18页，此课件共22页哦内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;第19页，此课件共22页哦1.将用三次积分表示,其中 由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成,第20页，此课件共22页哦1.设 由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 思考与练习思考与练习第21页，此课件共22页哦2.计算其中解解:利用对称性 第22页，此课件共22页哦