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1、2.基本定理和坐标表示基本定理和坐标表示一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理(1)(1)定理定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，唯一一对实数1，2，使a=1e12e2.两次变化或多次变化相当于一次变化向量的合成。一次变化相当于两次变化或多次变化向量的分解。(2)(2)基底基底：不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底二、平面向量的坐标表示二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x，y，使a=xiyj，把有序数对),(
2、yx叫作向量a的坐标，记作a=),(yx三、平面向量的坐标运算三、平面向量的坐标运算(1)(1)向量加法、减法、数乘及向量的模向量加法、减法、数乘及向量的模设a),(11yx，b),(22yx，则a+b),(2121yyxx，a-b),(2121yyxx，a),(11yx，|a|2121yx(2)(2)向量坐标的求法向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|212212)()(yyxx四、平面向量共线的坐标表示四、平面向量共线的坐标表示设a),(11yx，b),(22yx,其中 b0，a，b
3、 共线x1y2x2y10.1.平面向量基本定理基础达标1若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e112e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e22如图所示，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD等于()Aa34bB.14a34bC.14a14bD.34a14b【跟踪训练】在平行四边形 ABCD 中，ABa，ADb，(1)如图，如果 E，F 分别是 BC，DC 的中点，试用 a，b 分别表示BF，DE；(2)如图，如果 O 是 AC 与 BD 的交点，G 是 DO 的中点，试用 a，b 表示A
4、G.3已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 反向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 同向【跟踪训练】设 e1，e2是不共线向量，e12e2与 me1ne2共线，则nm_.4过ABC 的重心 G 任意作一直线分别交 AB，AC 于点 D，E，AF 为 BC 边上的中线，若ADxAB，AEyAC，xy0，则1x1y的值为()A4B3C2D1【跟踪训练】设 a，b 是两个不共线向量，已知AB2akb，CBab，CD2ab，若 A，B，D 三点共线，则 k_.【跟踪训练】如图，平面内有三个向量OA，O
5、B，OC，其中OA与OB的夹角为 120，OA与OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OCOAOB(，R)，求的值能力提升5若OP1a，OP2b，P1PPP2(1)，则OP()AabBa(1)bCabD.11a1b6M 为ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则MAMBMC等于()A6MEB6MFC0D.6MD7如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若AMABAC，则_.8设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b 可以作为一组基底；(2)以 a，b 为
6、基底，求向量 c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2aub，求，u 的值2.平面向量的正交分解及坐标表示基础达标1已知向量 a(1,2)，b(3,1)，则 ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)【跟踪训练】已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP12MN，则点 P 的坐标为()A.4，12B.1，32C.1，32D(8，1)2设向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量 4a,4b2c,2(ac)，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则 d 为()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)【跟踪训练】已知点 A(1,2)，B(2,8)及AC13AB
7、，DA13BA，求点 C，D 和CD的坐标3若 a(2cos，1)，b(sin，1)，且 ab，则 tan 的值为()A2B.12C2D12【跟踪训练】已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若AC2AB，求点 C 的坐标4已知点 A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点 D(x，y)，使ABDC.【跟踪训练】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，则第四个顶点的坐标是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3，5)C(5，5)或(3，5)D(1,5)或(5，5)或(3，5)5已知 A(3
8、,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC|2 2，且AOC4.设OCOAOB(R)，则_.6.已知向量集合 Ma|a(1,2)(3,4)，R，Na|a(2，2)(4,5)，R，则MN()A(1,1)B(1,2)，(2，2)C(2，2)D能力提升7对于任意的两个向量 m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为 mn(acbd，bcad)，运算“”为 mn(ac，bd)设 m(p，q)，若(1,2)m(5,0)，则(1,2)m 等于_8如图所示，已知AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC相交于点 M，求点 M 的坐标9过原点 O 的直线与函数 ylog8x 的图象交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴的垂线交函数 ylog2x 的图象于 C，D 两点求证：O，C，D 三点在一条直线上