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1、电磁学-习题与讨论课.求半径为求半径为R、带电量为、带电量为q的的均匀带电细均匀带电细圆环轴线上的电场。圆环轴线上的电场。解：解：在圆环上取电荷元在圆环上取电荷元dq 各电荷元在各电荷元在P点点 方向不同，分布于方向不同，分布于一个圆锥面上。一个圆锥面上。由对称性可知由对称性可知讨论讨论讨论讨论：1、环心处环心处2、3、令、令处处E有极大值有极大值均匀带电圆平面的电场均匀带电圆平面的电场(电荷面密度电荷面密度)。OxrP叠加原理思想：叠加原理思想：圆圆盘盘 由许多均匀带电圆环组成。由许多均匀带电圆环组成。解：任取半径为解：任取半径为r的圆环的圆环由上题结果由上题结果得：得：讨论讨论讨论讨论：1
2、、x0，或，或 R时，时，无限大带电无限大带电平面的电场平面的电场2、x R时，想一想时，想一想 简化为点电荷简化为点电荷真空中高斯定理真空中高斯定理真空中高斯定理真空中高斯定理(Gauss law)真空中静电场内，通过任意封闭曲真空中静电场内，通过任意封闭曲面面(高斯面高斯面)的电通量等于该封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的所包围的电量代数和的 倍：倍：讨论：讨论：1.式中各项的含义式中各项的含义S：封闭曲面封闭曲面高斯面高斯面高斯面高斯面；：总场：总场,S内外所有电荷均有贡献；内外所有电荷均有贡献；真空电容率（介电常数）真空电容率（介电常数）S内的净电荷；内的净电荷；只有只
3、有S内电荷有贡献。内电荷有贡献。2.揭示了静电场中揭示了静电场中“场场场场”和和“源源源源”的关系的关系电场线有头有尾电场线有头有尾电场线有头有尾电场线有头有尾静电场的重要性质之一：静电场的重要性质之一：静电场是静电场是有源场有源场有源场有源场3.利用高斯定理可方便求解具有某些利用高斯定理可方便求解具有某些 对称分布的静电场对称分布的静电场成立条件成立条件：静电场静电场求解条件：求解条件：电场分布具有某些对称性电场分布具有某些对称性选择恰当的高斯面，使选择恰当的高斯面，使中的中的以标量形式提到积分号外，以标量形式提到积分号外，从而从而简便地求出简便地求出 分布。分布。中的中的 能以标量能以标量
4、当场源电荷分布具有某种对称性时，当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的高斯面，应用高斯定律，选取适当的高斯面，使面积分使面积分形式提出来，形式提出来，均匀带电球壳均匀带电球壳均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板均匀带电细棒均匀带电细棒S 即可求出场强。即可求出场强。常见类型：常见类型：场源电荷分布场源电荷分布球对称性球对称性轴对称性轴对称性面对称性面对称性例题例题 求电量为求电量为Q、半径为、半径为R的均匀的均匀带电球面的场强分布。带电球面的场强分布。源球对称源球对称场球对称场球对称R0ER选高斯面选高斯面 求均匀带电球体求均匀带电球体(Q、R)的电场分的电场分 布。布。R
5、R解：对称性分析解：对称性分析作以作以O为中心为中心,r为半径的球形面为半径的球形面S，S面上各点彼此等价，面上各点彼此等价，大小相等，大小相等，方向方向沿径向。沿径向。以以S为高斯面：为高斯面：由高斯定理：由高斯定理：令令体电荷密度体电荷密度练习练习练习练习1.求均匀带电球面求均匀带电球面()的电场分布，的电场分布，并画出并画出 曲线。曲线。02.如何理解带电球面如何理解带电球面 处处 值突变？值突变？带电面上场强带电面上场强 E 突变是采用面模型突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还附近的准确场强时，应放弃面模
6、型而还其体密度分布的本来面目。其体密度分布的本来面目。3、计算带电球层、计算带电球层(R1,R2,)的电场分布。的电场分布。解：解：选一半径为选一半径为r 的球形高斯面的球形高斯面SSr由高斯定理由高斯定理例例例例2 2求求无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线()的电场。的电场。对称性分析：对称性分析：P点处合场强垂直于带电直线点处合场强垂直于带电直线,与与P 地位等价的点的集合为以带电地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面直线为轴的圆柱面。高斯面：高斯面：取长取长 L 的圆柱面，加上的圆柱面，加上底、下底构成高斯面底、下底构成高斯面S。=0=0由高斯定理由高斯定理1.无限长均匀带电柱面的
7、电场分布？无限长均匀带电柱面的电场分布？练习练习练习练习对称性分析对称性分析对称性分析对称性分析:视为无限长均匀带电直线的集合。视为无限长均匀带电直线的集合。选同轴圆柱型选同轴圆柱型高斯面，高斯面，高斯面，高斯面，由高斯定理计算：由高斯定理计算：由高斯定理计算：由高斯定理计算：高高斯斯面面rl高高斯斯面面lr 当带电直线，柱面，柱体当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，不能视为无限长时，能否用能否用高斯定理求电场分布？高斯定理求电场分布？例例例例3.3.求求求求无限大均匀带电平面的电场无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度电荷面密度)。对称性分析：对称性分析：方向垂直于带电平面，离带电平面方
8、向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价。距离相等的场点彼此等价。选择圆柱体表面为高斯面，如图：选择圆柱体表面为高斯面，如图：S=0根据高斯定理根据高斯定理得得均匀电场均匀电场其方向由其方向由的符号决定的符号决定1.电势电势(electric potential)单位：伏特（单位：伏特（V）静电场中某点电势等于单位正电荷静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。做的功。2.电势差电势差(electric potential difference)点电荷点电荷q在
9、静电场中在静电场中a沿任意路径沿任意路径移至移至b过程中静电力做的功：过程中静电力做的功：电势和电势差电势和电势差讨论：讨论：（1）U 为空间标量函数；为空间标量函数；（2）U 具有相对意义，其值与零势具有相对意义，其值与零势 点选取有关，点选取有关，但但Uab与零势点与零势点 选取无关。选取无关。（3）电势遵从叠加原理：电势遵从叠加原理：即：点电荷系场中任一点的电势等于即：点电荷系场中任一点的电势等于 各点电荷单独存在时在该点产生各点电荷单独存在时在该点产生 的电势的的电势的代数和代数和。(零势点相同零势点相同)（4）由保守力与其相关势能的关系：由保守力与其相关势能的关系：3.静电力做的功静
10、电力做的功常选无穷远或地球电势常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的为零。电势差与电势的零点选取无关。零点选取无关。(3)由电势定义计算由电势定义计算电势的计算电势的计算电势的计算电势的计算(两种基本方法两种基本方法两种基本方法两种基本方法)1.场强积分法场强积分法(由定义求由定义求)(1)首先确定首先确定 分布分布;(2)选零势点和便于计算的积分路径选零势点和便于计算的积分路径;2.2.利用电势叠加原理利用电势叠加原理点电荷系点电荷系连续分布的带电体连续分布的带电体例例例例1.1.一一一一半径为半径为R的均匀带电球体，的均匀带电球体，带电量为带电量为q。求其电势分布。求其电势分布。解：由电
11、荷分布可知，电场沿径向解：由电荷分布可知，电场沿径向解：由电荷分布可知，电场沿径向解：由电荷分布可知，电场沿径向.选择同心球面为高斯面，选择同心球面为高斯面，S根据根据高斯定律得高斯定律得例例例例2.2.求无限大均匀带电平面求无限大均匀带电平面()场场 中电势分布。中电势分布。解：解：电场分布电场分布 因为电荷无限分布，故在有限远因为电荷无限分布，故在有限远处选零势点处选零势点.令令O点电势为零。点电势为零。沿沿X 轴方向积分：轴方向积分：区域：区域：区域：区域：Ux曲线如图曲线如图例例1.求无限长载流圆柱形导体的磁求无限长载流圆柱形导体的磁场分布。场分布。解：解：磁场分布分析磁场分布分析横横
12、截截面面图图.Ir作半径为作半径为r 的圆环为积分回路的圆环为积分回路LL根据安培环路定理根据安培环路定理安培环路定理的应用安培环路定理的应用例例例例2.2.求长直螺线管内的磁感强度求长直螺线管内的磁感强度(I,n已知已知)。解：解：分析磁场分布分析磁场分布 管内中央部分，管内中央部分，管内中央部分，管内中央部分，轴向轴向B均匀，均匀，管管管管外外B近近似为零。似为零。作安培回路作安培回路abcd如图：如图：Pc cd dab根据安培环路定理根据安培环路定理例例例例3.3.求载流螺绕环的磁场分布求载流螺绕环的磁场分布(R1、R2、N、I已知已知)。R1R2解：解：分析磁场分布分析磁场分布对称性
13、对称性相等相等 点的集合点的集合同心圆环同心圆环以中心以中心O,半径半径 r 的圆环为安培环路的圆环为安培环路L根据安培环路定理根据安培环路定理 例例例例4.4.4.4.为了测试某种材料的相对磁导率为了测试某种材料的相对磁导率,常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯子子,设环上绕有线圈设环上绕有线圈200200匝匝,平均围长平均围长0.1m,0.1m,横截面积为横截面积为5 5 1010-5-5m m2 2,当线圈内当线圈内通有电流通有电流0.1A0.1A时用磁通计测得穿过横截时用磁通计测得穿过横截面积的磁通量为面积的磁通量为6 6 1010-5-5 Wb,Wb,
14、试计算该材试计算该材料的相对磁导率。料的相对磁导率。截面磁场近似均匀截面磁场近似均匀解：解：选如图所示的安培环路选如图所示的安培环路例例例例5.5.导线导线ab弯成如图形状，半径弯成如图形状，半径r=0.10m，B=0.50T,转速转速n=3600转转/分。分。电路总电阻为电路总电阻为1000。求感应电动势。求感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和最和感应电流以及最大感应电动势和最大感应电流。大感应电流。ra ab b解：解：解：解：依题意依题意根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得最大最大感应电动势和最大感应电流为：感应电动势和最大感应电流为：例例5.一长直导线通以电流一长直导线
15、通以电流 (I0为常数为常数)。旁边有一个边长分别为。旁边有一个边长分别为l1和和l2的矩形线圈的矩形线圈abcd与长直电流共面，与长直电流共面，ab边边距长直电流距长直电流r。求线圈中的感应电动势。求线圈中的感应电动势。d dc cb ba ai i解：解：解：解：建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系OxOx如图如图如图如图x xO Ox处的磁感应强度为：处的磁感应强度为：如图取如图取dS=l2dxx xd dx x方向方向时时根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得根据楞次定律可知根据楞次定律可知Ivacd 解：在解：在cd上任取上任取dlvBx根据动生电动势公式得：根据动生电
16、动势公式得：方向：方向：c至至d。例例例例6 6：一直导线一直导线cd在一无限长直电在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动，流磁场中作切割磁力线运动，cd长长为为L。求。求：动生电动势。：动生电动势。1.1.感生电场感生电场感生电场感生电场电磁场的基本方程之一电磁场的基本方程之一可见：可见：(1)变化的磁场能够激发电场。变化的磁场能够激发电场。(2)“-”的含义：的含义：负右手螺旋负右手螺旋(3)感生电场的性质：感生电场的性质：无源、非保守无源、非保守无源、非保守无源、非保守(涡旋涡旋涡旋涡旋)场场场场(4)对场中电荷的作用力：对场中电荷的作用力：2.2.感生电动势的计算感生电动势的计算感生电
17、动势的计算感生电动势的计算1.定义求解：定义求解：若导体不闭合，则若导体不闭合，则若导体不闭合，则若导体不闭合，则 该方法只能用于该方法只能用于该方法只能用于该方法只能用于E E感感感感为已知或可求为已知或可求为已知或可求为已知或可求解的情况。解的情况。解的情况。解的情况。2.法拉第电磁感应定律求解：法拉第电磁感应定律求解：感生电场感生电场感生电场感生电场 感生电动势的计算感生电动势的计算感生电动势的计算感生电动势的计算若导体不闭合，需作辅助线。若导体不闭合，需作辅助线。若导体不闭合，需作辅助线。若导体不闭合，需作辅助线。例例例例1.1.已知半径为已知半径为已知半径为已知半径为R R的长直螺线
18、管中的的长直螺线管中的的长直螺线管中的的长直螺线管中的电流随时间变化，若管内磁感应强度电流随时间变化，若管内磁感应强度电流随时间变化，若管内磁感应强度电流随时间变化，若管内磁感应强度随时间增大，即随时间增大，即随时间增大，即随时间增大，即 =恒量恒量恒量恒量00，求，求，求，求感生感生感生感生电场分布。电场分布。电场分布。电场分布。解：解：解：解：选择一回路选择一回路L,逆时针绕行逆时针绕行感生电场的方向如图：感生电场的方向如图：例例例例2.2.在上题长直螺线管一截面内放置长在上题长直螺线管一截面内放置长在上题长直螺线管一截面内放置长在上题长直螺线管一截面内放置长为为为为2 2R R的金属棒的
19、金属棒的金属棒的金属棒(图示图示图示图示)，abab=bcbc=R R，求棒中，求棒中，求棒中，求棒中感生电动势。感生电动势。感生电动势。感生电动势。解一解一解一解一：定义法：定义法感生电场分布：感生电场分布：解二解二解二解二：法拉第电磁感应定律求解：法拉第电磁感应定律求解连接连接 ,形成闭合回路形成闭合回路半径半径通过通过 的磁通量的磁通量:例例例例3.3.3.3.某某某某空空空空间间间间区区区区域域域域存存存存在在在在垂垂垂垂直直直直向向向向里里里里且且且且随随随随时时时时间间间间变变变变化化化化的的的的非非非非均均均均匀匀匀匀磁磁磁磁场场场场B B B B=kxkxkxkxcoscosc
20、oscos t t t t。其其其其中中中中有有有有一一一一弯弯弯弯成成成成 角角角角的的的的金金金金属属属属框框框框CODCODCODCOD，ODODODOD与与与与x x x x轴轴轴轴重重重重合合合合。一一一一导导导导体体体体棒棒棒棒沿沿沿沿x x x x方方方方向向向向以以以以速速速速度度度度v v v v匀匀匀匀速速速速运运运运动动动动。设设设设t t t t=0=0=0=0时时时时x x x x=0=0=0=0，求求求求框框框框内内内内的的的的感感感感应应应应电电电电动动动动势。势。势。势。v v C CO OD Dx xB By y解：解：解：解：设某时刻导体棒位于设某时刻导体棒
21、位于l处处l l任取任取x xd dx xdS根据法拉第电磁感应定律：根据法拉第电磁感应定律：l=vt例例例例1.1.长为长为长为长为l的螺线管，横断面为的螺线管，横断面为的螺线管，横断面为的螺线管，横断面为S，线圈总匝数为线圈总匝数为线圈总匝数为线圈总匝数为N，管中磁介质的磁管中磁介质的磁管中磁介质的磁管中磁介质的磁导率为导率为导率为导率为。求自感系数。求自感系数。求自感系数。求自感系数。解：解：线圈体积：线圈体积：线圈体积：线圈体积：例例例例2.2.一电缆由两个一电缆由两个“无限长无限长”的同的同轴圆桶状导体组成，其间充满磁导轴圆桶状导体组成，其间充满磁导率为率为 的磁介质，电流的磁介质，
22、电流I从内桶流进，从内桶流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为外桶流出。设内、外桶半径分别为R1和和R2，求：单位长度的一段导线，求：单位长度的一段导线的自感系数。的自感系数。解：解：解：解：两圆柱面间磁场为两圆柱面间磁场为rd d d dr自感和互感自感和互感自感和互感自感和互感1.磁能密度：磁场单位体积内的能量磁能密度：磁场单位体积内的能量2.磁场能量磁场能量例例例例3.3.长直同轴电缆，由半径为长直同轴电缆，由半径为R1和和R2的两同心圆柱组成，电缆中有稳恒电的两同心圆柱组成，电缆中有稳恒电流流I，经内层流进，外层流出形成回路。，经内层流进，外层流出形成回路。试计算长为试计算长为l的一段电
23、缆内的磁场能量。的一段电缆内的磁场能量。b解：解：由安培环路定理可得：由安培环路定理可得：方法二：方法二：先计算自感系数先计算自感系数先计算自感系数先计算自感系数 例例例例13-1613-16.半径为R=0.1m的两块圆板，构成平板电容器。现均匀充电，使电容 器 两 极 板 间 的 电 场 变 化 率 为1013V m-1 s-1。求极板间的位移电流以及距轴线R处的磁感应强度。RE解：解：解：解：取半径取半径r的回路如图的回路如图r全电流安培定律全电流安培定律全电流安培定律全电流安培定律1.全电流全电流=传导电流传导电流传导电流传导电流(I I0 0)+)+位移电流位移电流位移电流位移电流(I Id d)2.全电流定律全电流定律（推广的安培环路定理）（推广的安培环路定理）此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢