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1、第4章 连续系统的频域分析现在学习的是第1页，共83页第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数。可分解为一系列冲激函数。yzs(t)=h(t)*f(t)。本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任为基本信号，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。这里用于系统分析的
2、独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即现在学习的是第2页，共83页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢
3、量A=(2，5，8)，可以用一个，可以用一个三维正交矢量集三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，在空间，在信号空间找到若干个信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。现在学习的是第3页，共83页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在定义在(
4、t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这构成一个函数集，当这些函数在区间些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。现在学习的是第4页，共83页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)，2(t)
5、，n(t)之外，不之外，不存在函数存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指虚指数函数集数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。(i=1，2，n)现在学习的是第5页，共83页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一构成一个正交函数空间
6、。将任一函数个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线性组个正交函数的线性组合来近似，可表示为合来近似，可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 现在学习的是第6页，共83页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越大，越大，则均方误差越小。当则均方误
7、差越小。当n时（为完备正交函数集），均方时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有误差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)帕帕塞瓦尔公式塞瓦尔公式，表明：，表明：在区间在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。能量的总和。即当即当n时，时，函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和现在学习的是第7页，共83页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f
8、(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄里赫狄里赫利利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 系数系数an,bn称为称为傅里叶系数，由傅里叶系数，由P116的的4.1-3结论可得：结论可得：可见，可见，an 是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。的奇函数。现在学习的是第8页，共83页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0=a0上式表明：上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；
9、A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+n)称为称为n次谐波次谐波。可见：可见：An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为现在学习的是第9页，共83页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数
10、对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，都可分解为奇函数和偶函数两部分，即即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 现在学习的是第10页，共83页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分
11、量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用用 cosx=(ejx+ejx)/2 现在学习的是第11页，共83页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An，n=n，则上式写为则上式写为 令令A0=A0ej 0ej0 t，0=0 所以所以现在学习的是第12页，共83页4.
12、2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。n=0,1,2，表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。之和。F0=A0/2为直流分量。为直流分量。现在学习的是第13页，共83页解解:现在学习的是第14页，共83页现在学习的是第15页，共83页解解:现在学习的是第16页，共83页现在学习的是第17页，共83页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种
13、从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化的随信号频率变化的关系，称为关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面上为横轴的平面上得到的两个图，分别称为得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。因。因为为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若
14、。若Fn为实为实数，也可直接画数，也可直接画Fn。现在学习的是第18页，共83页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画出它的，画出它的单边频谱图。单边频谱图。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周期T1=8的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=现在学习的是第19页
15、，共83页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图现在学习的是第20页，共83页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期矩形脉冲的频谱二、周期矩形脉冲的频谱设有一幅度为设有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的的周期矩形脉冲，其周期为周期矩形脉冲，其周期为T，如，如图所示。求频谱。图所示。求频谱。令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）现在学习的是第21页，共83页4.3 4.3
16、 周期信号的频谱周期信号的频谱,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。为实数，可直接画成一个频谱图。零点为零点为特点：特点：(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基性。谱线位置是基频频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。所以所以m=1时可计算第一个零点内的谐波次数n现在学习的是第22页，共83页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)当当T一定，一定，变小时，此时变小时，此时（谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线
17、数目：间的谱线数目：n n=（2/）/(2/T)=T/增多。增多。(b)当当 一定，一定，T增大时，谱线间隔增大时，谱线间隔 减小，频谱变密，反之愈稀减小，频谱变密，反之愈稀疏。各谐波分量的幅度疏。各谐波分量的幅度/T也相应减小。也相应减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。现在学习的是第23页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶
18、变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出前已指出当周期当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。度也趋近于无穷小。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令令(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。现
19、在学习的是第24页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d；则则 n （由离散量变为连续量）（由离散量变为连续量）于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数傅里叶反变换式傅里叶反变换式同时，同时，现在学习的是第25页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)F(j
20、)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:现在学习的是第26页，共83页1t0f(t)0(b)0(c)二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换现在学习的是第27页，共83页f(t)0t(a)现在学习的是第28页，共83页0(b)现在学习的是第29页，共83页3、矩形单脉冲信号（门函数）现在学习的是第30页，共83页(d)现在学习的是第31页，共83页物理意义：在时域中变化异常
21、剧烈的冲激函数的所有频率分量幅度相等。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。现在学习的是第32页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5.单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即：，即：而而fn(t)满足绝对可积条件，可求其傅里叶变换，则：满足绝对可积条件，可求其傅里叶变换，则：现在学习的是第33页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换
22、构造构造 f(t)=e-t ，0 所以所以又又因此，因此，1212()现在学习的是第34页，共83页6.符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换现在学习的是第35页，共83页现在学习的是第36页，共83页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|1 12()现在学习的是第37页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t)F1(j)，f2(t
23、)F2(j)thenProof:Fa f1(t)+b f2(t)=a F1(j)+b F2(j)a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)现在学习的是第38页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()-现在学习的是第39页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real cons
24、tant.(实常数）实常数）Proof:F f(t t0)现在学习的是第40页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=+现在学习的是第41页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:（1）in(1)t，t then（2）in(2)-then F(j t)2f()endF(jt)2f()现在学习的是第42页，共83页4.
25、5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:if =1,*ifF(j)=?现在学习的是第43页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real constant.F e j0t f(t)=F j(-0)endFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)现在学习的是第44页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For
26、 example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(+0)+(-0)For example 3Given that f(t)F(j)The modulated signal f(t)cos0t?现在学习的是第45页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant.Proof:F f(a t)=For a 0 ,F f(a t)for a 0 ,F f(a t)That is ,
27、f(a t)Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)现在学习的是第46页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(t b)e-jb F(j)f(at b)orf(at)f(at b)=现在学习的是第47页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=F(j)=?Ans:Using symmetry,using scaling property with a=-1,so that,现在学习的是第48页，共83页4.
28、5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)现在学习的是第49页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:F f1(t)*f2(t)=Using timeshiftingSo that,
29、F f1(t)*f2(t)=F1(j)F2(j)现在学习的是第50页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For exampleAns:Using symmetry,现在学习的是第51页，共83页内容回顾内容回顾一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)thena f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)then 三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenF
30、(jt)2f()四、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)then现在学习的是第52页，共83页五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then 六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)
31、*F2(j)/2Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)现在学习的是第53页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分 (Differentiation and Integration in time domain)If f(t)F(j)then Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t)现在学习的是第54页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)=1/t2?For example 1Ans:现在学习的是第55页，共83页4.5 4.5 傅里
32、叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2if f (t)F1(j)thenf(t)F(j)=?Ans:So 推论推论:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n现在学习的是第56页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3Determine f(t)F(j)Ans:f”(t)=(t+2)2 (t)+(t 2)F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2 F(j)=Notice:现在学习的是第57页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换
33、的性质八、频域的微分和积分八、频域的微分和积分 (Differentiation and Integration in frequency domain)If f(t)F(j)then (jt)n f(t)F(n)(j)whereProof can use Convolution property in frequency domain现在学习的是第58页，共83页For example 1Determine f(t)=t(t)F(j)=?Ans:Thinking:IfIfthen现在学习的是第59页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice:t(t)=(t)*(t
34、)Its wrong.Because ()()and(1/j)()is not defined.For example 2Determine Ans:现在学习的是第60页，共83页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、奇偶性九、奇偶性(Parity)If f(t)is real function,then=R()+jX()So that(1)R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX()现在学习的是第61页，共83页十
35、、帕斯瓦尔关系十、帕斯瓦尔关系(信号能量与频谱函数的关系信号能量与频谱函数的关系）(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)Proof|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).单位频率上的频谱单位频率上的频谱 (能量密度谱能量密度谱）Js4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质现在学习的是第62页，共83页For exampleDetermine the energy of Ans:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质现在学习的是第63页，共83页4.
36、4.7 7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)(0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t-e j 0 t)/(2j)j(+0)(0)现在学习的是第64页，共83页4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)=解解：(1)
37、现在学习的是第65页，共83页4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作一时也可看作一时限非周期信号限非周期信号f0(t)的周期拓展。的周期拓展。即即f(t)=T(t)*f0(t)F(j)=()F0(j)F(j)=本题本题 f0(t)=g2(t)(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较式比较傅里叶系数傅里叶系数Fn与第一单脉冲频谱的关系。与第一单脉冲频谱的关系。(1)现在学习的是第66页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.4.8 8 LTI
38、LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。指数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t=总总可认为系统的状态为可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常，因此本章的响应指零状态响应，常写为写为y(t)。现在学习的是第67页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的
39、频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本信号的基本信号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的，常称为系统的频率响应函数频率响应函数。y(t)=H(j )ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej t现在学习的是第68页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应Y(j )=F(j )H(j )已知：已
40、知：y y(t t)=)=f f(t t)*h*h(t t)由时域卷积性质得到由时域卷积性质得到现在学习的是第69页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析频率响应频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)之比，即之比，即 H(j)称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；()称为称为相频特相频特性性（或（或相频响应相频响应）。）。H(j)是是 的偶函数，的偶函数，()是是 的奇的奇函数。函数。频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法现在
41、学习的是第70页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(jH(j)的求法的求法1.H(j)=F h(t)2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求求f(t)=e-t(t)时的零状态响应时的零状态响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)现在学习的是第71页，共83页4.7 LTI4.7
42、 LTI系统的频域分析系统的频域分析f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t e-2t )(t)例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)=e-t(t)现在学习的是第72页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输信号的传输，一类是一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱。传输要求信号尽量不失真，而滤
43、波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输、无失真传输（1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入是指系统的输出信号与输入信号相比，只有信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同，而没，而没有波形上的变化。即有波形上的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j)=Ke j tdF(j)现在学习的是第73页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析
44、系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：的要求是：(a)对对H(j)的要求的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即即 H(j)=K ,()=td (b)对对h(t)的要求的要求：h(t)=K(t td)(对对(a)式作式作fourier逆变换逆变换)上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽的信条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件无失真传输条件：现在学习的是第7
45、4页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系具有如图所示幅频、相频特性的系统称为统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。c称为称为截止角频率。截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写理想低通滤波器的频率响应可写为：为：(1)冲激响应冲激响应 h(t)=-1g 2 c()e)e-j-j t td d=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。可见，它实际上是不可实现的非因果系统。现在学习的是第75页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)
46、=经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明显失真，只要：有明显失真，只要 c，则必有振荡，其过冲比稳态值，则必有振荡，其过冲比稳态值高约高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.0895现在学习的是第76页，共83页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激响应，其冲激响应在在t0时必须为时必须为0，即，即 h(t)=0,t0 即即 响
47、应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证明了证明了物理可实现的幅频特性必须满足物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利佩利-维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为，但不能在某个有限频带内为0。现在学习的是第77页，共83页4.8 4.8 取样定理取样定理4.8 4.8 取样定理取样定理 取样定理取样定理论述了在一定条件下
48、，一个连续信号完全可论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用以用离散样本值离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换。为其互为转换提供了理论依据。提供了理论依据。一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的过程。的过程。这样得到
49、的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。现在学习的是第78页，共83页4.8 4.8 取样定理取样定理如图一连续信号如图一连续信号f(t)用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(开关函数开关函数）进）进行取样，行取样，取样间隔取样间隔为为TS，fS=1/TS称为称为取样频率取样频率。得取样信号得取样信号 fS(t)=f(t)s(t)fS(t)的频谱函数为的频谱函数为:FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)脉冲序列脉冲序列取样取样 现在学习的是第79页，共83页4.8 4.8 取样定理取样定理冲激取样冲激取样 若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 Ts(t)
50、,则称为则称为冲激取样冲激取样。如果如果f(t)是是带限信号带限信号 即即f(t)的频谱只在区间（的频谱只在区间（-m，m)为为有限值，而其余区间为有限值，而其余区间为0。设设f(t)F(j)，取样信号，取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数 FS(j)=(1/2)F(j)*S s()S=2/TSs(t)=s(t)=Ts(t)S s()现在学习的是第80页，共83页4.8 4.8 取样定理取样定理=*=上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定的频谱时，设定S 22m,这时其频谱这时其频谱不发生混叠不发生混叠，因此能设法，因此能设法(如利用低通滤波器如利用低通滤波器)，从，从FS