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1、第六章一概率与概率分布第六章一概率与概率分布第一页，本课件共有81页n n现实世界中，我们说遇到的许多现象都存在着不确定性。为了描述不确定性现象的规律性，就需要应用概率论说提供的理论和方法。当我们不能获得总体的数据而只有样本数据时，必须根据样本信息来推断总体数量特征。显然这种推断说依据的信息是不完全的，推断结果具有不确定性，因此推断统计是建立在概率论基础之上的。这一章既是沟通描述统计与推断统计的桥梁，也是学习后面几章统计推断的基础。n n在一章中，将简要介绍概率论的基本知识，着重介绍在一章中，将简要介绍概率论的基本知识，着重介绍概率及其有关的概念、常见的几种概率分布及其主要概率及其有关的概念、
2、常见的几种概率分布及其主要特征、大数定律和中心极限定理。特征、大数定律和中心极限定理。第二页，本课件共有81页引入故事引入故事从赌博中发展的从赌博中发展的概率理论概率理论n n概率问题的历史可以追溯到遥远的过去，很早以前，人们就用抽签、抓阄的方法解决彼此间的争端，这可能就是概率最早的应用。而真正研究随机现象的概率论出现在15世纪之后，当时的保险业已在欧洲蓬勃发展起来，不过，当时的保险业非常不成熟，只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业，保险公司要承担很大的不确定性风险，保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现。第三页，本课件共有81页n n这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而
3、得到解决。当时的主要赌博形式有玩纸牌、掷骰子、转铜币等。参加赌博的人，特别是那些专门从事以赢利为生的职业赌徒，天长日久就逐渐悟出了一个道理：在少数几次赌博中无法预料到输赢的结果，如果多次进行下去，就可能有所预料，这并不是完全的碰巧。这无意中就给学者们提供了一个比较简单而又非常典型的概率研究模型。第四页，本课件共有81页n n1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？第
4、五页，本课件共有81页n n梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。第六页，本课件共有81页n n赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉
5、另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。第七页，本课件共有81页n n他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙15个。虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的。第八页，本课件共有81页n n三年后，也就是三年后，也就是16571657年，荷兰著名的天文、物理兼数学年，荷兰著名的天文、物理
6、兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了论掷骰子游戏中的计算更一般的规律，结果写成了论掷骰子游戏中的计算一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究
7、从对机会性游戏的分析发及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。展上升为一个新的数学分支。n n从赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。从赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。第九页，本课件共有81页n n在自然界和人类社会中有着各种各样的现象在自然界和人类社会中有着各种各样的现象,从从概率论的观点可分为两类：一是概率论的观点可分为两类：一是确定性现象确定性现象，指在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。指在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。例如，在标准大气压下，水加热到例如，在标准大气压下，水加热到100就会就会沸腾；任意大小的圆，其周长等
8、于其直径乘以沸腾；任意大小的圆，其周长等于其直径乘以派；在匀速运动的条件下，物体移动的距离与派；在匀速运动的条件下，物体移动的距离与时间成正比。时间成正比。n n以上这些现象有一个共同特点：它们的变化规以上这些现象有一个共同特点：它们的变化规律是确定的，一定的条件必然导致某一结果，律是确定的，一定的条件必然导致某一结果，这种关系可以用公式或定律在表示，这类现象这种关系可以用公式或定律在表示，这类现象我们称之为确定性现象，也叫我们称之为确定性现象，也叫必然现象必然现象。第十页，本课件共有81页n n另一类是另一类是随机现象随机现象，指在一定条件下可以发，指在一定条件下可以发生也可能不发生的现象。
9、随机现象都有一个生也可能不发生的现象。随机现象都有一个共同点：在一定条件下可以重复试验或观察共同点：在一定条件下可以重复试验或观察，在每次观察或试验进行之前无法确切知道，在每次观察或试验进行之前无法确切知道出现的结果，但是可以肯定是某些结果中的出现的结果，但是可以肯定是某些结果中的一个，而且重复进行一系列这种试验或观察一个，而且重复进行一系列这种试验或观察出现的结果不尽相同。出现的结果不尽相同。第十一页，本课件共有81页n n例如，抛出一枚硬币得到正面还是反面，下届奥运会上我国运动员获得金牌的数量，商场每天的顾客数和销售额，某城市每天交通事故的件数，等等。这些现象的一个共同特点是它们的不确定性
10、或偶然性，即一定条件下可能出现这种结果，也可能出现那种结果，出现哪种结果“纯属偶然”，完全是“随机会而定”，人们事先不能确切知道哪种结果会出现，我们称这种现象为随机现象或偶然现象。第十二页，本课件共有81页n n对于随机现象，就个别的观察或试验来说，对于随机现象，就个别的观察或试验来说，出现的结果呈现出不确定性，但是在大量重出现的结果呈现出不确定性，但是在大量重复试验或观察下，其结果却呈现出某种规律复试验或观察下，其结果却呈现出某种规律性，我们称这种规律性为统计规律性，概率性，我们称这种规律性为统计规律性，概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。
11、学学科。第十三页，本课件共有81页第一节事件与概率一、随机现象与随机事件一、随机现象与随机事件1随机现象：指事先不能精确预言其结果的现象。随机现象：指事先不能精确预言其结果的现象。随机现象有下特点：随机现象有下特点：（1 1）结果呈现偶然性、不确定性；）结果呈现偶然性、不确定性；）结果呈现偶然性、不确定性；）结果呈现偶然性、不确定性；（2）在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果呈）在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果呈现出某种固有的特定的规律性现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性，通常频率的稳定性，通常称之为称之为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象
12、的统计规律性。2、随机事件：、随机事件：随机现象的结果以及这些结果的集合体称为随机事件。简随机现象的结果以及这些结果的集合体称为随机事件。简随机现象的结果以及这些结果的集合体称为随机事件。简随机现象的结果以及这些结果的集合体称为随机事件。简称事件，通常用称事件，通常用称事件，通常用称事件，通常用A、B、C等来表示。随机事件也可以等来表示。随机事件也可以通过随机试验来定义。通过随机试验来定义。第十四页，本课件共有81页3 3、随机试验：我们把能反复进行的，对随机现象的观测或试验，、随机试验：我们把能反复进行的，对随机现象的观测或试验，、随机试验：我们把能反复进行的，对随机现象的观测或试验，、随机
13、试验：我们把能反复进行的，对随机现象的观测或试验，称为随机试验；它必须符合以下三个条件：称为随机试验；它必须符合以下三个条件：称为随机试验；它必须符合以下三个条件：称为随机试验；它必须符合以下三个条件：（1）它可以在相同条件下重复进行；）它可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有结果事先已知；）试验的所有结果事先已知；（3 3）每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断）每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断）每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断）每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定会出现哪个结果。定会出现哪个结果。定会出现哪个结果。定会出现哪个结果
14、。随机事件的每一个可能的结果，称为随机事件的每一个可能的结果，称为基本事件基本事件基本事件基本事件（即（即不能不能不能不能再分的事件再分的事件再分的事件再分的事件）也称为）也称为样本点样本点。所有样本点的集合，称为。所有样本点的集合，称为样本空间样本空间，用，用表示。表示。表示。表示。在在每次试验中，可能发生的事件，每次试验中，可能发生的事件，称为称为随机事件随机事件，随机事件如果仅包含一个样本点，该事件，随机事件如果仅包含一个样本点，该事件，随机事件如果仅包含一个样本点，该事件，随机事件如果仅包含一个样本点，该事件为为为为简单事件简单事件；如果包含样本空间中的一个以上的样本点，；如果包含样本
15、空间中的一个以上的样本点，；如果包含样本空间中的一个以上的样本点，；如果包含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称该事件称该事件称该事件称复合事件复合事件。随机事件有两种极端的情况：随机事件有两种极端的情况：随机事件有两种极端的情况：随机事件有两种极端的情况：在一定条件下必然出现的现象称为在一定条件下必然出现的现象称为在一定条件下必然出现的现象称为在一定条件下必然出现的现象称为必然事件必然事件，用，用S表示表示。在一定条件下不可能发生的事件称为在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件，用，用表示。表示。第十五页，本课件共有81页二二、概、概率率（一）概率的定义n
16、 n研究随机试验，需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性。n n能够刻画事件发生可能性大小的数量指标称之为概率(probability)。事件A的概率记为P（A）。第十六页，本课件共有81页1概率的古典定义（先验概率）随机试验具有以下特征，称为古典概型。1.试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；2.各试验的结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；3.试验的所有可能结果两两互不相容。第十七页，本课件共有81页对于古典概型，概率的定义：设样本空间由n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n
17、，即 P（A）=m/n这样定义的概率称为古典概率。因为这样的概率是以在“相似的条件下进行无数次试验”的观点来思考问题,并以对象本身所具有的对称性而事先得到的,故被称为先验概率。第十八页，本课件共有81页【例】编号1、2、3、10的十名学生中随机抽取1名，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10。所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4P(B)=mB/n=5/10=0.5第十九页，本课件共有81页n n例：设有50件产品，其中有5件次品。现从这50件中任选2件，求抽到的两件均为合格品的概
18、率是多少？抽到的两件均为次品的概率是多少？第二十页，本课件共有81页n n在古典概率中，只要通过逻辑分析，就可以求得事件的概率，不必进行真实的随机试验。但在许多情况下，古典概率的两个假定条件并不能完全满足，甚至人们对事件出现的可能性一无所知。例如，一个射击选手命中0环、1环、2环10环的可能性是不相等的，如何得知他在30次射击中全部命中10环的概率？推出某种新药来治疗肺病，治愈的概率是多大？这些概率就需要其他方法来估计。第二十一页，本课件共有81页2概率的统计定义（经验概率）概率的统计定义（经验概率）n n在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频
19、率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率(probability)。第二十二页，本课件共有81页抛掷一枚硬币正面朝上的试验记录抛掷一枚硬币正面朝上的试验记录n n随机事件的概率p通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。n n即P（A）=limf(A)=m/n（n）实验者 投掷次数正面次数频率蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005第二十三页，本课件共有81页3、主观概率、主观概率n n有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计
20、算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须对其进行估计从而做出相应的决策，那就需要应用主观概率。例如，航天飞机发射是否成功，某公司开发新产品能否盈利，我国明年通货膨胀率可能会有多高，等等，这些随机事件发生的可能性大小只能依据人们的主观估计。第二十四页，本课件共有81页n n例如，某企业营销部经理认为，新广告播出后，其产品市场占有率将会上升的可能性是60%，不变的可能性是30%，下降的可能性只有10%。凡是依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小都称为主观概率。第二十五页，本课件共有81页n n古典概率和统计概率属于客观概率，它们的确定完全取古典概率和统计概率属于客观概率，
21、它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析，或是大量重复试验的事实，决于对客观条件的理论分析，或是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而主观概率的确定是很灵活的，不以个人的意志为转移。而主观概率的确定是很灵活的，它依赖于个人的主观判断，不同的人对同一事件给出的它依赖于个人的主观判断，不同的人对同一事件给出的概率值往往有一定差异。例如：股票的成交通常就是因概率值往往有一定差异。例如：股票的成交通常就是因为有人预计股票价格很可能上升而买进。同时又有人预为有人预计股票价格很可能上升而买进。同时又有人预计股票价格很可能下跌而卖出。计股票价格很可能下跌而卖出。n n当然，主观概率也并非由个人随意猜想
22、和编造的，人当然，主观概率也并非由个人随意猜想和编造的，人们的经验、专业知识对事件发生的众多条件或影响因们的经验、专业知识对事件发生的众多条件或影响因素的分析等都是确定主观概率的依据。素的分析等都是确定主观概率的依据。第二十六页，本课件共有81页1非负性：对于任何事件A，有0P(A)1；2规范性：即P()=1；3可列可加性：即对任意两两互斥的事件Ai(i=1,2,3),AiAj=,满足：P（Ai）=Aii=1,2,3。（二）概率的性质（二）概率的性质第二十七页，本课件共有81页（三）概率的计算（三）概率的计算1 1 事件的相互关系事件的相互关系（1 1）和事件：事件）和事件：事件A A和事件和
23、事件B B至少有一个发生构至少有一个发生构成的新事件称事件成的新事件称事件A A和事件和事件B B的和事件。记作的和事件。记作A A B B。（）积事件：事件（）积事件：事件A和事件和事件B同时发生构成的同时发生构成的新事件，又叫变事件，记作新事件，又叫变事件，记作A B。（3）事件的包含与相等：当事件发生必然导）事件的包含与相等：当事件发生必然导致事件发生，则称包含，若与相互致事件发生，则称包含，若与相互包含则称两事件相等。包含则称两事件相等。（4）互斥事件：）互斥事件：A A和和B B不可能同时存在（或发生）不可能同时存在（或发生）即即ABAB为不可能事件，那么称事件为不可能事件，那么称事
24、件A A和事件和事件B B是互是互斥事件。斥事件。A B=第二十八页，本课件共有81页（5 5）对立事件）对立事件(逆事件逆事件)：事件：事件A A和和B B不可能不可能同时发生，但必然发生其一，即同时发生，但必然发生其一，即A+BA+B为必为必然事件，然事件，ABAB为不可能事件，这样为不可能事件，这样A A、B B互为互为对立事件对立事件 B B是是A A的对立的对立,记为记为 A A（6 6）完全事件系：）完全事件系：n n个事件两两互斥，且个事件两两互斥，且每次试验必有其一出现。则这每次试验必有其一出现。则这n n个事件构个事件构成完全事件系。成完全事件系。（7 7）事件的独立性（独立
25、事件）：事件）事件的独立性（独立事件）：事件A A发发生与否不影响事件生与否不影响事件B B发生的可能性，反之亦发生的可能性，反之亦然，那么就称事件然，那么就称事件A A对于事件对于事件B B是独立的。是独立的。简称独立事件。简称独立事件。第二十九页，本课件共有81页事件相互独立的三个定义：事件相互独立的三个定义：1.两两个个事事件件A A与与B B，若若其其中中任任何何一一个个事事件件发发生生的的概概率率不不受受另另外外一一个个事事件件发发生生与与否否的的影影响响，则则称称事事件件A与与B是是相互独立的，简称相互独立的，简称A A与与与与B独立。独立。2.2.若若若若两两两两个个个个事事事事
26、件件件件A A A A与与B B，P P(B B B B)0)0)0)0，且且且且P P(A A A A|B B)=)=)=)=P P P P(A A)，则则称称事事件件A与事件与事件与事件与事件B相互独立。相互独立。相互独立。相互独立。3.3.若若若若两两两两个个个个事事事事件件件件A A A A与与B B B B满满足足等等式式P P(ABAB)=)=P P P P(A A A A)P P(B B)，则则则则称称称称事事事事件件件件A A与与与与B B相互独立。相互独立。相互独立。相互独立。此定义可以推广到有限个事件。此定义可以推广到有限个事件。此定义可以推广到有限个事件。此定义可以推广到
27、有限个事件。第三十页，本课件共有81页事件独立性的五个结论事件独立性的五个结论1.事件事件A A与与B B独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是P P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B)。2.下列四对事件：下列四对事件：A A与与B B；中，只要有一对事件独立，其余三对也独立。中，只要有一对事件独立，其余三对也独立。3.设两个事件设两个事件A与与B的概率都大于的概率都大于0且小于且小于1，则，则下面等式等价，即其中任何一个成立，其它三下面等式等价，即其中任何一个成立，其它三个也一定成立：个也一定成立：第三十一页，本课件共有81页4.若事件 相互独立，则有5.若事件 相互独立，则
28、有第三十二页，本课件共有81页注意注意：独立与互不相容是不同的。第三十三页，本课件共有81页2概率的运算法则概率的运算法则n n加法法则：互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和事件B的概率之和。即P(A+B)=P(A)+P(B)。n n加法定理对于多个两两互斥的事件也成立。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)第三十四页，本课件共有81页n n推理1：完全事件系的和事件概率等于1。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)=1n n推理2：对立事件（互补事件）A的概率P（A）为 P(A)+P(A)=1因为 P(A)=1P(A)第三十五页，本课件共有81页n n推广：相容事件的加法
29、公式如果A和B是任何事件，加法规则可表示为：n nP（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）第三十六页，本课件共有81页乘法法则：乘法法则：n n如果A事件和 B事件为独立事件，则事件A与B事件同时发生的概率等于两独立事件概率的乘积，即：P(AB)=P(A)P(B)n n乘法定理对于n个相互独立的事件也成立，即 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)第三十七页，本课件共有81页推理1：若n个事件A、B、N彼此独立，且当P(A)=P(B)=P(N)时，则P(ABN)=P(A)n。推理2：非独立事件的乘法（条件概率）：如果事件A和B是非独立的，那么事件A与B同时发生的概率为事件A的
30、概率P(A)乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率P(B/A)，即：P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB)第三十八页，本课件共有81页n n、用古典法求复合事件的先验概率、用古典法求复合事件的先验概率n n首先在一样本空间中，就一样本点或基本事首先在一样本空间中，就一样本点或基本事件计算其实现的概率，这由乘法规则来解决件计算其实现的概率，这由乘法规则来解决；然后就一特定的复合事件，列出它所包含；然后就一特定的复合事件，列出它所包含的样本点。列出所有的样本点，就是要确定的样本点。列出所有的样本点，就是要确定给定复合事件含有的排列方式数，也就是考给定复合事件含有的排列方式数，也就是考虑
31、使用加法规则。虑使用加法规则。第三十九页，本课件共有81页n n组组组组合合合合（CombinationCombination）:从从从从个个个个n n元元元元素素素素中中中中抽抽抽抽取取取取x x个个个个元元元元素素素素组组组组成成成成一一一一组组组组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为（不考虑其顺序）的组合方式个数记为（不考虑其顺序）的组合方式个数记为（不考虑其顺序）的组合方式个数记为:(n!(n!为的阶乘为的阶乘,n!=1*2*n,0!=1,n!=1*2*n,0!=1)复习中学数学概念复习中学数学概念第四十页，本课件共有81页（四）小概率事件实际不可能原理（四）小概率事件实际不可能原理n
32、n随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。n n小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，以至于实际上可以看成是不可能发生的。第四十一页，本课件共有81页在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。第四十二页，本课件共有81页三、概率分布三、概率分布n n随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果出随机事件及其概率回答的是随机现象某一局
33、部结果出现的概率问题。要知道试验的全部可能结果发生的概现的概率问题。要知道试验的全部可能结果发生的概率，必须知道随机试验的概率分布。率，必须知道随机试验的概率分布。n n注意：概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所注意：概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所注意：概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所注意：概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。随
34、机现象的某个宏观结果，列次序无关的样本空间的子集。随机现象的某个宏观结果，列次序无关的样本空间的子集。随机现象的某个宏观结果，列次序无关的样本空间的子集。随机现象的某个宏观结果，如果是简单事件，将只对应于一个微观结果（基本事件），如果是简单事件，将只对应于一个微观结果（基本事件），如果是简单事件，将只对应于一个微观结果（基本事件），如果是简单事件，将只对应于一个微观结果（基本事件），如果是复合事件将对应于多个微观结果。因此哪个宏观结如果是复合事件将对应于多个微观结果。因此哪个宏观结如果是复合事件将对应于多个微观结果。因此哪个宏观结如果是复合事件将对应于多个微观结果。因此哪个宏观结果包含的基本事
35、件越多，其概率就越大，概率分布实际上果包含的基本事件越多，其概率就越大，概率分布实际上果包含的基本事件越多，其概率就越大，概率分布实际上果包含的基本事件越多，其概率就越大，概率分布实际上是要解决随机现象有多少种宏观结果，及每一种宏观结果是要解决随机现象有多少种宏观结果，及每一种宏观结果是要解决随机现象有多少种宏观结果，及每一种宏观结果是要解决随机现象有多少种宏观结果，及每一种宏观结果出现的概率为多大的问题。出现的概率为多大的问题。出现的概率为多大的问题。出现的概率为多大的问题。n n为了研究概率分布，我们先要引入随机变量。为了研究概率分布，我们先要引入随机变量。第四十三页，本课件共有81页随机
36、变量的概念随机变量的概念n n如果随机试验的每个结果（事件）都用数量来表示，如果随机试验的每个结果（事件）都用数量来表示，一个可能的结果对应一个数值，那么所有可能结果一个可能的结果对应一个数值，那么所有可能结果就可以用一个变量来描述。这种变量的取值是随机就可以用一个变量来描述。这种变量的取值是随机的，试验前不能事先确定取哪一个值，这种变量称的，试验前不能事先确定取哪一个值，这种变量称为随机变量。为随机变量。n n例如，从一批产品中随机抽取例如，从一批产品中随机抽取例如，从一批产品中随机抽取例如，从一批产品中随机抽取3 3件进行检验，出现次品件进行检验，出现次品件进行检验，出现次品件进行检验，出
37、现次品的次数有可能是的次数有可能是的次数有可能是的次数有可能是0 0、1 1、2 2、3 3件。在此项试验中，件。在此项试验中，件。在此项试验中，件。在此项试验中，“出现出现出现出现次品的件数次品的件数次品的件数次品的件数”就是我们所关心的一个随机变量，它有就是我们所关心的一个随机变量，它有就是我们所关心的一个随机变量，它有就是我们所关心的一个随机变量，它有4 4中中中中可能取值，分别对应着试验的可能取值，分别对应着试验的可能取值，分别对应着试验的可能取值，分别对应着试验的4 4个事件。个事件。个事件。个事件。第四十四页，本课件共有81页n n随机变量代表的是所有可能出现的数值。要把它与在随机
38、变量代表的是所有可能出现的数值。要把它与在随机变量代表的是所有可能出现的数值。要把它与在随机变量代表的是所有可能出现的数值。要把它与在一次具体观察中得到的具体数值区别开来。为了便于一次具体观察中得到的具体数值区别开来。为了便于一次具体观察中得到的具体数值区别开来。为了便于一次具体观察中得到的具体数值区别开来。为了便于区别，随机变量通常同大写字母如区别，随机变量通常同大写字母如区别，随机变量通常同大写字母如区别，随机变量通常同大写字母如XYZXYZ等来表示，等来表示，等来表示，等来表示，而它们的具体取值则通常用相应的小写字母如而它们的具体取值则通常用相应的小写字母如而它们的具体取值则通常用相应的
39、小写字母如而它们的具体取值则通常用相应的小写字母如xyzxyz等等等等来表示。来表示。来表示。来表示。n n如上述抽检产品的试验中，用如上述抽检产品的试验中，用X表示表示“出现次品的出现次品的件数件数”，它的，它的4个具体取值则分别记为个具体取值则分别记为x1=0,x2=1,x3 3=2,x=2,x4=3=3，随机变量，随机变量，随机变量，随机变量X X取值为取值为取值为取值为x x的概率用的概率用的概率用的概率用PP（XXx x）表示。）表示。）表示。）表示。第四十五页，本课件共有81页（一）随机变量及其分类（一）随机变量及其分类（一）随机变量及其分类（一）随机变量及其分类1、随机变量：随机
40、变量的基本思想是把随机试验的结果数量化，即用一个、随机变量：随机变量的基本思想是把随机试验的结果数量化，即用一个变量变量X 来描述试验的结果。先看下面的例子：来描述试验的结果。先看下面的例子：例例 投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结果：果：我们引入一个变量如下：我们引入一个变量如下：出现正面出现正面 出现反面出现反面这个变量可以看作是定义在样本空间这个变量可以看作是定义在样本空间上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不同而随机地取值同而随机地取值1或或0。第
41、四十六页，本课件共有81页 例例 掷一枚骰子面上出现的点数。掷一枚骰子面上出现的点数。这个试验结果本身就是一个数这个试验结果本身就是一个数当当 时，时，这里这里是随机变量，是随机变量，它是依试验结果的不同而它是依试验结果的不同而随机地取值随机地取值1，2，3，4，5，6。我们引入一个变量我们引入一个变量第四十七页，本课件共有81页 每天从武汉站下火车的人数每天从武汉站下火车的人数出现次品的件数出现次品的件数到超市购物的人数到超市购物的人数产品是否合格等产品是否合格等 类似的例子：类似的例子：七月份恩施的最高温度；七月份恩施的最高温度；第四十八页，本课件共有81页定义定义 设随机试验为设随机试验
42、为 ,其样本空间为其样本空间为如果对于每个如果对于每个 ，都有一个实数，都有一个实数 和它对应，于是就得到一个定义在和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数上的实值单值函数 ，称，称 为随机变为随机变量。量。第四十九页，本课件共有81页2 2、随机变量的分类、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举。一一列举。全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不无穷多，而且还不能一一列举，而是能一一列举，而是充满一个区间。充满一个区间。第五十页，本课件共有81页【例】对100
43、个病人用某种药物进行治疗，其可能结果是“0人治愈”、“1人治愈”、“2人治愈”、“”、“100人治愈”。若用x表示治愈人数，则x的取值为0、1、2、100。【例】测定婴儿初生重，表示测定结果的变量x 所取的值为一个特定范围(a,b)，如1.5-6.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。第五十一页，本课件共有81页如果表示试验结果的变量x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离散型随机变量；如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称x为连续型随机变量。第五十二页，本课件共有81页n n随机变
44、量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。扩大为对随机变量及其取值规律的研究。第五十三页，本课件共有81页（二）离散型随机变量的概率分布（二）离散型随机变量的概率分布n n要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。n n如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其对应的概率pi，记作 P(X=xi)=pii=1,2
45、,第五十四页，本课件共有81页n n则称上式为离散型随机变量x的概率分布或分布。常用分布列来表示离散型随机变量：（x为变量，p为概率）x1 x2 xn .p1 p2 pn .n n显然离散型随机变量的概率分布具有pi0和pi=1这两个基本性质。第五十五页，本课件共有81页例题例题n n在在5件产品中有件产品中有2件优质产品，现从这件优质产品，现从这5件产品中任取件产品中任取3件。试求抽出产品中件。试求抽出产品中优质产品件数的概率分布。优质产品件数的概率分布。第五十六页，本课件共有81页求解求解n n解：“抽出产品中优质产品件数”是本例中所关心的随机变量X，其可能取值只有0，1，2这三个。因此，
46、可通过计算得到该随机变量X的概率分布为：n nP（X=0）=?n nP（X=1）=?n nP（X=2）=?n n离散型随机变量的概率分布可以用列表方式表现，称为分布列。第五十七页，本课件共有81页（三）连续型随机变量的概率分布（三）连续型随机变量的概率分布n n连续型随机变量的概率分布不能用分布列来表示，因为其可能取的值是不可数的。我们改用随机变量x在某个区间内取值的概率P(axb)来表示。n n下面通过频率分布密度曲线予以说明。第五十八页，本课件共有81页如果样本取得越来越大(n+)，组分得越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值，即概率。(概率与频率关系)即，当n+、i0时，频
47、率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数。第五十九页，本课件共有81页连续性随机变量的概率密度连续性随机变量的概率密度n n连续型随机变量的取值无法一一列举，因此其概率连续型随机变量的取值无法一一列举，因此其概率分布不能用分布列表示，而只能用数学函数和图形分布不能用分布列表示，而只能用数学函数和图形来表示。用来表示连续型随机变量概率分布的函数来表示。用来表示连续型随机变量概率分布的函数有概率密度函数（简称概率密度）和分布函数。有概率密度函数（简称概率密度）和分布函数。n n概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数f(x)f(x)的函
48、数值并不是随机变量取值的概率。的函数值并不是随机变量取值的概率。的函数值并不是随机变量取值的概率。的函数值并不是随机变量取值的概率。实际上，连续型随机变量的取值是无数多的（如产品的实际上，连续型随机变量的取值是无数多的（如产品的实际上，连续型随机变量的取值是无数多的（如产品的实际上，连续型随机变量的取值是无数多的（如产品的使用寿命，某地区粮食产量等），它取某个特定值的概使用寿命，某地区粮食产量等），它取某个特定值的概使用寿命，某地区粮食产量等），它取某个特定值的概使用寿命，某地区粮食产量等），它取某个特定值的概率等于率等于率等于率等于0 0，我们只能计算随机变量落在一定区间内的概率，我们只能计
49、算随机变量落在一定区间内的概率，我们只能计算随机变量落在一定区间内的概率，我们只能计算随机变量落在一定区间内的概率，而这一概率是由其概率密度曲线与而这一概率是由其概率密度曲线与而这一概率是由其概率密度曲线与而这一概率是由其概率密度曲线与x x轴在这个区间内围成轴在这个区间内围成轴在这个区间内围成轴在这个区间内围成的面积大小来表示的。也就是说，已知概率密度函数的面积大小来表示的。也就是说，已知概率密度函数的面积大小来表示的。也就是说，已知概率密度函数的面积大小来表示的。也就是说，已知概率密度函数f(x)f(x)，就可用定积分的方法来得到随机变量，就可用定积分的方法来得到随机变量，就可用定积分的方
50、法来得到随机变量，就可用定积分的方法来得到随机变量X X在一定区间在一定区间在一定区间在一定区间（a,ba,b）上的概率。）上的概率。）上的概率。）上的概率。第六十页，本课件共有81页对于连续型随机变量如果存在非负可积函数，对任意的都有则称为的概率分布密度函数，简称概率密度。连续型随机变量的概率密度具有如下性质：连续型随机变量的概率密度具有如下性质：第六十一页，本课件共有81页连续型随机变量的概率密度函数具备连续型随机变量的概率密度函数具备的性质：的性质：n n这是因为概率具有非负性，概率密度也必然是非负函数。n n这表示整个概率密度曲线与x轴围成的面积为1，即连续性随机变量在所有区域上取值的