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1、概率论与数理统计第六章样本与抽样分布你现在浏览的是第一页，共85页第六章 样本与抽样分布 本章主要内容1 总体与个体2 直方图与经验分布函数3 统计量及其分布你现在浏览的是第二页，共85页 1.定义定义1：一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.一一.总体与个体总体与个体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.总体总体 6.1 总体与个体你现在浏览的是第三页，共85页2.有限总体和无限总体有限总体和无限总体定义定义2：样本中所包含的个体数目：样本中所包含的个体数目n称为
2、称为样本容量。样本容量。注：注：当有限总体包含的个体的总数很大时当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地可近似地将它看成是无限总体将它看成是无限总体.总体容量有限的成为总体容量有限的成为有限总体有限总体总体容量无限的称为总体容量无限的称为无限总体无限总体 6.1 总体与个体你现在浏览的是第四页，共85页 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项其每个个体的一项(或几项或几项)数量指标数量指标和该数量指标在和该数量指标在总体中的总体中的分布情况分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体全体就是总体.
3、某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油国产轿车每公里耗油量的全体就是总体量的全体就是总体 6.1 总体与个体你现在浏览的是第五页，共85页 由于每个个体的出现是随机的，所以相由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性应的数量指标的出现也带有随机性.从而可从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样，这样，总体就可以用一个随机变量及总体就可以用一
4、个随机变量及其分布来描述其分布来描述.统称总体统称总体X。6.1 总体与个体注意你现在浏览的是第六页，共85页 而而概率分布概率分布正是刻划这种集体性质的适当正是刻划这种集体性质的适当工具工具.因此在理论上可以把总体与概率分布等同因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来起来.统计的任务统计的任务,是根据从总体中抽取的样本是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质去推断总体的性质.由于我们关心的是总体中的个体的某项指由于我们关心的是总体中的个体的某项指标标(如人的身高、体重，灯泡的寿命如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的汽车的耗油量耗油量)，所谓总体的性质所谓总体的性质，无非就是这些无非就是这些
5、指标值的集体的性质指标值的集体的性质.6.1 总体与个体你现在浏览的是第七页，共85页 例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体.如如说说总体总体X或总体或总体F(x).F(x)6.1 总体与个体你现在浏览的是第八页，共85页 类似地，在研
6、究某地区中学生的营养状况类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)来表示来表示.统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个总体就是一个 概率分布概率分布.6.1 总体与个体你现在浏览的是第九页，共85页 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体中抽取若干
7、个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为总体的信息，这一抽取过程称为“抽样抽样”，所抽，所抽取的部分个体称为取的部分个体称为样本样本.样本中所包含的个体数目样本中所包含的个体数目称为称为样本容量样本容量.二二.样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5 6.1 总体与个体你现在浏览的是第十页，共85页 但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的，称为样本的一次观一次观察值察值，简称，简称样本值样本值.样本是随机变量样本是随机变量.抽到哪抽到哪5辆是随机的
8、辆是随机的容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量.6.1 总体与个体你现在浏览的是第十一页，共85页2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，它要求抽取的样本，它要求抽取的样本满足下面两点满足下面两点:1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察中每一个与所考察
9、的总体有相同的分布的总体有相同的分布.6.1 总体与个体你现在浏览的是第十二页，共85页 由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随简单随机样本机样本，它可以用与总体独立同分布的，它可以用与总体独立同分布的n个个相互独立的随机变量相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示表示.若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则其简单随，则其简单随机样本的联合分布函数为机样本的联合分布函数为三三.样本的概率分布样本的概率分布 6.1 总体与个体你现在浏览的是第十三页，共85页今后，若不特别说明，就指简单随机样本今后，若不特别说明，就指简单随机样本.若连续总体的概率密度函数为f(x)
10、，则其样本的联合概率密度函数为 6.1 总体与个体 离散时，概率函数是指分布率p(x),则其样本的联合分布率为注意你现在浏览的是第十四页，共85页 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值确定的值.如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测人测量身高，得到量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而个数，它们是样本取到的值而不是样本不是样本.我们只能观察到随机变量取的值我们只能观察到随机变量取的值.四四.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系 6.1 总体与个体你现在浏览的是第十五页，共85页总体（理论分布）总体（理论分布）？样
11、本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去样本值，去推断总体的情况推断总体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以也就是样本取到样本值的规律，因而可以由由样本值去推断总体样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁 6.1 总体与个体你现在浏览的是第十六页，共85页例例1-11-1：已知总体已知总体X服从参数为服从参数为 的泊松分布，求样本的泊松分布，求样本的联合分布律的联合分布律 6.1 总体与个体你现在浏览的是第十七页，共85页 6
12、.1 总体与个体2022/12/418你现在浏览的是第十八页，共85页一、直方图一、直方图（自学）当取得一组样本值后，一般先根据样本的取值当取得一组样本值后，一般先根据样本的取值作出频率直方图对总体的分布情况作一个几何直观作出频率直方图对总体的分布情况作一个几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的分析推断直上的粗略了解，然后再进行进一步的分析推断直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：频数，频数，频率频率，最准确的是，最准确的是频率频率/组距组距，它可使得诸长条矩形
13、，它可使得诸长条矩形面积和为面积和为1 1。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。度的选择，直方图本身并无变化。6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第十九页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十一页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十二页，共85页例2-1 某工厂用自动包装机包装产品，为了考察每袋产品重量的波动情况，选取100袋产品测得其重量如下：(单位：kg)，根据测得的数据作出频率直方图97.894.698.9100.9
14、99.8102.797.9 98.7 97.195.599.0101.199.6102.997.795.7 99.3 102.199.5101.299.9103.198.295.899.1 100.3 98.8101.3100.0103.898.196.099.0101.4 99.9 98.9100.198.396.399.2101.5100.2104.5 99.8 100.998.596.699.3101.4100.397.898.4 102.2 99.896.799.4101.1100.496.999.5101.0 98.8 102.4100.198.597.099.1101.2100.2
15、98.0 100.7 99.797.299.2101.6100.298.197.499.0 98.6 100.1101.6100.498.197.599.4101.8100.5 102.3 100.6102.0100.298.999.7100.6102.1 100.8 99.6 98.8100.4 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十三页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十四页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十五页，共85页 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十六页，共85页二、经验分布函数二、经验分布函数 6.2 直方
16、图与经验分布函数你现在浏览的是第二十七页，共85页为由为由x x1 1,x x2 2,x xn n确定的确定的经验分布函数经验分布函数.定义定义6 6设设x x1 1,x x2 2,x xn n是总体是总体X X的样本值，称函数的样本值，称函数 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十八页，共85页经验分布函数与理论分布函数的关系经验分布函数与理论分布函数的关系 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第二十九页，共85页因此，我因此，我们们可以用可以用来近似来近似 这这也是利用也是利用样样本来估本来估计计和判断和判断总总体的基本理体的基本理论论和和依据依据 6.2 直方图与经验分布
17、函数 例例2-2 从某总体中抽取容量为从某总体中抽取容量为5的样本，其观的样本，其观测值依次为测值依次为 -1.2，2.6，1.8，-0.7，1.8求经验分布函数，并画出的图形求经验分布函数，并画出的图形解解 将数据由小到大排列得：将数据由小到大排列得：-1.2，-0.7，1.8，1.8，2.6你现在浏览的是第三十页，共85页则经验分布函数为：则经验分布函数为：6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第三十一页，共85页的的图图形形见见下下图图 6.2 直方图与经验分布函数你现在浏览的是第三十二页，共85页 由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况，需需要要对对样样本本值值进进行行“加加
18、工工”，这这就就要要构构造造一一些些样样本本的的函函数数，它它把把样样本本中中所含的（某一方面）的信息集中起来所含的（某一方面）的信息集中起来.一、样本统计量一、样本统计量定义定义；设设 x x1 1,x x2 2,x xn n 为取自某总体的样为取自某总体的样本，若样本函数本，若样本函数T T=g g(x x1 1,x x2 2,x xn n)中中不含有任不含有任何未知参数何未知参数。则称。则称T T 为为统计量统计量。它是完全由样本决。它是完全由样本决定的量定的量.统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布。6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十三页，共85页 为什么要引进统计量
19、？为什么统计量中不能含有未知参数？答:引进统计量的目的是为了将杂乱无序的样本值归结为一个便于进行统计推断和研究分析的形式，集中样本所含信息，使之更易揭示问题实质，从而解决问题。如果统计量中仍含有未知参数，就无法依靠样本观测值求出未知参数的估计值，因而失去利用统计量估计未知参数的意义，这是违背我们引进统计量的初衷的。6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十四页，共85页 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十五页，共85页 几个常见统计量几个常见统计量样本均值样本均值样本方差样本方差它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本标准差样本标准差
20、 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十六页，共85页样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十七页，共85页 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十八页，共85页 上述五种统计量可统称为上述五种统计量可统称为矩统计量，矩统计量，简称简称样本矩样本矩，他们都是样本的显函数，它们的观测，他们都是样本的显函数，它们的观测值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本差、样本k阶阶
21、(原点原点)矩、样本矩、样本k阶中心矩阶中心矩 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第三十九页，共85页顺序统计量顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成 6.3 统计量及其分布2022/12/440你现在浏览的是第四十页，共85页二、统计量的分布二、统计量的分布 统计量既然是依赖于样本的，而统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的分布叫做统计量的“抽样分布抽样分布”.6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十一页，共85页 抽样分布就是通常的随机变量函数
22、的分布抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.只是强调这一分布是由一个统计量所产生的只是强调这一分布是由一个统计量所产生的.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质性，完全取决于其抽样分布的性质.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布（小样本问题中使用）（小样本问题中使用）（大样本问题中使用（大样本问题中使用)6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十二页，共85页记为记为分布分布1、定义定义:设设 相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为所服从的
23、分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十三页，共85页 卡方分布是由英国统计学家卡方分布是由英国统计学家Karl PearsonKarl Pearson(1857-1936)(1857-1936)于于19001900年提出来的。年提出来的。6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十四页，共85页 自由度(degree of freedom,df)在数学中是指能够自由取值的随机变量的个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某
24、一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十五页，共85页分布的密度函数为分布的密度函数为来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十六页，共85页该密度函该密度函数的图像数的图像是一只取是一只取非负值的非负值的偏态分布偏态分布 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十七页，共85页性质性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形)6.3
25、 统计量及其分布你现在浏览的是第四十八页，共85页性质性质2证明证明事实上，因事实上，因，故，故 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第四十九页，共85页 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十页，共85页P304附表5=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.684
26、15.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.
27、68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表分布表 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十一页，共85页=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.87
28、21.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.57
29、51.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912？=3.816P304附表5分布表分布表 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十二页，共85页=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.4
30、1229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.2
31、8941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328?=36.741分布表分布表 6.3 统计量及其分布P304附表5你现在浏览的是第五十三页，共85页应用中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若 ，则当则当n充分大时，充分大时，若若的分布近似标准正态分布的分布近似标准正态分布.则则可以求得，可以求得，E(X)=n,D(X)=2n
32、若若 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十四页，共85页t的密度函数为：的密度函数为：记为记为tt(n).所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布 定定义义:设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相互独立，则称变量相互独立，则称变量)(2nc 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十五页，共85页 6.3 统计量及其分布 学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉戈塞（William Sealy Gosset，1876.6.131937.10.16）于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使
33、用了Student这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher,FRS，1890.2.171962.7.29）的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。（http:/ 2时时)当当n充分大时，其图形类似于标准正态分布充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形密度函数的图形.t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十七页，共85页当当n充分大时充分大时,其图形其图形类似于标准正态变量类似于标准正态变量概率密度的图形概率密度的图形.6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十八
34、页，共85页性质1 设 ,则当n2 时有性质2 设 ，是t的分布密度，则此性质说明，当 时，t分分布布的的极极限限分分布布是是标标准准正正态分布态分布。t 分布具有下列性质：6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第五十九页，共85页由分布的对称性知由分布的对称性知 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十页，共85页=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120
35、.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.13
36、15 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208分布表分布表 6.3 统计量及其分布P303附表4你现在浏览的是第六十一页，共85页P303附表4=0.250.100.050.025
37、0.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77
38、091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554
39、 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208?=2.1315分布表分布表 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十二页，共85页由定义可见，由定义可见，3、F分布分布定义定义:设设 X与与Y相相互独立，则称统计量互独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为称为第第一自由度一自由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作 FF(n1,n2).6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十三页，共85页 为了彰显英国统计学家費雪对统计的贡为了彰显英国统计学家費雪对统计的贡献，美国统计学家斯
40、內德克（献，美国统计学家斯內德克（George Snedecor,1881-1974）提出以費雪名字开头的）提出以費雪名字开头的字母，当作字母，当作 分布的名称。分布的名称。6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十四页，共85页即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的的数学期望数学期望为为:若若n22若若XF(n1,n2)，X的概率密度为的概率密度为 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十五页，共85页(1)(2)6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十六页，共85页 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第六十七页，共85页分布表分布表 6.3 统
41、计量及其分布n1n2123456789101161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 218.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 310.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 47.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 56.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 65.
42、99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 75.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 85.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 95.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 104.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 114.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90
43、2.85 124.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 134.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 P305附表52022/12/468你现在浏览的是第六十八页，共85页分布表分布表 6.3 统计量及其分布n1n2123456789101161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 218.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 3
44、10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 47.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 56.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 65.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 75.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 85.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39
45、 3.35 95.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 104.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 114.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 124.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 134.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 P305附表5你现在浏览的是第六十九页，共85页 当总体为当总体为正态
46、分布正态分布时，教材上给出了几时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理个重要的抽样分布定理.这4个抽样分布定理很重要，要牢固掌握。三、正态总体样本均值与方差的分布三、正态总体样本均值与方差的分布 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十页，共85页 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有的样本，则有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十一页，共85页n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十二页，共85页 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,
47、Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十三页，共85页n取不同值时取不同值时 的分布的分布 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十四页，共85页 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十五页，共85页 定理定理 3证明：证明：6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十六页，共85页 定理定理 4.1(两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布)分
48、别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，则有则有Y1,Y2,是是样本样本 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十七页，共85页 定理定理 4.1 的证明：的证明：由定理由定理2，由假设由假设 相互独立，按照相互独立，按照F分布的定义有分布的定义有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十八页，共85页 定理定理 4.2(两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取
49、自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,则有则有Y1,Y2,是是样本样本 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第七十九页，共85页 定理定理 4.2 的证明：由第四章，的证明：由第四章，6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十页，共85页 上面的定理说明了当方差相等时抽样分布服从自由上面的定理说明了当方差相等时抽样分布服从自由度为度为n1+n2-2的的t分布。但是，当方差未知且不等时，分布。但是，当方差未知且不等时，抽样分布近似服从自由度为抽样分布近似服从自由度为DF的的t分布：分布：6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十一页，共85页例1 设随机变量 和 相互独立，且都服从 ，而 和 为分别来自总体X和总体Y的样本，试分析下面的统计量服从什么分布？6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十二页，共85页解：由TH1，又Y的标准化变量根据t分布的定义有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十三页，共85页例2 设 ，试分析下面的随机变量服从什么分布？解：6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十四页，共85页例3 设 ，现从两总体中分别抽样，有 ，。试求概率的值。解：根据题意，由定理4有 6.3 统计量及其分布你现在浏览的是第八十五页，共85页