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1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3.1.4 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：问题：我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空
2、间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 且设且设 为空间两两垂直的向为空间两两垂直的向量，设点量，设点Q为点为点P在在 所确定平所确定平面上的正投影面上的正投影由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解xyzQPO 由此可知由此可知,如果如果 是空间两两垂直的向量是空间两两垂直的向量,那么那么,对空间任对空间任一向量一向量 ,存在一个有序实数组存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量上的分向量.空间向量基本定理：空间向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量.注注:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在
3、有序实数组x,y,z使探究：探究：在空间中在空间中,如果用任意三个不共面向量如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的你能得出类似的 结论吗？结论吗？（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面，还应明确：还应明确：（2）由于可视）由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线,与任意与任意两个非零向量共面两个非零向量共面,所以三个向量不共面所以三个向量不共面,就隐含着它们就隐含着它们都不是都不是 .（3
4、）一个基底是指一个向量组）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的一个基向量是指基底中的某一个向量某一个向量,二者是相关连的不同概念二者是相关连的不同概念.推论：推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组都存在唯一的有序实数组x,y,z，使使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单
5、位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分为原点，分别以别以e1,e2,e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方轴的正方向，建立一个空间直角坐标系向，建立一个空间直角坐标系O-xyzxyze1e2e3O 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向中，对空间任一向量量 ,平移使其起点与原点平移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量OP=P由空间向量基本定理可知由空间向量基本定理可知,存在有序实数组存在有序实数组x,y,z使使
6、 P=xe1+ye2+ze3 此时向量此时向量P的坐标恰是点的坐标恰是点P在在直角坐标系直角坐标系oxyz中的坐标中的坐标(x,y,z)，其中其中x叫做点叫做点P的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点P的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点P的竖坐标的竖坐标.xyzOP(x,y,z)e1e2e3 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点P,对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x,y,z,使使 (如图如图).显然显然,向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此空间直角在此空间直角坐标系中的坐标坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)也就是说也就是说,以以O为起点的有向为起点的有向线段线段(向量向量)的坐标可以和终点的的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系坐标建立起一一对应的关系,从而从而互相转化互相转化.我们说我们说,点点P的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作P(x,y,z)，其中其中x叫做点叫做点P的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点P的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点P的的竖竖坐标坐标.e1e2e3例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解2、已知向量、已知向量a，b，c是空间的一个基底是空间的一个基底求证：向量求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底练习练习练习练习3