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1、 数理统计中常用数理统计中常用(chn yn)(chn yn)的分布除正态分布外，的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即还有三个非常有用的连续型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布数理统计的三大数理统计的三大(sn d)(sn d)分布分布(都是都是连续型连续型).).它们都与正态分布有密切它们都与正态分布有密切(mqi)(mqi)的联系的联系.在本章中特别要求掌握对正态分布在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布分布、t分布分布、F分布分布的一些结论的熟练运用的一些结论的熟练运用.它们是它们是后面各章的基础后面各章的基础.第四节第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布三大抽样
2、分布及常用统计量的分布第一页，共31页。（卡方）（卡方）分布分布 定义定义1:1:设总体设总体 ，是是 的一个的一个样本样本,则统计量则统计量 的概率密度函数为的概率密度函数为 则称统计量则称统计量 服从自由度为服从自由度为n n的的 分布，分布，记作记作第二页，共31页。0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图图5-4f(y)其图形其图形(txng)(txng)随随自由度的不同而有自由度的不同而有所改变所改变.分布密度函数的图形分布密度函数的图形注：自由度是指独立随机变量的个数，注：自由度是指独立随机变量的个数，第三页，共31页。
3、性质性质1 1：2 2分布分布(fnb)(fnb)的数学期望与方差的数学期望与方差设设 2 2(n)，则，则E(2)=n，D(2)=2n.性质性质(xngzh)2(xngzh)2：2 2分布的可加性分布的可加性设设且且相互独立相互独立，则则第四页，共31页。第五页，共31页。定理定理1 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN(，2)的样本，则的样本，则证明证明(zhngmng)由已知，有由已知，有XiN(，2)且且X1，X2，Xn相互相互(xingh)独立，独立，则则且各且各相互独立，相互独立，由定义由定义(dngy)1:得得第六页，共31页。定理定理(dngl)3:设设(X
4、1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则的样本，则(1)样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立；(2)(4.1)(4.1)式的自由度为什么是式的自由度为什么是n-1？从表面从表面(biomin)上上看，看，是是n个正态随机变量个正态随机变量的平方和，的平方和，但实际上它们但实际上它们(t men)不是独立的，不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：它们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个这表明，当这个n个正态随机变量中有个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这一个的取值就跟着唯一
5、确定了，故在这n项平方和中只有项平方和中只有n-1项是项是独立的独立的.所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n-1.第七页，共31页。定理定理3：设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体(zngt)XN(，2)的样本，则的样本，则(1)样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立；(2)(4.1)与以下补充性质与以下补充性质(xngzh)的结论比较：的结论比较：性质性质 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN(，2)的样本，则的样本，则第八页，共31页。其几何其几何(j h)意义见图意义见图5-5所示所示.其中其中(qzhng)f(x)是是
6、 2-分布的概分布的概率密度率密度.f(x)xO 图图5-5显然，在自由度显然，在自由度n取定以后，取定以后，的值只与的值只与 有关有关.2 2分布分布(fnb)(fnb)的的 上侧分位点上侧分位点第九页，共31页。例如例如(lr)，当，当n=21，=0.05时，由附表时，由附表3(P254)可查可查得，得，32.67即即第十页，共31页。二、二、t t分布分布(fnb)(fnb)定义定义(dngy)3 设随机变量设随机变量XN(0，1)，Y 2(n)，且，且X与与Y相互独立相互独立(dl)，则称统计量，则称统计量 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布，记作记作t分布的概率密度函数为分布的
7、概率密度函数为T t(n).其图形如图其图形如图5-6所示所示(P106)，其其形状类似标准正态分布形状类似标准正态分布的的概率密度的图形概率密度的图形.当当n较大时，较大时，t分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.第十一页，共31页。定理定理(dngl)4设设(X1(X1，X2X2，Xn)Xn)为来自正态总体为来自正态总体 X XN(N(，2)2)的样本的样本(yngbn)(yngbn)，则统计量，则统计量证证由于由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 由定义由定义(dngy)3得得第十二页，共31页。定理定理(dngl)5 设设(X1(X1，X2X2，Xn1)Xn1)和和(Y1(Y
8、1，Y2Y2，Yn2)Yn2)分别分别是来自正态总体是来自正态总体N(N(1 1，2)2)和和N(N(2 2，2)2)的样本，且它们的样本，且它们相互相互(xingh)(xingh)独立，则统计量独立，则统计量其中其中(qzhng)、分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差.第十三页，共31页。第十四页，共31页。t t 分布分布(fnb)(fnb)的的 上侧分位点上侧分位点对于对于(duy)给定的给定的 (0 45时，如无详细表格可查，可以用标准正态时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替分布代替t分布查分布查t(n)的值的值.即即t(n)u ，n45.一般的一般的t分布临界值表中，
9、详列至分布临界值表中，详列至n=30，当，当n30就就用标准正态分布用标准正态分布N(0,1)来近似来近似.第十七页，共31页。三、三、F F分布分布(fnb)(fnb)服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二，第二(d r)自由度为自由度为n2的的F分布，分布，定义定义5.5 设随机变量设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且与相互独立，则称随机变量与相互独立，则称随机变量 记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数其中其中(qzhng)其图形见图其图形见图5-9.(P108)第十八页，共31页。性质性质：若：若XF(n1，n2)，则，则F(n2，n1).F 分布分布(fnb)的上的上侧侧 分位点分位点对于对于(duy)给定的给定的 (0 =0.1,求求 .解解因为因为(yn wi)n=10，n-1=9，2=42，所以所以(suy)2(9).又又PS2 =0.1，所以所以查查表表14.684.故故 14.684x26.105第三十一页，共31页。