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1、 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的三个非常有用的连续连续型分布，即型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 数理统计的三大分布数理统计的三大分布( (都是都是连续连续型型) ). .它们都与正态分布有密切的联系它们都与正态分布有密切的联系. .在本章中特别要求掌握对在本章中特别要求掌握对正态正态分布分布、 2 分布分布、t 分布分布、F 分布的一些结论的熟练运用。分布的一些结论的熟练运用。 三大三大抽样分布抽样分布是是后面各章的后面各章的基础基础。第四节第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布三大抽样分布及常用统计量的分布 ( (卡方
2、卡方) ) 分布分布 定义定义1: 1: 设总体设总体 , , 是是 的的一个样本，则统计量一个样本，则统计量 X12, . ,nXXX222212nXXX的概率密度函数为的概率密度函数为 10(0)txtxe dx t其中 ( )为 函数。称统计量称统计量 服从自由度为服从自由度为 的的 分分布，记作布，记作222212nXXX222( ).n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf01XN,n20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图图5-4f(y)其图形随自由度其图形随自由度 的不同而有所改变的不同而有所改变. .
3、分布密度函数的图形分布密度函数的图形 2n注：自由度是指独立随机变量的个数，注：自由度是指独立随机变量的个数， dfnn性质性质1 1： 2 2分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差设设 ，则，则E( ) = n，D( ) = 2n.性质性质2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性设设221122(),(),XnXn 且且12 , XX相互独立相互独立，则则21212()XXnn XXX 2n 222 3,1lim22txnXnXnPedtnxx性质 ：设则对任意实数有2 , 2.nnN nn这个性质说明当很大时，自由度为的分布趋于正态分布 （）定理定理1 设设(X1，X2，Xn)为取自正态
4、总体为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则的样本，则2212()( )niiXn 证明：证明： 由已知，有由已知，有Xi N( ， 2)且且X1，X2，Xn相互独立，相互独立，则则 (0, 1)iXN ，且各，且各iX 相互独立，相互独立， 由定义由定义1 :得得2221212 ()( ).nniiiiXXn 定理定理3 :3 : 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则的样本，则(1) 样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度为什么是式的自由
5、度为什么是n- -1？从表面上看，从表面上看，21()niiXX 是是n个正态随机变量个正态随机变量的平方和，的平方和，iXX 但实际上它们不是独立的，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：它们之间有一种线性约束关系：11()nniiiiXXXnX =0这表明，当这个这表明，当这个n个正态随机变量中有个正态随机变量中有n- -1个取值给定时，剩下个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有项平方和中只有n- -1项是独立的项是独立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1. 定理定理3 3： 设设(X
6、1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则的样本，则(1) 样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)与以下补充性质的结论比较：与以下补充性质的结论比较： 性质性质 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则的样本，则2212()( )niiXn 其几何意义见图其几何意义见图5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2分布的概率密度。分布的概率密度。f(x)xO 2( )n 图图5-5显然，在自由度显然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只与的
7、值只与 有关。有关。 2( )n 2 2分布的分布的 上侧分位点上侧分位点222( )222( ),01 ,( )()()()nnXnP Xnf x dxn定义 ：设对于给定的正数 （）称满足条件的点为分布的上侧分位点。例如：当例如：当 n = 21， = 0.05 时，由附表时，由附表3可查得，可查得，20.05(21) 32.67，即即 2(21)32.670.05.P 二、二、 分布分布定义定义3: 设随机变量设随机变量XN(0，1)，Y 2(n) ，且，且X与与Y相互相互独立独立，则称统计量，则称统计量 XTYn 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布，分布， 记作记作t分布的概
8、率密度函数为分布的概率密度函数为Tt(n).1221()2( )(1),()( )2nntf ttnnn 其图象如图其图象如图 5-6 所示，其形状类似于标准正态分布所示，其形状类似于标准正态分布的概率密度函数的图象。的概率密度函数的图象。当当 n 较大时，较大时， t 分布分布近似于近似于标准正态分布标准正态分布。t定理定理4设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量的样本，则统计量证：证：由于由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定义由定义3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn
9、 (n/ 1)XTSnt定理定理5 设设(X1，X2，Xn1) 和和 (Y1，Y2，Yn2) 分分别是来自正态总体别是来自正态总体N( 1 ， 2) 和和 N( 2 ， 2)的样本，且的样本，且它们相互独立，则统计量它们相互独立，则统计量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分别为两总体的样本方差。分别为两总体的样本方差。1222122222122112212222222112212221212122X()(0,1)(1)(1)(1),(1)(1)(1)(2)3()(nn2)11nYNnnnSnS
10、nnnSnSnnXYtTSSSnn独证 明 ： 由 例 知且与相 互， 由分 布 的 性立质 知知再 由 定 义 分布的分布的 上侧分位点上侧分位点对于给定的对于给定的 (0 45时，如无详细表格可查，可以用标准时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替正态分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即当当 n45时时， t (n) u 一般的一般的t分布临界值表中，详列至分布临界值表中，详列至n=30，当，当n30就用标准正态分布就用标准正态分布N(0, 1)来近似来近似.三、三、F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布，分布，定义定义
11、5.5 设随机变量设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且与相互独立，则称随机变量与相互独立，则称随机变量 12X nFY n 记作记作FF(n1，n2)，其概率密度函数为：其概率密度函数为：11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其图形见图其图形见图5-9 (P108)。 1X性质性质：若：若XF(n1，n2)，则，则F(n2，n1)。一、F分布的上侧分位点对于给定的(0 = 0.1,求求 .解：解： 因为因为n=10，n- -1=9， 2=42，所以所以2294S 2(9).又又PS2 =2229944SP =0.1，所以所以220.19(9)4 查表查表14.684.故故 14.684 x169 26.105