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1、 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即三个非常有用的连续型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 数理统计的三大分布数理统计的三大分布( (都是连续型都是连续型) ). .它们都与正态分布有密切的联系它们都与正态分布有密切的联系. .在本章中特别要求掌握对正态分布在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布分布、t分布分布、F分布分布的一些结论的熟练运用的一些结论的熟练运用. . 它们它们是后面各章的基础是后面各章的基础. .第四节第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布三大抽样分布及常用统计量的分布2（卡方）（卡方）分布分布
2、0,1XN定义定义1:1:设总体设总体 ， 是是 的一的一个样本个样本, ,则统计量则统计量 X12,.,nXXX222212nXXX的概率密度函数为的概率密度函数为 函数。为）（其中)0(01tdxextxt则称统计量则称统计量 服从自由度为服从自由度为n n的的 分布，分布，记作记作222212nXXX222( )n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图图5-4f(y)其图形随自由度的其图形随自由度的不同而有所改变不同而有所改变. .分布密度函数的图形分布密度函数的图形2(
3、)n注：自由度是指独立随机变量的个数，注：自由度是指独立随机变量的个数， dfn性质性质1 1： 2 2分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差设设 2 2(n)，则，则E( 2)=n，D( 2)=2n.性质性质2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性设设22221122( ),(),nn 且且2212, 相互独立相互独立，则则2221212()nn dtexnnPxnxtn22222212lim),(3有则对任意实数：设性质.2 ,2）（于正态分布分布近似的很大时，自由度为这个性质说明当nnNnn定理定理1 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则的样本
4、，则2212()( )niiXn 证明证明 由已知，有由已知，有XiN( ， 2)且且X1，X2，Xn相互独立，相互独立，则则(0,1)iXN 且各且各iX 相互独立，相互独立，由定义由定义1 :得得2221212()( ).nniiiiXXn 定理定理3 :3 : 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则的样本，则(1) 样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度为什么是式的自由度为什么是n- -1？从表面上看，从表面上看，21()niiXX 是
5、是n个正态随机变量个正态随机变量的平方和，的平方和，iXX 但实际上它们不是独立的，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：它们之间有一种线性约束关系：11()nniiiiXXXnX =0这表明，当这个这表明，当这个n个正态随机变量中有个正态随机变量中有n- -1个取值给定时，剩下个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有项平方和中只有n- -1项是独立的项是独立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1. 定理定理3 3： 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本
6、，则的样本，则(1) 样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)与以下补充性质的结论比较：与以下补充性质的结论比较： 性质性质 设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则的样本，则2212()( )niiXn 其几何意义见图其几何意义见图5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 图图5-5显然，在自由度显然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只与的值只与 有关有关. 2( )n 2 2分布的分布的 上侧分位点上侧分
7、位点上侧分位点。分布的为的点满足条件称）（对于给定的正数：设定义)()()()(,10),(222)(22222nndxxfnPnn例如，当例如，当n=21， =0.05时，由附表时，由附表3(P254)可查得，可查得，20.05(21) 32.67即即 2(21)32.670.05.P 二、二、t t分布分布定义定义3 设随机变量设随机变量XN(0，1)，Y 2(n) ，且且X与与Y相互独立，则称统计量相互独立，则称统计量 XTYn 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布， 记作记作t分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为T t(n).1221()2( )(1), ()( )2nntf
8、ttnnn 其图形如图其图形如图5-6所示所示(P106)， 其其形状类似标准正态分布形状类似标准正态分布的概率密度的图形的概率密度的图形.当当n较大时，较大时， t分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.定理定理4设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量的样本，则统计量证证由于由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定义由定义3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn 1)-t(n/nSXT定理定理5 设设(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2) 分分别是来自正态总体别
9、是来自正态总体N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的的样本，且样本，且它们相互独立，则统计量它们相互独立，则统计量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差.2)-nt(n11)(3)2() 1() 1() 1() 1(),1() 1(1 , 0)(X2121212122222221122221222222122211221221知再由定义分布的性质知相互独立，由与且）（证明：由例知nnSYXTnnSnSnSSnSnnSnNnnYnt t 分布的分布的
10、上侧分位点上侧分位点对于给定的对于给定的 (0 45时，如无详细表格可查，可以用标准时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替正态分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t (n)u ， n45. 一般的一般的t分布临界值表中，详列至分布临界值表中，详列至n=30，当，当n30就用标准正态分布就用标准正态分布N(0, 1)来近似来近似.三、三、F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布，分布，定义定义5.5 设随机变量设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且与相互独立，则称随机变量与相互独立，则称随机变量 12X nFY n 记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其图形见图其图形见图5-9.(P108) 1X性质性质：若：若XF(n1，n2)，则，则F(n2，n1).F 分布的上侧分布的上侧 分位点分位点对于给定的对于给定的 (0 =0.1,求求 .解解因为因为n=10，n- -1=9， 2=42，所以所以2294S 2(9).又又PS2 =2229944SP =0.1，所以所以220.19(9)4 查表查表14.684.故故 14.684x16926.105