2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第17讲直线的斜率问题含解析.pdf-淘文阁

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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精第第 17 讲讲直线的直线的斜率问题斜率问题一解答题（共一解答题（共 18 小题）小题）1已知椭圆22:33C xy，过点(1,0)D且不过点(2,1)E的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线3x 交于点M（）求椭圆C的离心率；（）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由2设椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2 2，且经过点(0,1)（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(1,0)D且不过点(2,1)E的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线3x

2、交于点M，试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由3如图，A，B分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，F为其右焦点，2 是|AF与|FB的等差中项，3是|AF与|FB的等比中项（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q证明：Q，P，B三点共线4 已知椭圆22:13xyEt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA（）当4t，|AMAN时，求AMN的面积；（）当2|AMAN时，求k的取值范围5已知椭圆2222:1(0)xyEaba

3、b的右焦点为(1,0)F，左顶点为(2,0)A（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M，N两点试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由6已知椭圆2222:1(1)xyCabab过点(1,1)P ，c为椭圆的半焦距，且2cb（）求椭圆C的标准方程；（）过点P作两条相互垂直的直线1l，2l与椭圆C分别交于另两点M，N，若线段MN的中点在x轴上，求此时直线MN的方程7在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的右焦点F到双曲线E的一条渐近线3yx的距离为3（1）求双曲线E的方程；

4、（2）如图，过圆22:1O xy上一点M作圆O的切线l与双曲线E的左、右两支分别交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A，求直线l的方程8已知双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线2:al xc与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又2,2OAOB OA OC ，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点（1）求双曲线的方程；（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形BMN面积的最小值9设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)（1）当l与x轴

5、垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB 10在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y 与直线:(0)l ykxa a交于M，N两点（）当0k 时，分别求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？（说明理由）11在直角坐标系xOy中，曲线2:4C xy与直线(0)ykxa a交于M，N两点（1）当0k 时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，且2F也是抛物线2:4E yx的焦点，P为椭圆C与抛

6、物线E在第一象限的交点，且25|3PF（1）求椭圆C的方程；（2）若直线(1)yk x与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTSOTR？说明理由13一个圆经过点(2,0)F，且和直线20 x 相切（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点(1,0)B，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点14设抛物线22(0)ypx p的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点（1）若l过点F，且|3MNp，求l的斜率；（2）若(,)2pPp，且l的斜率为1，当Pl时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明MP

7、N的平分线始终与y轴平行15 如图，若M是抛物线2yx上的一定点(M不是顶点），动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MAMB证明：直线EF的斜率为定值16已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)ypx p的焦点F，与抛物线相交于A、B两点，且|8AB（）求抛物线的方程；（）过点(12,8)P的两条直线1l、2l分别交抛物线于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N如果直线1l与2l的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点17已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S（1）设1(A x，1)y，2(C x，2)

8、y，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明12212|Sx yx y；（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值18设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，下顶点为A已知椭圆C的短轴长为2 3，且椭圆C过点3(1,)2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于异于点A的两点P，Q，且直线AP与AQ的斜率之和等于 2，证明：直线l经过定点第第 17 讲讲直线的斜率问题直线的斜率问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 18 小题）小题）1已知椭圆22:33C xy，过点(1,0)D且不过点(2,1)E的直线与椭圆C交于A，

9、B两点，直线AE与直线3x 交于点M（）求椭圆C的离心率；（）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【解答】解：（）椭圆C的标准方程为2213xy所以3a，1b，2c 所以椭圆C的离心率63cea（）因为AB过点(1,0)D且垂直于x轴，所以可设1(1,)Ay，1(1,)By直线AE的方程为11(1)(2)yyx 令3x，得1(3,2)My所以直线BM的斜率112131BMyyk（）直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（）可知1BMk又因为直线DE的斜率10121DEk，所以/BMDE当直线AB的斜率存在时，设其方程为(1

10、)(1)yk xk设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则直线AE的方程为1111(2)2yyxx 令3x，得点1113(3,)2yxMx由2233(1)xyyk x，得2222(13)6330kxk xk所以2122613kxxk，21223313kx xk直线BM的斜率为：11211323BMyxyxkx，因为222211112112122121213312(1)3(1)3(1)(2)(3)(2)(1)2()3131310(3)(2)(3)(2)(3)(2)BMkkkk xxk xxxxkx xxxkkkxxxxxx 所以1BMDEkk，/BMDE综上，直线BM与直线DE平行2设椭圆2

11、222:1(0)xyCabab的焦距为2 2，且经过点(0,1)（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(1,0)D且不过点(2,1)E的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线3x 交于点M，试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2 2，且经过点(0,1)，根据题意得：2c，即2222cab，把(0,1)代入椭圆方程得：21b，把21b 代入得：23a，则椭圆C的标准方程为2213xy；（2）直线BM与直线DE平行证明如下：AB过点(1,0)D且垂直于x轴，可设1(1,)Ay，1(1,)By，(2,1)E，直线AE的方程为：

12、11(1)(2)yyx，令3x，得1(3,2)My，直线BM的斜率112131BMyyk当直线AB的斜率不存在时，1BMk又直线DE的斜率10121DEk，/BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为(1)(1)yk xk，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则直线AE的方程为1111(2)2yyxx，令3x，则点1113(3,)2xyMx，直线BM的斜率11212323BMxyyxkx，联立2233(1)xyyk x，得2222(13)6330kxk xk，由韦达定理，得2122613kxxk，21223313kx xk，11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)

14、差中项，3是|AF与|FB的等比中项2()()4()()(3)acacac ac，解得2a，1c，2223bac椭圆C的方程为22143xy（2）证明：直线l的方程为：2x ，直线AP的方程为：(2)(0)yk xk，联立22(2)143yk xxy，化为2222(34)1616120kxk xk，221634APkxxk，226834Pkxk，212(2)34PPkyk xk，QFAP，1PFkk 直线QF的方程为：1(1)yxk，把2x 代入上述方程可得3Qyk，3(2,)Qk222123334684234PQkkkkkkk，303224BQkkk PQBQkk，B，P，Q三点共线4 已知

16、可得2(1)(44)0kkk，由2440kk无实根，可得1k，即有AMN的面积为221112144|(1 1)223449AM；方法二、由|AMAN，可得M，N关于x轴对称，由MANA可得直线AM的斜率为 1，直线AM的方程为2yx，代入椭圆方程22143xy，可得271640 xx，解得2x 或27，2(7M，12)7，2(7N，12)7，则AMN的面积为1242144(2)27749；（）直线AM的方程为()yk xt，代入椭圆方程，可得22222(3)230tkxt tk xt kt，解得xt 或2233t tktxtk，（补充求M，N的纵坐标的方法：设at，1mk，则直线AM的方

17、程为xmya，与椭圆的方程联立，可得22212()03mmyyaa，因此M的纵坐标为2263mama，N的纵坐标为222266)33amamm aam即有2222236|1|133t tkttAMktktktk，222166|1133ttANkttkkkk，由2|AMAN，可得222662 1133ttkkttkkk，整理得23632kktk，由椭圆的焦点在x轴上，则3t，即有236332kkk，即有23(1)(2)02kkk，可得322k，即k的取值范围是3(2，2)5已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(1,0)F，左顶点为(2,0)A（1）求椭圆E的方程

18、；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M，N两点试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1）根据题意，椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(1,0)F，左顶点为(2,0)A，则1c，2a，则2223bac所以椭圆E的方程为22143xy（2）根据题意，当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为2yx，联立2223412yxxy得271640 xx，解得227xx 或舍去此时直线MN的方程为27x 直线MN与x轴的交点为2(,0)7当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为ykxm联立223412ykxmxy

19、得222(43)84120kxkmxm设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则2221212122228412312,434334kmmmkxxx xy ykkk，且222(8)4(43)(412)0kmkm，即2243mk而1122(2,),(2,)AMxyANxy，由题意知，AMAN，即22121212271642()4043mkmkAM ANx xxxy yk ，解得27mk或2mk（舍去）当27mk时，满足2243mk直线MN的方程为2()7yk x，此时与x轴的交点为2(,0)7故直线MN与x轴的交点是定点，坐标为2(,0)76已知椭圆2222:1(1)xyCabab过点(1,1

20、)P ，c为椭圆的半焦距，且2cb（）求椭圆C的标准方程；（）过点P作两条相互垂直的直线1l，2l与椭圆C分别交于另两点M，N，若线段MN的中点在x轴上，求此时直线MN的方程【解答】解：（）由2cb，可得223ab，椭圆2222:1(1)xyCabab过点(1,1)P ，可得22111ab，解得24a，243b，所以椭圆的方程为：221443xy（4 分）（）设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则221122223434xyxy，两式相减得12121212()()3()()0 xxxxyyyy，因为线段MN的中点在x轴上，所以120yy，从而可得1212()()0 xxxx（7 分）若1

21、20 xx，则1(Nx，1)y因为过点P作两条相互垂直的直线1l，2l，所以PMPN，所以0PM PN ，得22112xy又因为221134xy，所以解得11x ，所以(1,1)M，(1,1)N或(1,1)M，(1,1)N 所以直线MN的方程为yx（10 分）若120 xx，则1(N x，1)y，因为PMPN，所以0PM PN ，得2211(1)1yx又因为221134xy，所以解得112x 或1，经检验：12x 满足条件，1x 不满足条件综上，直线MN的方程为0 xy或12x （13 分）7在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的右焦点F到双曲线E的

22、一条渐近线3yx的距离为3（1）求双曲线E的方程；（2）如图，过圆22:1O xy上一点M作圆O的切线l与双曲线E的左、右两支分别交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A，求直线l的方程【解答】解：（1）由题意，2223|3|32bacabc，解得132abc，双曲线E的方程为2213yx；（2）由已知直线l的斜率存在，设:l ykxm，则2|11mk，即221mk，联立2233xyykxm，得222(3)230kxmkxm设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，2222221223044(3)(3)0303kk mmkmx xk，解得203k 12223mkxxk，21223

23、3mx xk，又(1,0)A，1(P x，1)y，2(Q x，2)y，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A，0AP AQ ，即12121212(1)(1)(1)(1)()()xxy yxxkxm kxm221212(1)(1)()10kx xmkxxm 22222(1)(3)2(1)1033kmmk mkmkk，则2220mmkk，得2mk或mk 当mk 时，点M与右顶点A重合，不合题意舍去；当2mk时，代入221mk，解得33k ，满足条件直线l的方程为32 333yx或32 333yx 8已知双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线2:al x

24、c与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又2,2OAOB OA OC ，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点（1）求双曲线的方程；（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形BMN面积的最小值【解答】解：（1）2,2OAOB OA OC ，2222aacaac，24a，4c 22212bca双曲线的方程为221412xy；（2）由（1）可知(1,0)B，(4,0)F，由题意直线m的斜率不为 0，所以设直线m的方程为4xty，代入221412xy整理得22(31)24360tyty，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则1(P x，1)y由韦

25、达定理知1212222436,3131tyyy ytt，所以1122(1,),(1,)BPxyBNxy 因为12211221121212223624(1)(1)()23()23()03131txyxyx yx yyyty yyyttt向量,BP BN 共线，所以B，P，N三点共线（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，所以1212(4)(4)0 x xtyty，得213t 221212122116 3 33|3()4221 3BMNtSBFyyyyy yt，令213ut，则(0u，1，226 3 4411116 36 3 4()816BMNuSuuuu，又11,)u，所以11u，即0t 时，

26、三角形BMN面积的最小值 189设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB【解答】解：（1）211c，(1,0)F，l与x轴垂直，1x，由22112xxy，解得122xy或122xy，2(1.)2A，或2(1,)2，直线AM的方程为222yx，222yx，证明：（2）当l与x轴重合时，0OMAOMB ，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMAOMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)yk x，0k，1(A x，1)y，2(B x，2)y，则12x

27、，22x，直线MA，MB的斜率之和为MAk，MBk之和为121222MAMByykkxx，由11ykxk，22ykxk得12121223()4(2)(2)MAMBkx xk xxkkkxx，将(1)yk x代入2212xy可得2222(21)4220kxk xk，2122421kxxk，21222221kx xk，33312122123()4(441284)021kx xk xxkkkkkkk从而0MAMBkk，故MA，MB的倾斜角互补，OMAOMB，综上OMAOMB 10在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y 与直线:(0)l ykxa a交于M，N两点（）当0k 时，分别求C在点M和N处

28、的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？（说明理由）【解答】解：()I联立24yaxy，不妨取(2,)Ma a，(2,)Na a，由曲线2:4xC y 可得：2xy，曲线C在M点处的切线斜率为22aa，其切线方程为：(2)yaa xa，化为0axya同理可得曲线C在点N处的切线方程为：0axya()II存在符合条件的点(0,)a，下面给出证明：设(0,)Pb满足OPMOPN 1(M x，1)y，2(N x，2)y，直线PM，PN的斜率分别为：1k，2k联立24ykxaxy，化为2440 xkxa，124xxk，124x xa 1212121212122()()()y

29、bybkx xab xxk abkkxxx xa当ba 时，120kk，直线PM，PN的倾斜角互补，OPMOPN 点(0,)Pa符合条件11在直角坐标系xOy中，曲线2:4C xy与直线(0)ykxa a交于M，N两点（1）当0k 时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由【解答】解：（1）联立24yaxy，可得(2,)Ma a，(2,)Na a，或(2,)Ma a，(2,)Na a12yx，故24xy 在2 2xa处的导数值为a，C在(2 2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya故24xy 在2 2xa 处的导数

30、值为a，C在(2 2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya故所求切线方程为0axya或0axya（2）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)Pb为符合题意的点，1(M x，1)y，2(N x，2)y，直线PM，PN的斜率分别为1k，2k将ykxa代入C得方程整理得2440 xkxa124xxk，124x xa 1212121212122()()()ybybkx xab xxk abkkxxx xa当ba 时，有120kk，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以(0,)Pa符合题意12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，

31、且2F也是抛物线2:4E yx的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且25|3PF（1）求椭圆C的方程；（2）若直线(1)yk x与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTSOTR？说明理由【解答】解：（1）2F也是抛物线2:4E yx的焦点，2(1,0)F，1c，且抛物线的准线方程为1x ，设点0(P x，0)y25|3PF，0513x，023x，02 22 633y，2248193ab，2221abc，解得24a，23b，椭圆方程为22143xy，（2）假设存在(,0)T t满足OTSOTR 设1(R x，1)y，2(S x，2)y联立22(1)34

32、12yk xxy得2222(34)84120kxk xk，由韦达定理有2122834kxxk，212241234kx xk，其中0恒成立，由OTSOTR（显然TS，TR的斜率存在），故0TSTRkk即12120yyxtxt，由R，S两点在直线(1)yk x上，故11(1)yk x，22(1)yk x，代入整理有12122(1)()20 x xtxxt，将代入即有：2624034tk，要使得与k的取值无关，当且仅当“4t“时成立，综上所述存在(4,0)T，使得当k变化时，总有OTSOTR 13一个圆经过点(2,0)F，且和直线20 x 相切（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点(1,0)B

33、，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点【解答】解：（1）设动圆圆心(,)P x y，则由抛物线定义易得：点P是以(2,0)F为焦点，以2x 为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹方程为：28yx（2）设两点1(P x，1)y，2(Q x，2)y，设不垂直于x轴的直线：:(0)l xtym t，则28xtymyx有：2880ytym，所以：128yyt，128y ym 因为x轴是PBQ的角平分线，所以：0BPBQkk，即：1212011yyxx，即：12122(1)()0ty ymyy则：16(1)80tmm t，所以：1m，:1l xty，所以

34、直线l过定点(1,0)14设抛物线22(0)ypx p的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点（1）若l过点F，且|3MNp，求l的斜率；（2）若(,)2pPp，且l的斜率为1，当Pl时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明MPN的平分线始终与y轴平行【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2px，代入抛物线方程可得22yp，即yp，所以|2MNp，但|3MNp，故直线l的斜率存在，设其方程为()(0)2pyk xk由2(),22,pyk xypx得22222(2)04k pk xk pp x，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则21222k ppxxk，所

35、以2121222|322ppk ppMNMFNFxxxxpppk，解得2k ，所以直线l的斜率为2（2）设直线l的方程为yxm ，1(M x，1)y，2(N x，2)y得22(22)0 xmp xm，则2121222,xxmp x xm由22(22)40mpm，得2pm 又2pmp，所以32pm，从而l在y轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222ppp1221121212()()()()22()()2222PMPNppyp xyp xypypkkppppxxxx122112()()()()22()()22ppxmp xxmp xppxx 1212122()()()2()()22px xmx

36、xp mpppxx2122()(22)()20()()22pmmmpp mpppxx，所以直线PM，PN的斜率互补，从而MPN的平分线始终与y轴平行15 如图，若M是抛物线2yx上的一定点(M不是顶点），动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MAMB证明：直线EF的斜率为定值【解答】证明：设20(M y，0)y，直线ME的斜率为(0)k k，方程为200()yyk xy则直线MF的斜率为k，方程为200()yyk xy 由2002002200210,11,EExkyyykyyyk xykykyyxyxkk 消去得解得所以点E的坐标为2002(1)1(,)kykykk（5 分）同理可得，点F

37、的坐标为2002(1)1(,)kykykk所以0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk，所以直线EF的斜率为定值（10 分）16已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)ypx p的焦点F，与抛物线相交于A、B两点，且|8AB（）求抛物线的方程；（）过点(12,8)P的两条直线1l、2l分别交抛物线于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N如果直线1l与2l的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点【解答】解：（）由题意可设直线AB的方程为2pyx，令1(A x，1)y，2(B x，2)y联立222pyxypx得22304px

38、px，123xxp，根据抛物线的定义得，又12|4ABxxpp，又|8AB，48p，2p则此抛物线的方程为24yx（）设直线1l、2l的倾斜角分别为、，直线1l的斜率为k，则tank由于直线1l、2l的倾斜角互余，则sin()cos12tantan()2sintancos()2，则直线2l的斜率为1k于是直线CD的方程为8(12)yk x，即(12)8yk x，联立2(12)84yk xyx得243240kyyk，4CDyyk，则241624CDxxkk，228(12Mkk，2)k，同理将k换成1k得：2(1228Nkk，2)k，2212()11112()8()4MNkkkkkkkkk则直线M

39、N的方程为212(1228)14ykxkkkk，即1(4)10kyxk，显然当10 x，0y 所以直线MN经过定点(10,0)17已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S（1）设1(A x，1)y，2(C x，2)y，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明12212|Sx yx y；（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值【解答】解：（1）依题意，直线1l的方程为11yyxx，由点到直线间的距离公式得：点C到直线1l的距离122112122221111|1()y xyxy xx ydyxyx，因为2211

40、|2|2ABAOxy，所以1221|2|SAB dx yx y；当1l与2l时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线1l的斜率为k，则直线2l的斜率为12k，设直线1l的方程为ykx，联立方程组2221ykxxy，消去y解得2112xk，根据对称性，设12112xk，则1212kyk，同理可得22212kxk，222212yk，所以12212|2Sx yx y方法二：设直线1l、2l的斜率分别为11yx、22yx，则121212y yx x，所以12122x xy y，22221212121242x xy yx x y y，1(A x，1)y、2(C x，2)y在椭圆222

41、1xy上，222222222222112212121221(2)(2)42()1xyxyx xy yx yx y，即22221212122142()1x x y yx yx y，所以212211()2x yx y，即12212|2x yx y，所以12212|2Sx yx y18设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，下顶点为A已知椭圆C的短轴长为2 3，且椭圆C过点3(1,)2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于异于点A的两点P，Q，且直线AP与AQ的斜率之和等于 2，证明：直线l经过定点【解答】解：（1）由已知可得22 3b，解得3b，又椭圆过点3(

42、1,)2，所以22223()121ab，解得2a，故椭圆的方程为22143xy；（2）证明：由（1）可得点(0,3)A，设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，当直线的斜率不存在时，设其方程为xt，有120yy，所以121233()2 32PAQAyyyykkttt，解得3t，此时直线的方程为3x，当直线的斜率存在时，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立可得：222(34)84120kxkmxm，则21212228412,3434mkmxxx xkk，又121221121212333()2PAQAyyx yx yxxkkxxx x，所以1221121212()()3()22x kxmx kxm

43、xxx xx x，即1212(22)(3)()0kx xmxx，所以2224128(22)(3)03434mmkkmkk，整理可得(3)(33)0mkm，因为直线l不过点A，所以30m，则330km，即33mk，所以直线l的方程为(33)ykxk，即(3)30 xy，所以直线恒过定点(3,3)，此点也在直线3x 上，所以直线恒过定点(3,3)第第 18 讲讲向量的数量积问题向量的数量积问题一解答题（共一解答题（共 16 小题）小题）1已知圆22:2O xy交抛物线2:2(0)C ypx p的准线于M，N两点(M点在上方），且OMON（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛

44、物线交于A，B两点，若MAMB，求直线l的斜率2 已知抛物线C的焦点在x轴上，顶点在原点且过点(2,1)p，过点(2,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作y轴的垂线交C于点N（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在直线l，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由3已知抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,2)A（1）求抛物线C的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于(OA O为坐标原点）的直线l，使得直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由（3）过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直

45、线1l，2l，设1l与抛物线C相交于点M，N，2l与抛物线C相交于点D，E，求MD NE 的最小值4已知(2,2)E是抛物线2:2C ypx上一点，经过点(2,0)D的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点)E，直线EA，EB分别交直线2x 于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知O为原点，求证：MON为定值5已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为(0,1)F，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率32e（1）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（2）经过A，B两点分别作抛物线C的切线1l，2l，切线1l与2

46、l相交于点M 证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线M A，(M B A，B为切点），使得直线A B 过点F？若存在，求出点M及两切线方程，若不存在，试说明理由6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点(2,2)P在椭圆C上，且满足2210PFF F （1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线:l ykxm与椭圆C交于不同的两点M，N，且(OMON O为坐标原点）证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程7设A，B为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，

47、当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰直角三角形（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F点距离的最小值为 3，（）求双曲线方程；（）已知直线AM，AN分别交直线2ax 于P，Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过x轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由8已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点圆22212:(|2)O xycFFc与椭圆有且仅有两个公共点，点23(,)22在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，已知1(0,)4M，若MA MB 为定值，则直线是否经过定点？若经过，求

48、出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由9设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，双曲线C的左、右准线与其一条渐近线2yx的交点分别为A，B，四边形12AF BF的面积为 4（1）求双曲线C的方程；（2）已知l为圆224:3O xy的切线，且与C相交于P，Q两点，求OP OQ 10已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3（）求椭圆E的方程；（）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线4x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径

49、的圆内？证明你的结论11已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)，且离心率e为22（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1()xmymR交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0)4G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由12 已知圆22:30G xyxy，经过椭圆22221(0)xyabab的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m，0)()ma倾斜角为34的直线l交椭圆于C，D两点（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围13 设A，B分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点，椭圆的长轴长为 4，且点3(1,)2在该椭圆上（）求椭圆的

50、方程；（）设P为直线4x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：MBP为钝角三角形14设A，B分别为椭圆22221(,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x 为它的右准线（）求椭圆的方程；（）设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内15设A，B分别为椭圆22221(0)xyabab的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线4x 是它的右准线（）求椭圆的方程；（）设P为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP于椭圆相交于两点B，N，求证：N

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