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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 15 讲讲 设点设点设线技巧之设点技巧归纳总结设线技巧之设点技巧归纳总结一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题）1如图，已知抛物线22(0)ypx p的焦点为(1,0)F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧记AFG，CQG的面积为1S，2S（1）若直线AB的斜率为33，求以线段AB为直径的圆的面积；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标2如图，已知点(1,0)F为抛物线22(0)ypx p的焦点过点F的直线交抛物线于A
2、，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为1S，2S（）求p的值及抛物线的准线方程；（）求12SS的最小值及此时点G的坐标3已知椭圆22122:1(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，短轴长为2 3（1）求椭圆1的方程；（2）设S为椭圆1的右顶点，过点F的直线1l与1交于M、N两点（均异于)S，直线MS、NS分别交直线4x 于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、(1,0)F为焦点的抛物线为2，如图，过点F的直线与2交于A、B两点，点C在2上，并使得ABC的重心G
3、在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设AFG、CQG的面积分别为1S、2S，是否存在锐角，使得123(1)cos2SS成立？请说明理由4已知双曲线2222:1xyCab的焦距为3 2，其中一条渐近线的方程为20 xy以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点（）求椭圆E的方程；（）若点P为椭圆的左顶点，2PGGO，求22|GAGB 的取值范围；（）若点P满足|PAPB，求证222112|OAOBOP为定值5 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，且经过点3(1,)2P，M为椭圆上的动点，以
4、M为圆心，2MF为半径作圆M（1）求椭圆C的方程；（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(1,0)F，2(1,0)F，且椭圆C上的点M满足16|5MF，12120MF F（1）求椭圆C的标准方程；（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断|OSOT是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由7已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点坐标为12(3,0),(3,0)FF，且椭圆E经过点1(3,)2P（1）求椭圆E的标准方程
5、；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积8在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab过点(,)3 3a aA，3(2,)2B（1）求椭圆E的方程；（2）点0(Q x，0)y是单位圆221xy上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足00OPx OMy ON ，求证：直线OM与ON的斜率乘积为定值9在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab过点(,)3 3a aA，3(2,)2B（1）求椭圆E的方程；（2）点0(Q x，0)y是单位
6、圆221xy上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足00OPx OMy ON ，探讨22OMON 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由10定义：在平面内，点P到曲线上的点的距离的最小值称为点P到曲线的距离在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(2)12Mxy及点(2,0)A，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W（）求曲线W的方程；（）过原点的直线(l l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CECD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为1k，2k，求12kk11已知椭圆2222:1(0)xyCa
7、bab的离心率为22，且过点23(,)22P，动直线:l ykxm交椭圆C于不同的两点A，B，且0(OA OBO 为坐标原点）（1）求椭圆C的方程（2）讨论2232mk是否为定值若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由12已知1F，2F分别是椭圆2221(1)xyaa的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，2F到直线1AF的距离为2（）求椭圆的方程；（）过2F的直线交椭圆于M，N两点，求22F M F N 的取值范围；（）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点)C，与y轴交于点P（点P异于坐标原点)O，直线AD与BC交于点Q证明：OP OQ 为定值13已知椭圆2222:1(0)
8、xyCabab经过点(2,1)A，且离心率为22（）求椭圆C的方程；（）若直线:l ykxm与曲线C相交于异于点A的两点D、E，且直线AD与直线AE的斜率之和为2，则直线l是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由14如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyabab的离心率为22，直线:2l y 上的点和椭圆上点的最小距离为 1（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F记直线AC与AB的斜率分别为1k，2k求证：12kk为定值；求AEF的面积的最小值15在平面直角坐标系xOy中
9、，如图，已知椭圆22195xy的左、右顶点为A、B，右焦点为F 设过点(,)T t m的直线TA、TB与椭圆分别交于点1(M x，1)y、2(N x，2)y，其中0m，10y，20y（1）设动点P满足224PFPB，求点P的轨迹；（2）设12x，213x，求点T的坐标；（3）设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）16 已知A是椭圆22:143xyE的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E于A、M两点，点N在E上，且0AM AN （1）当|AMAN时，求AMN的面积；（2）当19|8|AMAN时，求k的值17已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为22，右焦点(1,
10、0)F过点F作斜率为(0)k k 的直线l，交椭圆G于A、B两点，(2,0)M是一个定点如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、)B，记直线CD的斜率为1k（）求椭圆G的方程；（）在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数，使得1kk恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由18已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23，半焦距为(0)c c，且1ac，经过椭圆的左焦点1F斜率为11(0)k k 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点（1）求椭圆C的标准方程；（2）设(1,0)R，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为2k，求12
11、kk的值及直线CD所经过的定点坐标19已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3（）求椭圆E的方程；（）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线4x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论第第 15 讲讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结设点设线技巧之设点技巧归纳总结参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题）1 如图，已知抛物线22(0)ypx p的焦点为(1,0)F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点
12、C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧记AFG，CQG的面积为1S，2S（1）若直线AB的斜率为33，求以线段AB为直径的圆的面积；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标【解答】解：（1）由题意可得12p，解得2p，所以抛物线的方程为24yx，由已知设直线AB的方程为3(1)3yx，与抛物线24yx联立可得，21410 xx，所以1214xx，则线段12|216ABxx，则以线段AB为直径的圆的半径为 8，故圆的面积为64；（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，(CC x，)Cy，重心0(G x，0)y，令12yt，0t，则21xt，由直线A
13、B过点F，故直线AB的方程为2112txyt，代入24yx，可得222(1)40tyyt，所以224ty ，即22yt，所以212(,)Btt，又由于0121()3Cxxxx，0121()3Cyyyy，重心G在x轴上，故220Ctyt，所以211(),2()Ctttt，422222(,0)3ttGt，所以直线AC的方程为222()ytt xt，可得2(1Q t，0)，由于点Q在焦点F的右侧，故22t，故4242212142442222221|1|2|223221222211|1|2|23CtttFGySttttttSttQGytttt，令22mt，则0m，所以12211322213432342
14、4SmSmmmmmm，当且仅当3mm，即3m 时，12SS取得最小值312，此时(2,0)G2如图，已知点(1,0)F为抛物线22(0)ypx p的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为1S，2S（）求p的值及抛物线的准线方程；（）求12SS的最小值及此时点G的坐标【解答】解：（）由抛物线的性质可得：12p，2p，抛物线的准线方程为1x ；（）设(AA x，)Ay，(BB x，)By，(CC x，)Cy，重心(GG x，)Gy，令2Ayt，0t，则2Axt，由于直线AB过F，故直线AB
15、的方程为2112txyt，代入24yx，得：222(1)40tyyt，24Bty，即2Byt，21(Bt，2)t，又1()3GABCxxxx，1()3GABCyyyy，重心在x轴上，220Ctyt，21()Ctt，12()tt，422222(3ttGt，0)，直线AC的方程为222()ytt xt，得2(1Q t，0)，Q在焦点F的右侧，22t，424222142442222521|2|223221222211|1|2|23ACtttFGySttttttSttQGytttt，令22mt，则0m，122113222134323424SmSmmmmmm，当3m 时，12SS取得最小值为312，此时
16、(2,0)G3已知椭圆22122:1(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，短轴长为2 3（1）求椭圆1的方程；（2）设S为椭圆1的右顶点，过点F的直线1l与1交于M、N两点（均异于)S，直线MS、NS分别交直线4x 于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、(1,0)F为焦点的抛物线为2，如图，过点F的直线与2交于A、B两点，点C在2上，并使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设AFG、CQG的面积分别为1S、2S，是否存在锐角，使得123(1)cos2SS成立？请说明理由【解答】解：（1）依题意，得3b，且221
17、ab，0ab，2a，椭圆1的方程为22143xy（2）证法1:由椭圆1的方程可知(2,0)S若直线1l的斜率不存在，则直线1:1lx，3(1,)2M，3(1,)2N，直线MS、NS的方程分别为3260 xy、3260 xy，易得(4,3)U，(4,3)V，U、V两点的纵坐标之积为3(3)9 若直线l的斜率存在，则可设直线:(1)l yk x，联立椭圆的方程，得2222(43)84120kxk xk设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则2122843kxxk，212241243kx xk，直线MS的方程为11(2)2yyxx，点U的纵坐标1122Uyyx同理，点V的纵坐标2222Vyyx所
18、以222222212121212222121212122241281224(1)(1)()1943434449412822(2)(2)2()44244343UVkkyyk xk xx xxxkky ykkkkkxxxxx xxxkkk 综上，U、V两点的纵坐标之积为定值9证法 2：设直线l的方程为1xty，联立椭圆的方程，得22(34)690tyty设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则122634tyyt，122934y yt，直线MS的方程为11(2)2yyxx，点U的纵坐标1122Uyyx同理，点V的纵坐标2222Vyyx所以，212121222222121212122294()2
19、2444(9)3499622(1)(1)()19634()()13434UVyyy yy yty ytxxtytyt y yt yyttttttt 故U、V两点的纵坐标之积为定值9证法 3：由椭圆1的方程可知(2,0)S设(4,)Um，(4,)Vn，则直线MS的方程为(2)2myx，由联立椭圆的方程，得2222(3)44120mxm xm，由韦达定理可得2241223Mmxm，即22263Mmxm222266(2)(2)2233MMmmmmyxmm，于是点M的坐标为222266(,)33mmmm，同理，点N的坐标为222266(,)33nnnn，22296(,)33mmFMmm，22296(,
20、)33nnFNnnM、F、N三点共线，/FMFN，故2222229696()()3333mnnmmnnm ，化简得9mn 即U、V两点的纵坐标之积为定值9证法 4：由椭圆1的方程可知(2,0)S若直线l的斜率不存在，则直线:1l x，3(1,)2M，3(1,)2N，直线MS、NS的方程分别为3260 xy、3260 xy可得(4,3)U，(4,3)V，U、V两点的纵坐标之积为3(3)9 若直线l的斜率存在，则可设(2cos,3sin)M，(2cos,3sin)N，这里，k，kZ，(2cos1,3sin)FM，(2cos1,3sin)FN，M、F、N三点共线，/FMFN，故(2cos1)3sin
21、(2cos1)3sin，化简整理得2sin()sinsin，注意到直线l的斜率存在，sin02，于是便有2coscos22，化简得1tantan223，又直线MS的方程为3sin(2)2cos2yx，可得点U的纵坐标3sincos1Uy，同理，点V的纵坐标3sincos1Vy，所以，2212sincossincos3sin3sin33222291cos1cos14tantan22223UVy ysinsin 即U、V两点的纵坐标之积为定值9（3）不存在理由如下：显然，抛物线2的方程为24yx方法 1：设2(A t，2)(0)t t，则直线AB方程可为2112txyt，由可得222(1)40ty
22、yt故24Bty （注：这里By表示点B的纵坐标，余类似），2Byt，212(,)Btt重心G在x轴上，1()03ABCyyy，即220ctyt，22cytt，进而212(),2)Ctttt，422222(,0)3ttGt进一步可得直线2:22()AC ytt xt，2(1Q t，0)，又Q在焦点F的右侧，211t，即22t 因此42422142422222222221|1|2|211332221132222123|(2)4|1|2|2(2)42232ACtttFGyStttttStQGytttttttt 当22322tt（注意到22)t，即223t 时，取等号，即有12312SS（）若存在锐
23、角，使得123(1)cos2SS成立，则1233(1)cos122SS，即12312SS，这与（）矛盾因此，不存在锐角，使得123(1)cos2SS成立方法 2：设211(,2)A tt，222(,2)B tt，233(,2)C tt，(,0)G，(,0)Q，A，F，B三点共线，ABAFkk，即1212221212221tttttt，即1 21t t ，同理可得1 3t t，G为ABC的重心，312()ttt，22222123121 22()33tttttt t，且21 311 2t ttt t 22121 211212112()|(2)(2)|11|2|1|2233Attt ttttttSy
24、FGt，222121 212121223311 22()|()()(2)|11|2|()|2233cttt tttttttSyQGtttt t111221212(2)|()()StttStttt，设21ttt，则1222|1StSt，不妨设210tt，Q在焦点F的右侧，1，而211211 2()10t tttt t，即112()0t tt，120tt，进而2101tt，即01t 因此，1222113131242 34(2)2StSttt，当且仅当322tt，即23(0,1)t 时，取等号，即有12312SS（）若存在锐角，使得123(1)cos2SS成立，则1233(1)cos122SS，即1
25、2312SS 与（）矛盾，因此，不存在锐角，使得123(1)cos2SS成立4已知双曲线2222:1xyCab的焦距为3 2，其中一条渐近线的方程为20 xy以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点（）求椭圆E的方程；（）若点P为椭圆的左顶点，2PGGO，求22|GAGB 的取值范围；（）若点P满足|PAPB，求证222112|OAOBOP为定值【解答】（）解：双曲线2222:1xyCab的焦距为3 2，3 22c，2292ab，一条渐近线的方程为20 xy，22ba，由解得23a，232b，椭圆E的方程为222133xy（）解：点P为椭圆的左顶点
26、，(3P，0)，设0(G x，0)y，由2PGGO，得0(3x，00)2(yx，0)y，0000322xxyy ，解得00330 xy，3(3G，0)，设1(A x，1)y，则1(Bx，1)y，222222111133|()()33GAGBxyxy 22112223xy22112233xx21113x，又13x ，3，210 x，3，21111120333x，22|GAGB 的取值范围是11 20,33（）证明：由|PAPB，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时222112|OAOBOP222112bba22
27、112()ab2当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为(0)ykx k，则直线OP的方程为1yxk，设1(A x，1)y，由222133ykxxy，解得212312xk，2212312kyk，222221123(1)|12kOAOBxyk，用1k代换k，得2223(1)|2kOPk，222112|OAOBOP22222212122(2)23(1)3(1)3(1)kkkkkk，综上所述：2221122|OAOBOP5 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，且经过点3(1,)2P，M为椭圆上的动点，以M为圆心，2MF为半径作圆M（1）求椭
28、圆C的方程；（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围【解答】解：（1）由椭圆定义得12|2PFPFa，（1 分）即2222332(1 1)()(1 1)()422a，（3 分）2a又1c，2223bac（5 分）故椭圆方程为22143xy（6 分）（2）设0(M x，0)y，则圆M的半径2200(1)rxy，（7 分）圆心M到y轴距离0|dx，（8 分）若圆M与y轴有两个交点则有rd即22000(1)|xyx，（9 分）化简得200210yx（10 分）M为椭圆上的点2200334yx，（11 分）代入以上不等式得20038160 xx，解得0443x（12 分）022x，（13
29、分）0423x（14 分）6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(1,0)F，2(1,0)F，且椭圆C上的点M满足16|5MF，12120MF F（1）求椭圆C的标准方程；（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断|OSOT是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）依题意得：1c，12|22FFC由椭圆定义知12|2MFMFa，又16|5MF，则26|25MFa，在12MF F中，12120MF F，由余弦定理得：22221121121|2|cosMFMFFFM
30、FFFMFF，即222666(2)()222cos120555a，解得2a，又2223bac，故所求椭圆方程为22143xy（2）依题意得知：Q，R两点关于x轴对称，设0(P x，0)y，1(Q x，1)y，则1(R x，1)y，则2200143xy，2211143xy，22004(3)3xy，同理22114(3)3xy，又直线PQ的方程为100010()yyyyxxxx，由0y 得点S的横坐标100101Sx yx yxyy，同理直线PR的方程为100010()yyyyxxxx，由0y 得点R的横坐标100101Rx yx yxyy，100110010101|x yx yx yx yOSOT
31、yyyy100110010101|x yx yx yx yyyyy222210012201|x yx yyy222210012201144|(3)(3)|33yyyyyy220122011|4()|4yyyy，为定值7已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点坐标为12(3,0),(3,0)FF，且椭圆E经过点1(3,)2P（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积【解答】解：（1）因为椭圆焦点坐标为12(3,0),(3,0)FF，且过点3(1,)2P，
32、所以121492424aPFPF，所以2a，（3 分）从而22431bac，故 椭 圆 的 方 程 为2214xy（6 分）（2）设点0(M x，00)(02yx，001)y，(,0)C m，(0,)Dn，因为(2,0)A，且A，D，M三点共线，所以0022ynx，解得0022ynx，所以00000222122yxyBDxx，（8 分）同 理 得000221xyACy，（10 分）因此，200000000002222(22)1122212(2)(1)ABCDxyxyxySAC BDxyxy220000000000444842(22)xyx yxyx yxy，（12 分）因为点0(M x，0)y
33、在椭圆上，所以220014xy，即220044xy，代入上式得：00000000448822(22)ABCDx yxySx yxy四边形ABCD的面积为 2（14 分）8在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab过点(,)3 3a aA，3(2,)2B（1）求椭圆E的方程；（2）点0(Q x，0)y是单位圆221xy上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足00OPx OMy ON ，求证：直线OM与ON的斜率乘积为定值【解答】解：（1）由题意得，2222222314199abaaab，解得28a，21b 故椭圆方程为2218xy；证明：（2）令1(M x，1
34、)y，2(N x，2)y，则由00OPx OMy ON ，可知0102(P x xy x，0102)x yy y，故2201020102()()18x xy xx yy y，整理得222222001212102000122()()(2)1888x y x xxxyxyyx y y y又221118xy，222218xy，22001xy，故001200122208x y x xx y y y，故121218OMONy ykkx x 9在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab过点(,)3 3a aA，3(2,)2B（1）求椭圆E的方程；（2）点0(Q x，0)y是单位圆221
35、xy上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足00OPx OMy ON ，探讨22OMON 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由【解答】解：（1）由题意得2222222314199abaaab，解得28a，21b 椭圆E的方程为2218xy；（2）22OMON 是定值，等于 9证明如下：令1(M x，1)y，2(N x，2)y，由00OPx OMy ON ，得0102(P x xy x，0102)x yy y，故2201020102()()18x xy xx yy y，整理得：222222001212102000122()()(2)1888x y x xxxy
36、xyyx y y y，又221118xy，222218xy，22001xy，故001200122208x y x xx y y y，得121218y yx x 2222222222121212121212111()()(1)(1)1()888y yx xxxyyyyyy 故22121yy，则22222212129OMONxxyy 故22OMON 是定值，等于 910定义：在平面内，点P到曲线上的点的距离的最小值称为点P到曲线的距离在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(2)12Mxy及点(2,0)A，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W（）求曲线W的方程；（）过原点的直线
37、(l l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CECD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为1k，2k，求12kk【解答】解：（）由题意知：点P在圆内且不为圆心，圆22:(2)12Mxy及点(2,0)A，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，故|2 32 2|PAPMAM，所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，（2 分）设椭圆方程为22221(0)xyabab，则22 3322 22aacc，所以21b，故曲线W的方程为2213xy（5 分）（）设1(C x，111)(0)yx y，2(E x，2)y，则1(Dx，1)y，则直线CD的斜率为11CDyk
38、x，又CECD，所以直线CE的斜率是11CExky，记11xky，设直线CE的方程为ykxm，由题意知0k，0m，由2213ykxmxy得：222(13)6330kxmkxm122613mkxxk，121222()213myyk xxmk，由题意知，12xx，所以1211121133yyykxxkx，（9 分）所以直线DE的方程为1111()3yyyxxx，令0y，得12xx，即1(2Fx，0)可得121ykx （11 分）所以1213kk，即1213kk （12 分）（其他方法相应给分）11已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且过点23(,)22P，动直线:l ykxm交
39、椭圆C于不同的两点A，B，且0(OA OBO 为坐标原点）（1）求椭圆C的方程（2）讨论2232mk是否为定值若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知22ca，所以222222()acab，整理，得222ab，又点23(,)22P在椭圆上，所以有2223144ab，由联立，解得21b，22a，故所求的椭圆方程为2212xy（2）2232mk为定值，理由如下：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由0OA OB ，可知12120 x xy y联立方程组2212ykxmxy，消去y，化简得222(12)4220kxkmxm，由2222168(1)(12)0k mmk
40、，得2212km，由根与系数的关系，得122412kmxxk，21222212mx xk，由12120 x xy y，ykxm，得1212()()0 x xkxm kxm，整理，得221212(1)()0kx xkm xxm将代入上式，得22222224(1)01212mkmkkmmkk化简整理，得222322012mkk，即22322mk12已知1F，2F分别是椭圆2221(1)xyaa的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，2F到直线1AF的距离为2（）求椭圆的方程；（）过2F的直线交椭圆于M，N两点，求22F M F N 的取值范围；（）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异
41、于点)C，与y轴交于点P（点P异于坐标原点)O，直线AD与BC交于点Q证明：OP OQ 为定值【解答】解：（）1F，2F分别是椭圆222:1(1)xEyaa的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，2F到直线1AF的距离为222bca，1b，222abc，解得2a，椭圆E的方程为2212xy（）MN的斜率不存在时，:1MN x，解得2(1,)2M，2(1,)2N，2212F M F N ；MN的斜率存在时，设直线:(1)MN yk x，代入椭圆方程可得2222(12)4220kxk xk，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则2122412kxxk，21222212kx xk，221(
42、1F M F Nx ，12)(1yx，221212)(1)1()ykx xxx 2222222222411(1)(1)1112121221kkkkkkkk ，1)2综上可得22F M F N 的取值范围是 1，12；（）证明：椭圆的右顶点(2C，0)，设直线:(2)CD yk x，(0)k，则(0,2)Pk，联立2222(2)xyyk x，得2222(12)4 2420kxk xk，224212CDkxxk，2222422 22(12)12DCkkxkxk，设点(,)Q x y，直线BC的方程为1(2)2yx，A、D、Q三点共线，则有1(2)211DDyxyyxx，2211(1)DDxyyxx
43、y ，(1)221DDxyyy，2(1)11DDyyyx，又(2)yDk xD，22212221DDDkxkykkyxx，将222 2212Dkxk代入，得：1211122ykyk，12yk ，(0OP OQ ，2)(kx，1)12k即OP OQ 为定值 113已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(2,1)A，且离心率为22（）求椭圆C的方程；（）若直线:l ykxm与曲线C相交于异于点A的两点D、E，且直线AD与直线AE的斜率之和为2，则直线l是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由【解答】解：（）因为椭圆经过(2,1)A，所以22411ab，因为离心率为22，所以22cea
44、，又222abc，由，解得6a，3b，所以椭圆的方程为22163xy（）设1(D x，1)y，2(E x，2)y，联立22163ykxmxy，得222(12)4260kxkmxm，122412kmxxk，21222612mx xk，则1112ADykx，2212AEykx，因为直线AD与直线AE的斜率之和为2，所以121211222yyxx，所以121211222kxmkxmxx，所以1212(22)(25)()4120kx xkmxxm，把代入，得222264(22)()(25)()41201212mkmkkmmkk，所以222(22)(26)(25)(4)4(12)12(12)0kmkmk
45、mmkk，化简得(3)(12)0mkmk，因为直线l不过点(2,1)A，所以12km，即120mk，所以3mk，所以直线l方程为3(3)ykxkk x，所以直线过定点(3,0)14如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyabab的离心率为22，直线:2l y 上的点和椭圆上点的最小距离为 1（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F记直线AC与AB的斜率分别为1k，2k求证：12kk为定值；求AEF的面积的最小值【解答】解：（1）由题知1b，又2221cabaeaaa，22a，21
46、b 故椭圆的方程为2212xy；（2）设0(B x，00)(0)yy，则220012xy，点B，C关于原点对称，则0(Cx，0)y，20200012220000111122xyyykkxxxx；直线AC的方程为0011yyxx，令2y，得001Fxxy，直线AB的方程为0011yyxx，令2y，得001Exxy，00000000220000000(1)(1)224|11(1)(1)1|2xxxyxyxxEFxyyyyyx，由00|2x，012|2x，042 2|x，即|EF的最小值为2 2，AEF的面积的最小值为12 2(21)2215在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆22195xy的左
47、、右顶点为A、B，右焦点为F 设过点(,)T t m的直线TA、TB与椭圆分别交于点1(M x，1)y、2(N x，2)y，其中0m，10y，20y（1）设动点P满足224PFPB，求点P的轨迹；（2）设12x，213x，求点T的坐标；（3）设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【解答】解：（1）设点(,)P x y，则：(2,0)F、(3,0)B、(3,0)A 由224PFPB，得2222(2)(3)4xyxy，化简得92x 故所求点P的轨迹为直线92x（2）将1212,3xx分别代入椭圆方程，以及10y，20y，得5(2,)3M、1(3N，20)9直线MTA方程为：03
48、52303yx，即113yx，直线NTB方程为：032010393yx，即5562yx联立方程组，解得：7103xy，所以点T的坐标为10(7,)3（3）点T的坐标为(9,)m直线MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线NTB方程为：03093yxm，即(3)6myx分别与椭圆22195xy联立方程组，同时考虑到13x ，23x，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm（方法一）当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm，令
49、0y，可得22222201030(20)2040(20)(40)mxmmmm，即为2210104040 xmm，令0y，解得：1x 此时必过点(1,0)D；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为(1,0)D所以直线MN必过x轴上的一定点(1,0)D（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得2 10m，此时直线MN的方程为1x，过点(1,0)D若12xx，则2 10m，直线MD的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，直线ND的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN过D点因此，直线M
50、N必过x轴上的点(1,0)16 已知A是椭圆22:143xyE的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E于A、M两点，点N在E上，且0AM AN （1）当|AMAN时，求AMN的面积；（2）当19|8|AMAN时，求k的值【解答】解：（1）设1(M x，1)y，由题可知(2,0)A，10y，因为0AM AN ，|AMAN可得1k，故直线AM的方程为2yx，联立222143yxxy，得27120yy，解得0y 或127y，所以1127y，所以11212144227749AMNS（2）由题意可得0k，设直线AM的方程为(2)yk x，联立22(2)143yk xxy，得2222(34)1616120