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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 19 讲讲 利用利用平面向量解决平行四边形问题平面向量解决平行四边形问题一解答题（共一解答题（共 16 小题）小题）1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab经过(0,1)，且离心率22e，（1）求椭圆方程（2）经过点(0,2)且斜率k的直线l与椭圆22221(0,0)xyabab有两个不同的交点P和Q求k的取值范围设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使向量OPOQ 与AB 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由2已知椭圆22221(0)xya
2、bab的右焦点F，点2(aEc，0)(c为椭圆的半焦距）在x轴上，若椭圆的离心率22e，且|1EF（1）求椭圆方程；（2）若过F的直线交椭圆与A，B两点，且OAOB 与向量(4,2)m 共线（其中O为坐标原点），求证：0OA OB 3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P、Q，（）若4|3PQ；求直线l的斜率k的值；（）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ 与AB 共线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由4如图，设抛物线方程为22(0)xpy p，M为直线2yp 上任意一点，M不
3、在y轴上，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（）设线段AB的中点为N；（）求证：MN平行于y轴；（）已知当M点的坐标为(2,2)p时，|4 10AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpy p上，其中，点C满足(OCOAOB O 为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由5已知点A，B的坐标分别是(2，0)，(2，0)，动点(,)M x y满足直线AM和BM的斜率之积为3，记M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）直线ykxm与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中
4、O为坐标原点），求m的取值范围6如图所示，已知圆222:(0)O xyrr与直线2 20 xy相切（）求r的值（）直线:l ykxm与圆O相交于P，Q两点，若在圆O上存在一点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求实数m的取值范围7 在ABC中，A，B的坐标分别是(2,0),(2,0)，点G是ABC的重心，y轴上一点M满足/GMAB，且|MCMB（）求ABC的顶点C的轨迹E的方程；（）直线:l ykxm与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围8已知椭圆222:9(0)Cxym m，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个
5、交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(3m，)m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由9 设F为 椭 圆2222:1(0)xyEabab的 右 焦 点，点3(1,)2p在 椭 圆E上，直 线0:34100lxy与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E的方程；（2）过点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由10已知椭圆2222:
6、1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B，四边形1122A B A B的面积为4 3，坐标原点O到直线AB的距离为2217（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一点P作两条直线分别与椭圆C相交于点A，B（异于点)P，试判断以OP和AB为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线AB的方程；若不是，请说明理由11已知椭圆22122:1(0)xyCabab左右两个焦点分别为1F，2F，3(1,)2R为椭圆1C上一点，过2F且与x轴垂直的直线与椭圆1C相交所得弦长为 3抛物线2C的顶点是椭圆1C的中心，焦点与椭圆1C的右焦点重合（）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（
7、）过抛物线2C上一点P（异于原点)O作抛物线切线l交椭圆1C于A，B两点，求AOB面积的最大值；（）过椭圆1C右焦点2F的直线1l与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线1l，使得四边形RQDC的对角线互相平分？若存在，求出1l的方程；若不存在，说明理由12设1F，2F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，且点P和1F关于点3(0,)4C对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在
8、，求出l的方程；若不存在，说明理由13设1F，2F分别为椭圆2222:(0)xyEabab的左，右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，且点P和1F关于点3(0,)4C对称（）求椭圆E的方程；（）过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由14在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，已知点(1,)e和3(,)2e都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率（）求椭圆C的方程；（）设直线:l ykx
9、m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求m的取值范围15已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为 2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且AOF的面积是BOF的面积的 3 倍（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线:l ykxm与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围16椭圆2222:1(0)xyCabab左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l交椭圆于A，B两点当直线lx轴时，125|3AFAF（）求椭圆的离心率；（）若椭圆C上存在点M，使得四边形1AF BM
10、是平行四边形，求此时直线l的斜率第第 19 讲讲 利用平面向量解决平行四边形问题利用平面向量解决平行四边形问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 16 小题）小题）1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab经过(0,1)，且离心率22e，（1）求椭圆方程（2）经过点(0,2)且斜率k的直线l与椭圆22221(0,0)xyabab有两个不同的交点P和Q求k的取值范围设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使向量OPOQ 与AB 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）由22221(0)xyabab焦
11、点在x轴，经过(0,1)，故1b，又离心率22212cbeaa，解得：22a，椭圆方程为2212xy；（2）由已知条件，直线l的方程为2ykx，22212ykxxy，整理得221()2 2102kxkx，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于0，222184()4202kkk，解得：2222kk或即k的取值范围为22(,)(,)22 设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则12(OPOQxx，12)yy，由韦达定理得：1224 212kxxk，又1212()2 2yyk xx，而(2,0),(0,1),(2,1)ABAB ，OPOQ与AB 共线等价于12122()xxyy，解得22k，由
12、知2222kk或矛盾，故没有符合题意的常数k2已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点F，点2(aEc，0)(c为椭圆的半焦距）在x轴上，若椭圆的离心率22e，且|1EF（1）求椭圆方程；（2）若过F的直线交椭圆与A，B两点，且OAOB 与向量(4,2)m 共线（其中O为坐标原点），求证：0OA OB 【解答】解：（1）依题意有：2222221caaccabc，21ab，椭圆方程：2212xy （6 分）（2）设直线l的方程为：(1)yk x，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立方程组22(1)22yk xxy，整理得：2222(12)4220kxk xk，2122412kxxk，
13、122212kyyk，22242(,)1212kkOAOBkk ，由OAOB 与向量(4,2)m 共线，得2k，故22212121212(1)()0OA OBx xy ykx xkxxk 0OA OB （13 分）3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P、Q，（）若4|3PQ；求直线l的斜率k的值；（）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ 与AB 共线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【解答】（本小题 12 分）解：（1）直线l经过点(0,2)且斜率为k，:2l ykx，（1
14、分）由22212ykxxy，得221()2 2102kxkx，（3 分）由228(24)0kk，得212k，（4 分）222424|1132kPQkk，解得21k，或21110k （舍)1k（6 分）（2）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则1212(,)OPOQxxyy（7 分）1222 212kxxk，121122()2 212yyk xxk，（9 分）OPOQ 与AB 共线等价于12122()xxyy，（10 分）由上述式子得：22k（11 分）又212k，不存在这样的常数k满足条件（12 分）4如图，设抛物线方程为22(0)xpy p，M为直线2yp 上任意一点，M不在y轴上，
15、过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（）设线段AB的中点为N；（）求证：MN平行于y轴；（）已知当M点的坐标为(2,2)p时，|4 10AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpy p上，其中，点C满足(OCOAOB O 为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】（）（）证明：由题意设211(,)2xA xp，222(,)2xB xp，12xx，3(N x，3)y，0(M x，2)p由22xpy得22xyp，则xyp，所以1MAxkp，2MBxkp因 此 直 线MA的 方 程 为102()xypxxp，直
16、线MB的方程为202()xypxxp所 以211102()2xxpxxpp，222202()2xxpxxpp由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即212322xxxx所以MN平行于y轴（）解：由（）知，当02x 时，将其代入、并整理得：2211440 xxp，2222440 xxp，所以1x，2x是方程22440 xxp的两根，因此124xx，2124x xp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp由弦长公式的222121224|1()411616ABkxxx xpp又|4 10AB，所 以1p 或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xy（）解
17、：设3(D x，3)y，由题意得12(C xx，12)yy，则CD的中点坐标为123123(,)22xxxyyyQ，设直线AB的方程为011()xyyxxp，由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22xxyy也在直线AB上，代入得033xyxp若3(D x，3)y在抛物线上，则2330322xpyx x，因此30 x 或302xx即(0,0)D或2002(2,)xDxp（1）当00 x 时，则12020 xxx，此 时，点(0,2)Mp适合题意（2）当00 x，对于(0,0)D，此时22120(2,)2xxCxp，2212221200224CDxxxxpkxpx，又0ABxkp，ABCD
18、，所 以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾对于2002(2,)xDxp，因为22120(2,)2xxCxp，此时直线CD平行于y轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00 x 时，不存在符合题意得M点综上所述，不存在符合题意得M点5已知点A，B的坐标分别是(2，0)，(2，0)，动点(,)M x y满足直线AM和BM的斜率之积为3，记M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）直线ykxm与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围【解答】解：（
19、1）223222AMBMyyykkxxx，(0)y 化简得曲线E的方程：22126xy(0)y（2）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y联立22(0)126ykxm yxy，得222(3)260kxkmxm，12223kmxxk，121226()23myyk xxmk，22222(2)4(3)(6)1224720kmkmmk ，即22260mk，若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点，所以R点的坐标为22(3kmk，26)3mk，又点R在曲线E上得，222226()()33126kmmkk化简得2223mk将代入得，20m，所以0m，由得223m，所以62m或62m，当直
20、线PQ经过(2，0)时，2mk，代入得2m ，不符合题意所以m的取值范围为(，2)(2，6622，2)(2，)6如图所示，已知圆222:(0)O xyrr与直线2 20 xy相切（）求r的值（）直线:l ykxm与圆O相交于P，Q两点，若在圆O上存在一点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求实数m的取值范围【解答】解：（）圆心O到直线2 20 xy的距离为22|002 2|211d，直线2 20 xy与圆O相切，2r（）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立方程组224ykxmxy，消去y得222(1)240kxkmxm，12221kmxxk，121222()21myyk xxmk，四边
21、形OPRQ为平行四边形，线段PQ的中点即为线段OR的中点，R点的坐标为12(xx，12)yy，即2222(,)11kmmRkk，由点R在圆O上，222222()()411kmmkk，整理得221mk，此时222222244(1)(4)4(44)12(1)0k mkmkmk，21m，即1m或1m，即m的取值范围为(，11，)7 在ABC中，A，B的坐标分别是(2,0),(2,0)，点G是ABC的重心，y轴上一点M满足/GMAB，且|MCMB（）求ABC的顶点C的轨迹E的方程；（）直线:l ykxm与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求
22、m的取值范围【解答】解：()I设(,)C x y，点G是ABC的重心，(,)3 3x yG，y轴上一点M满足/GMAB，(0,)3yM|MCMB，2222()2()33yxy，化为221(0)26xyy即为ABC的顶点C的轨迹E的方程；()II设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立2236ykxmxy，化为222(3)260kxkmxm，由0，化为22260km，12223kmxxk，212263mx xk四边形OPRQ为平行四边形，OROPOQ ，12(R xx，12)yy，121226()23myyk xxmk，2226(,)33kmmRkk点R在椭圆上，2222263()()63
23、3kmmkk，化为2223mk代入0，可得20m，又223m，解得62m或62mm的取值范围是66(,)228已知椭圆222:9(0)Cxym m，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(3m，)m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由【解答】解：（1）设直线:l ykxb，(0,0)kb，1(A x，1)y，2(B x，2)y，(MM x，)My，将ykxb代入2229(0)xym m，得2222(9)20kxkbxbm，则判别式2
24、222244(9)()0k bkbm，则12229kbxxk，则12229Mxxkbxk，299MMbykxbk，于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（2）四边形OAPB能为平行四边形直线l过点(3m，)m，由判别式2222244(9)()0k bkbm，即222299k mbm，3kbmm，22229()93kk mmmm，即226kkk，即60k，则0k，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k，由（1）知OM的方程为9yxk，设P的横坐标为Px，由22299yxkxym 得2222981Pk mxk，即23 9Pkmxk，将点(
25、3m，)m的坐标代入l的方程得(3)3mkb，即l的方程为(3)3mkykx，将9yxk，代入(3)3mkykx，得(3)93mkkxxk 解得2(3)3(9)Mk kmxk，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx，于是22(3)23(9)3 9kmk kmkk，解得147k 或247k，0ik，3ik，1i，2，当l的斜率为47或47时，四边形OAPB能为平行四边形9 设F为 椭 圆2222:1(0)xyEabab的 右 焦 点，点3(1,)2p在 椭 圆E上，直 线0:34100lxy与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E的方程；
26、（2）过点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题意知2222|10|234293141aabab所以椭圆E的方程为22143xy（4 分）（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分（5 分）理由如下：由题可知直线l、PQ的斜率存在设直线l的方程为(1)yk x，直线PQ的方程为3(1)2yk x由22143(1)xyyk x消去y得2222(34)8(412)0kxk xk则212222144(1)|113434kABkkkk
27、，（7 分）由221433(1)2xyyk x消去y得2222(34)(812)(4123)0kxkk xkk则2222221144()4|113434kkPQkkkk，（9 分）若四边形PABQ的对角线互相平分，则四边形PABQ为平行四边形，|ABPQ，2213144kkkk直线l的方程为3430 xy时，四边形PABQ的对角线互相平分（12 分）10已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B，四边形1122A B A B的面积为4 3，坐标原点O到直线AB的距离为2217（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一点P作两条直线分别与椭圆C
28、相交于点A，B（异于点)P，试判断以OP和AB为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线AB的方程；若不是，请说明理由【解答】解：（1）设直线11AB的方程为1xyab，由题意得2224 31221711abab，解得：23ab，所以椭圆C的方程为22143xy（2）当直线AB的斜率不存在时，若平行四边形OAPB为菱形，则P为左顶点或右顶点，此时直线AB的方程为1x 当直线AB的斜率为 0 时，若四边形OAPB为菱形，则点P为上顶点或下顶点，此时AB的方程为32y ，当直线AB的斜率存在时，设:(0)AB ykxm k，1(A x，1)y，22()B xy，联立直线方程与椭圆方程可得：222(
29、43)84120kxkmxm，则2248(43)0km，所以21212121222284126,()2434343kmmmxxx xyyk xxmkkk，若四边形OAPB为菱形，则OAOBOP ，所以点2286(,)43 43kmmPkk，所以直线OP的斜率34OPkk，所以33()144kk ，这与1ABOPkk 矛盾，所以四边形OAPB不能是菱形，综上，四边形OAPB能为菱形，此时直线AB的方程为1x 或32y 11已知椭圆22122:1(0)xyCabab左右两个焦点分别为1F，2F，3(1,)2R为椭圆1C上一点，过2F且与x轴垂直的直线与椭圆1C相交所得弦长为 3抛物线2C的顶点是椭
30、圆1C的中心，焦点与椭圆1C的右焦点重合（）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（）过抛物线2C上一点P（异于原点)O作抛物线切线l交椭圆1C于A，B两点，求AOB面积的最大值；（）过椭圆1C右焦点2F的直线1l与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线1l，使得四边形RQDC的对角线互相平分？若存在，求出1l的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）设2(,0)F c，令xc，代入椭圆方程可得，2221cbybaa ，由题意可得223ba，又3(1,)2R在椭圆上，可得221914ba，解得2a，3b，1c，可得椭圆1C的方程为22143xy；即有抛物线的焦点为
31、(1,0)，可得抛物线2C的方程为24yx；（）设2(P t，2)(0)t t，设抛物线切线l的方程为22()ytk xt，由24yx两边对x求导，可得24yy，即为2yy，可得212ktt，即有切线l的方程为2(2)t ytxt，即为2xtyt，代入椭圆方程223412xy，可得2234(43)63120tyt yt，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，即有6243612(43)(4)0ttt，得204t，3122643tyyt，412231243ty yt，642221212222364(312)|1()41(43)43ttABtyyy yttt42222344 31(43)tttt
32、，原点到直线l的距离为221tdt，则AOB面积42222134|2 32(43)ttSAB dtt，令243ut，204t，可得416u，则2222 3(816)(1716)2 31616(8)(17)99uuuuSuuuuu，可令16vuu，由416u，可得16vuu在(4,16)递增，可得817v，即有22 3251369Svv，即有当25(8,17)2v 时，S取得最大值2 36256251363942由16252uu，解得253 414u，34122t，故当3412t时，AOB的面积取得最大值3；（）可设直线1:(1)lym x，代入椭圆223412xy，可得2222(34)8412
33、0mxm xm，设1(C x，1)y，2(D x，2)y，可得2122834mxxm，212241234mx xm，直线3:(1)2RQ ym x，代入椭圆223412xy，可得222(34)(128)41230mxm mxmm，设3(Q x，3)y，可得32(812)134mmxm，2324123134mmxm，假设四边形RQCD的对角线互相平分，可得四边形RQCD为平行四边形，RD与QC的中点重合即有312122xxx，即为1231xxx，即有2221212123()()4(1)xxxxx xx，则有228(34mm，2222224(412)4123)(1)3434mmmmm，即为2222
34、2216(99)(612)(34)(34)mmmm，解得34m 故存在直线1l，方程为3344yx12设1F，2F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，且点P和1F关于点3(0,)4C对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）点3(1,)2P和1F关于点3(0,)4C对称，1(1,0)F，椭圆E的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，由椭圆定义，得122|4aPFP
35、F，从而2a，223bac，故椭圆E的方程为22143xy；（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为(1)yk x、直线PQ的方程为3(1)2yk x，由22143(1)xyyk x消去y，得2222(34)84120kxk xk，根据题意可知0，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由韦达定理可知2122834kxxk，212241234kx xk，由221433(1)2xyyk x消去y，得2222(34)(812)41230kxkk xkk，由0，可知12k ，设3(Q x，3)y，又3(1,)2P，则2
36、32812134kkxk，2324123134kkxk，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，所以132122xxx，即1231xxx，故2212123()4(1)xxx xx，所以2222222284124123()4(1)343434kkkkkkk，解得34k，从而直线l方程为3430 xy时，四边形PABQ的对角线互相平分13设1F，2F分别为椭圆2222:(0)xyEabab的左，右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，且点P和1F关于点3(0,)4C对称（）求椭圆E的方程；（）过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问
37、是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）点3(1,)2P和1F关于点3(0,)4C对称，1(1,0)F，2(1,0)F，1c，122|4aPFPF，2a，3b，椭圆方程为：22143xy；（）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分理由如下：如图，设A，B，Q三点的横坐标分别为1x，2x，3x，直线AB的方程为：(1)yk x，PQ的方程为：3(1)2yk x，由AB方程与椭圆方程联立消去y，得2222(34)84120kxk xk，得2122834kxxk，212241234kx xk，由PQ方程与椭圆方程联立消
38、去y，得2222(34)(812)41230kxkk xkk，得232812134kkxk，232412334kkxk，四边形PABQ的对角线互相平分，PB，AQ的中点重合，132122xxx，1231xxx，平方可得，22123()(1)xxx，2212123()4(1)xxx xx，2222222284124123()4(1)343434kkkkkkk，解得34k，故直线l为3430 xy时，四边形PABQ对角线互相平分14在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，已知点(1,)e和3(,)2e都在椭圆C上，其中e为椭
39、圆C的离心率（）求椭圆C的方程；（）设直线:l ykxm与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求m的取值范围【解答】解：（）点(1,)e和3(,)2e都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，22211eab，222314eab，cea，222224222211314caa bcabcab，解得22a，21b，椭圆C的方程为2212xy（）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，(RR x，)Ry，四边形OPRG为平行四边形，线段PQ的中点即为线段OR的中点，即12Rxxx，12Ryyy，点R在椭圆上，21212()()12xxyy，221212()()2
40、 12xxk xxm，化简，得2221212(12)()8()82kxxkm xxm，由2212xyykxm，得222(12)4220kxkmxm，由0，得2221km，又122412kmxxk，代入式，得22222222216(12)3282(12)12kk mk mmkk，化简，得22412mk，代入式，得0m，又224121mk，12m，或12mm的取值范围为(，1122，)15已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为 2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且AOF的面积是BOF的面积的 3 倍（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线:l ykx
41、m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围【解答】解：（1）短轴长为 2，可得1b，即有(0,1)A，设(,0)F c，0(B x，0)y，AOF的面积是BOF的面积的 3 倍，即为01113|22ccy，可得013y ，由直线:1xAF yc 经过B，可得043xc，即4(3Bc，1)3，代入椭圆方程可得，22161199ca，即为222ac，即有2222ab，则椭圆方程为2212xy；（2）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，由OPRQ为平行四边形，可得12Rxxx，12Ryyy，R在椭圆C上，可得221212()()12xxyy，即为2
42、21212()()2)12xxk xxm，化为2221212(12)()8()82kxxkm xxm，由2222ykxmxy可得222(12)4220kxkmxm，由2222164(12)(22)0k mkm，即为2212km，122412kmxxk，代入可得22222222216(12)3282(12)12k mkk mmkk，化为22124km，代入可得0m，又224121mk，解得12m或12m则m的取值范围是(，1122，)16椭圆2222:1(0)xyCabab左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l交椭圆于A，B两点当直线lx轴时，125|3AFAF（）求椭圆的离心率；（）若椭
43、圆C上存在点M，使得四边形1AF BM是平行四边形，求此时直线l的斜率【解答】解：（）方法一：因为l过2(,0)F c，且lx，设(,)A c y，不妨设A为第一象限点，则0y 则22221cyab，所以2(,)bA ca，所以22|bAFa，则215|3bAFa，所以2221258|233bbbAFAFaaaa，所以2222344()abac所以224ac，所以12e；方法二：因为1212|25|3AFAFaAFAF，所以125|43|4AFaAFa，因此22253()()444aac，所以224ac，所以12e；（）由（），可设椭圆2222:143xyCcc，1(A x，1)y，2(B x
44、，2)y，线段AB的中点0(N x，0)y，由题意可以判断直线l的斜率存在，设:()l yk xc，联立方程组2222143()xyccyk xc，消去y，整理得222222(34)84120kxck xc kc，所以2122834ckxxk，因此212024234xxckxk，则0023()34ckyk xck因为四边形1AF BM是平行四边形，所以N是1FM的中点，所以0(2Mxc，02)y，又因为M在椭圆上，所以222003(2)4(2)12xcyc代入，得22222212363()4()123434ckcckckk，整理得428024270kk，解得2920k 或234k （舍去），所
45、以3 510k 所以直线l的斜率为3 510第第 20 讲讲 共线向量问题共线向量问题一解答题（共一解答题（共 18 小题）小题）1已知直线:1l ykx，椭圆222:1(0)9xyEmm（）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式；（）当103k 时，直线l与椭圆E相交于A，B两点，与y轴交于点M若2AMMB，求椭圆E的方程2已知直线:1(0)l ykxk与椭圆223(0)xya a相交于A，B两个不同的点，记直线l与y轴的交点为C（）若1k，且10|2AB，求实数a的值；（）若5,2aACCB，求k的值，及AOB的面积3已知直线:1(0)
46、l ykxk与椭圆223xya相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若1k，且10|2AB，求实数a的值；（）若2ACCB，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程4在平面直角坐标系中，已知12(2,0),(2,0),(,),(,1),(,2)AAP x y M xN x，若实数使得212(OM ONAP A P O 为坐标原点）（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；（2）当22时，若过点(0,2)B的直线l与（1）中P点的轨迹交于不同的两点E，(F E在B，F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围5如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAM
47、AB，设动点M的轨迹为C（）求轨迹C的方程；（）设直线2yxm 与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQPR，求|PRPQ的取值范围6如图，动点M与两定点(1,0)A、(1,0)B构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为 4，设动点M的轨迹为C（）求轨迹C的方程；（）设直线(0)yxm m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQPR，求|PRPQ的取值范围7在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）设直线2(02)ykxk与y轴相交于点P，与曲线E相
48、交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），且PQPR ，求实数的取值范围8已知抛物线2:2C ypx经过点(1,2)P，过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值9如图，已知抛物线2:2C ypx经过点(1,2)P，过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于NOQMQ，OQNQ，求证：为定值10已知点(1,2)P在抛物线2:2C ypx上，过点(0,1)Q
49、的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QMQO，QNQO，试判断11是否为定值，若是，求11值；若不是，求11的取值范围11已知221:(1)4Mxy，直线1:2l x ，动圆N与M相外切，且与直线l相切设动圆圆心N的轨迹为C，过点(0,1)Q的直线l与曲线C有两个不同的交点A、B（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，点(1,2)P，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，QMQO，QNQO，求证：11为定值12如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)xyEabab，其
50、中32ba，过椭圆E内一点(1,1)P的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足APPC ，BPPD ，其中为正常数当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的57（1）求椭圆E的离心率；（2）求a与b的值；（3）当变化时，ABk是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由13已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线2214xy的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为 1（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且2POOQ，试判断PMN的面积是否为定值，并说明理由14双曲线2222:1(0,0