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1、控制工程基础第二章数学模型你现在浏览的是第一页，共67页控制工程基础数学模型 数数数数学学学学模模模模型型型型：描描述述系系统统动动态态特特性性的的数数学学表表达达式式，称称为为系系统统的的数数学学模模型型，它它揭揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作作作作用用用用：数数学学模模型型是是设设计计和和分分析析控控制制系系统统的的依依据据。显显然然，建建立立正正确确、合合理的系统的数学模型是关键性的步骤。理的系统的数学模型是关键性的步骤。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。外部模型外部模型外部
2、模型外部模型也称为输入也称为输入输出模型。输出模型。它它着着眼眼于于系系统统激激励励与与响响应应的的关关系系，并并不不涉涉及及系系统统内内部部变变量量的的情情况况。因因而而，这这种种方方法法对对于于单单输输入入、单单输输出出系系统统较较为为方方便便。一一般般而而言言，描描述述线线性性时时不不变变系系统统的的输输入入输输出出关关系系，对对连连续续系系统统是是用用常常系系数数线线性性微微分分方方程程来来描描述述，对对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。离散系统是用常系数线性差分方程来描述。内部模型内部模型内部模型内部模型也称为状态变量描述法。也称为状态变量描述法。它它不不仅仅可可以以给给出出系系
3、统统的的响响应应，还还可可提提供供系系统统内内部部各各变变量量的的情情况况，特特别别适适用用于于多多输输入入、多多输输出出系系统统。用用这这种种方方法法建建立立的的数数学学式式为为一一阶阶微微分分方方程程组组形形式式，便便于于计计算算机机求求解解。状状态态变变量量分分析析法法还还适适用用于于时时变变系系统统和和非非线线性性系系统统，已已成成为为系系统统理理论论与与现现代代控控制工程的基础。制工程的基础。建模基本方法：建模基本方法：建模基本方法：建模基本方法：解析法和实验法。解析法和实验法。你现在浏览的是第二页，共67页数学模型的形式微分方程（组）传递函数（阵）频率特性L变换变换L L反变换反变
4、换s=js=j 时间响应变量状态图方框图，信号流图Nyquist图，Bode图等现代控制理论你现在浏览的是第三页，共67页2.1系统运动微分方程的建立（1 1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2 2）从从输输入入端端开开始始，按按信信息息传传递递、变变换换过过程程列列写写各各变变量量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；（3 3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；（4 4）消去中间变量，得到输出）消去中间变量，得到输出输入关系式；输入关系式；（5
5、 5）整理成规范形式。整理成规范形式。二步骤：步骤：一依据：依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论你现在浏览的是第四页，共67页举例1：机械平移动力学系统 在在输输入入f fi i(t)(t)力力的的作作用用下下，质质量量块块mm将将有有加加速速度度，从从而而产产生生速速度度和和位位移移。质质量量块块的的速速度度、位位移移使使阻阻尼尼器器和和弹弹簧簧产产生生粘粘性性阻阻尼尼力力f fc c(t)(t)和和弹弹性性力力f fk k(t)(t)。这这两两个个力力反反作作用用于于质质量量块块，影影响响输输入入f fi i(t)(t)的的作作用用效效果果，从从而而使使质质量量块块的的速速度
6、度和和位位移移发发生生变变化化，产生动态过程。产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。三举例你现在浏览的是第五页，共67页机械平移动力学系统的模型方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，应有由阻尼器、弹簧的特性，可写出消去中间变量，写成规范形式此式为二阶常系数线性微分方程。你现在浏览的是第六页，共67页举例2：电网络系统 设设输输入入端端电电压压u
7、ui i(t)(t)为为系系统统输输入入量量。电电容容器器c c两两端端电电压压u uo o(t)(t)为为系系统统输输出出量量。现现研研究究输输入入电电压压u ui i(t)(t)和和输输出出电电压压 u uo o(t)(t)之之间间的的关关系系。电电路路中的电流中的电流i(t)i(t)为中间变量。为中间变量。根据电压方程，可写出根据电压方程，可写出消去中间变量消去中间变量i(t)i(t)，稍加整理，即得，稍加整理，即得上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。你现在浏览的是第七页，共67页 小结：物物物物理理理理本本本本质质
8、质质不不不不同同同同的的的的系系系系统统统统，可可可可以以以以有有有有相相相相同同同同的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型。这这样样的的系系统统称称为为相相相相似似似似系系系系统统统统。在相似系统的方程中，处于相同位置的物理量称为相相似似量量。从从动动态态性性能能来来看看，在在相相同同形形式式的的输输入入作作用用下下，数数学学模模型型相相同同而而物物理理本本质质不不同同的的系系统统其其输输出出响响应应相相似似，若若方方程程系系数数等等值值则则响响应应完完全全一一样样。这这样样就就可可以以用用电电系系统统来来模模拟拟其其它它系系统统，进进行行实实验验研研究究。这这就就是是控控制制理理论论中中
9、的的功功功功能模拟方法能模拟方法能模拟方法能模拟方法的基础。的基础。同同同同一一一一数数数数学学学学模模模模型型型型可可可可以以以以描描描描述述述述物物物物理理理理性性性性质质质质完完完完全全全全不不不不同同同同的的的的系系系系统统统统。因因此此，从从控控制制理理论论来来说说，可可抛抛开开系系统统的的物物理理属属性性，用用同同一一方方法法进进行行普普遍遍意意义义的的分分析析研研究究，这这就就是是信信信信息息息息方方方方法法法法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。四小结你现在浏览的是第八页，共67页 小结：在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元
10、的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。统的固有特性，取决于系统结构及其参数。你现在浏览的是第九页，共67页五五 系统运动微分方程的一般形式系统运动微分方程的一般形式 特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的根根根根称称称称为为为为特特特特征征征征根根根根，他他他他们们们们是是是是系系系系统统统统系系系系数数数数的的的的组组组组合合合合。N
11、N阶阶系系统统有有n n个个特特征征根根。特特征征根根只只能能是是0 0、实实数数、复复数数（必必共共扼扼成成对对出出现现）。系统特征根决定了系统的性能系统特征根决定了系统的性能系统特征根决定了系统的性能系统特征根决定了系统的性能!注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。齐次方程为特征方程为你现在浏览的是第十页，共67页六 建立动态方程时应注意的问题 变量形式的选取问题变量形式的选取问题系统在
12、某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。负载效应问题由由于于后后一一环环节节的的存存在在，前前一一环环节节的的输输出出受受到到影影响响，有有如如加加上上了了一一个个负负载载对对前前一一环环节节产产生生影影响响，这这种种影影响响称称为为负负载载效效应应。例例如如，无无源源网网络络输输入入阻阻抗抗对对前前级级的的影影响响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。齿轮系对电机转动惯量的影响等。你现在浏览的是第十一页，共67页实际物理元件和系
13、统都是非线性的。非线性特性分非线性特性分为本质非线性和非本质非线性。为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是在一定所谓线性化就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。非线性模型的线性化问题你现在浏览的是第十二页，共67页七线性系统
14、的叠加原理(PrincipleofSuperposition)(PrincipleofSuperposition)线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用用线线性性微微分分方方程程描描述述的的系系统统，称称为为线线性性系系统统。如如果果方方程程的的系系数数为为常常数数，则则称称为为线线性性定定常常系系统统；如如果果方方程程的的系系数数不不是是常常数数，而而是是时时间间的的函函数数，则则称称为为线线性性时时变变系系统统。线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的重重重重要要要要性性性性质质质质是是是
15、是可可可可以以以以应应应应用用用用叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理。叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理有有有有两两两两重重重重含含含含义义义义：均均均均匀匀匀匀性性性性（齐齐齐齐次次次次性性性性）和和和和可可可可叠叠叠叠加加加加性性性性。这这个个原原理理是是说说，多多个个输输入入同同时时作作用用于于线线性性系系统统的的总总响响应应，等等于于各各个个输输入入单单独独作作用用时时分分别别产产生生的的响响应应之之和和，且且输输入入增增大大若若干干倍倍时时，其其输输出出亦亦增增大大同同样样的的倍倍数数。系系统统对对输输入入信信号号的的微微分分和和积积分分的的响响应应等等于于系系统统对对输输入入信信号号的
16、的响响应应的的微微分分和和积分。积分。你现在浏览的是第十三页，共67页2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数运算。你现在浏览的是第十四页，共67页一一 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的实质时间函数复变量s的复变函数拉氏变换的定义拉
17、氏变换的定义你现在浏览的是第十五页，共67页二二 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 指数函数工程中极其重要的函数！有如下性质指数函数的拉氏变换拉氏变换是线性变换拉氏变换是线性变换它的微分、积分与其自身成比例阶跃函数你现在浏览的是第十六页，共67页 斜坡函数和加速度函数斜坡函数和加速度函数斜坡函数阶跃函数的积分！加速度函数（速度函数的积分）复数域中为乘1/s，或说除以s时域中的积分运算你现在浏览的是第十七页，共67页 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换欧拉公式和谐波函数的拉氏变换谐波函数的拉氏变换欧拉公式你现在浏览的是第十八页，共67页三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理注意：注意：时，函数时，
18、函数线性定理微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）延迟定理平移函数、延迟函数对于函数函数称为延迟函数，函数本身并不发生改变，只是延迟时间才发生。你现在浏览的是第十九页，共67页延迟定理若则有延迟函数的拉氏变换原函数的拉氏变换乘以例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换脉动函数它是正负阶跃函数的叠加：脉动函数的拉氏变换：你现在浏览的是第二十页，共67页 脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数：脉动函数的极限，t0看作变量。定义：显然单位脉冲（Dirac）面积为1的脉冲函数结论：结论：脉冲函数是面积函数；脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。你现在
19、浏览的是第二十一页，共67页 关于单位脉冲函数的说明关于单位脉冲函数的说明单单位位脉脉冲冲函函数数是是人人为为定定义义的的广广义义函函数数，是是一一种种数数学学分分析析工工具具；它它的的引引入入解解决决了了不不连连续续函函数数间间断断点点处处求求导导数数的的问问题题。单单位位脉脉冲冲函函数数就就是是单单位位阶阶跃跃函函数数在不连续点（在不连续点（t=0t=0）处的导数！）处的导数！单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1；采样性质：时域里的脉冲复数域中的常数你现在浏览的是第二十二页，共67页三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理位移定理位移定理设则有的拉氏变换，有以（s+）去替
20、换s的效果。可按拉氏变换定义证明之。举例如则你现在浏览的是第二十三页，共67页三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理初初初初值值值值定定定定理理理理表表明明时时间间函函数数在在原原点点的的性性质质与与sFsF（s s）在在复复数数域域无无穷穷远远处处的的性性质质一一致致；终终终终值值值值定定定定理理理理则则表表明明，时时间间函函数数在在时时间间无无穷穷远远点点的的性性质质与与sFsF（s s）在在复复数数域域原原点点处处的的性性质质一一致致。即即建建立立了了时时间间函函数数在在无无穷穷远远点点（原原点点）与与复复变变函函数数sXsX（s s）在在坐坐标标原原点点（无无穷穷远远点点）的的值值之之
21、间间的的关系。关系。初值定理初值定理和终值定理和终值定理若存在，且有则有终值定理终值定理的证明的证明出发点：微分定理、拉氏变换定义有终值定理应用：应用：稳态误差计算你现在浏览的是第二十四页，共67页三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理关于卷积的说明：关于卷积的说明：关于卷积的说明：关于卷积的说明：卷卷积积h(t)h(t)是是时时间间函函数数f()f()与与时时间间倒倒置置函函数数g(t-)g(t-)相乘后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律和分配律。卷积定理卷积定理卷积的数学定义符号表示性质：卷积定理若则你现在浏览的是第二十五页，共67页四四 拉氏逆变换及其求法拉氏逆变换及其求法逆变换
22、已知F(s),求f(t)的数学过程2.部分分式法将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。定义查表法注意综合应用拉氏变换的性质定理。你现在浏览的是第二十六页，共67页基本步骤基本步骤根据多项式定理求F(s)的极点根据分项分式法，将F(s)展成部分分式求出待定系数ci（复变函数中的留数）F(s)的极点：使F(s)=的s值 F(s)的零点：使F(s)=0的s值查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换在复变函数中ci称为s=pi极点处的留数。你现在浏览的是第二十七页，共67页待定系数的求法待定系数的求法 简易计算式：简易计算式：由于F(s)的极点可以是简单实数极
23、点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：简单极点求ci的步骤：用s+pi乘上式两边，两边取极限令你现在浏览的是第二十八页，共67页 简单极点求待定系数举例简单极点求待定系数举例指数衰减曲线指数衰减曲线注注意意：F(s)F(s)具具有有负负实实部部极极点点2 2，3 3，当当tt时时，使使f(t)0,f(t)0,且且e e比e衰减得更快！衰减得更快！举例：解：有极点：你现在浏览的是第二十九页，共67页共轭复数极点待定系数共轭复数极点待定系数的求法的求法 共轭复数极点有两种解法分解成如下形式，令复数相等有：采用简单极点求法可求得举例：解：你现在浏览的是第三十页，共67页共轭复数极点共轭复数极点求求
24、待定系数举例待定系数举例求：解得：此外，解得：注意：极点的实部为指数函数的幂，决定衰减的快慢；极点的虚部在正弦、余弦函数中，决定振荡的频率。你现在浏览的是第三十一页，共67页五五 用拉氏变换求解运动微分方程用拉氏变换求解运动微分方程 显然，用拉氏变换求解系统运动微分方程，首先必须求得系统的极点。在无计算机的年代是困难的，但是，人类总能找到解决问题的办法。步骤将微分方程拉氏变换为s的代数方程；求出系统输出的复域解；拉氏反变换得系统输出得时域解。你现在浏览的是第三十二页，共67页2.3 动态系统的传递函数(transfer function)(transfer function)用系统的外部特征来
25、揭示系统的内部特性。通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数基本思想功能输入输出动物习性的研究人体器官检查人们的思想品质控制论中的黑箱理论你现在浏览的是第三十三页，共67页一 传递函数概念可以用可以用方块图方块图来表示一个具有传递函数来表示一个具有传递函数G(s)G(s)的线性系统。的线性系统。线性定常(LTI)系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。例如：在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为按传递函数定义，有系统输出响应：即图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。你现在浏览的是第三十四页，
26、共67页二 传递函数的零点(zero)(zero)和极点(pole)(pole)注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点、极点决定系统性能。构参数。零点、极点决定系统性能。传递函数的零点传递函数的极点传递函数分子多项式等于零的根传递函数分母（特征）多项式(eigenpolynomial)等于零的根零点与输入作用位置及输入信号性质有关极点就是系统特征根(eigenvalue/root)，它们决定了系统的动态性能你现在浏览的是第三十五页，共67页三三 传递函数的性质传递函数的性质传递函数一般只能描述线性定常系统动态特性。零、极点分布决定了
27、系统的动态过程。传递函数通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统的外部特征来揭示系统的内部特性。传递函数是系统在复数域中的数学模型，它与微分方程有相通性。分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。所有系数均为实数。（nm）传递函数不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的传递函数。传递函数的量纲取决于系统输入与输出的量纲。你
28、现在浏览的是第三十六页，共67页四四 传递函数的表示形式传递函数的表示形式输入输入输出模型输出模型零零极点模型极点模型 典型环节模型典型环节模型分母称为系统的特征多项式分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式零、极点只能取0、实数和复数（必共轭）值，因此，传递函数还可以写成典型环节乘积的形式。你现在浏览的是第三十七页，共67页用Matlab实现传递函数模型转换例1将输入-输出模型化为零、极点模型根据Matlab运行结果，可得零、极点及增益，从而得到零、极点模型。注：分母denominator分子numerator你现在浏览的是第三十八页，共67页用Matlab实现传递函数模型转换例
29、2将典型环节模型化为输入-输出模型你现在浏览的是第三十九页，共67页用Matlab实现传递函数模型转换（例题结果）例1的结果：例2的结果：其它转换请自己查阅有关书籍。你现在浏览的是第四十页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例比例(proportional)(proportional)环节环节方程形式：方程形式：，K K放大系数、增益。放大系数、增益。传递函数：传递函数：，静态关系，静态系统。，静态关系，静态系统。实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。特点：输出以一定比例复
30、现输入，静态关系。你现在浏览的是第四十一页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数惯性环节惯性环节，时间常数，描述系统惯性；时间常数，描述系统惯性；极点：极点：举例 响应分析：响应分析：有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。你现在浏览的是第四十二页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节 有两个独立的蓄能元件，由于阻尼比小于1，因此，存在能量（信息）的交换，产生振荡(oscillation)。无阻尼自然振荡频率(naturefrequency)实际阻尼/临界阻尼，称为阻尼比(dampingratio)你现在浏览的是第四十
31、三页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节2 2 2 2实例：机床进给系统定义时的阻尼系数为临界阻尼系数当0时，为简谐振动特征方程：原方程为：有特征方程：特征根为：阻尼比为：原方程可写成：固有频率：你现在浏览的是第四十四页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数积分环节积分环节，或，或输出正比于输入对时间的积分。输出正比于输入对时间的积分。因因为为系系统统存存在在死死区区、不不灵灵敏敏区区等等原原因因，偏偏差差信信号号很很小小时时，系系统统无无调调节节作作用用，实实际际输输出出与与期期望望输输出出误误差差较较大大，影影响响控控制制精
32、精度度。通通过过积积分分环环节节的的作作用用，逐逐渐渐积积累累，当当偏偏差差超超过过死死区区后后，使使系系统统产产生生调调节节作作用用，使使实实际际输输出出尽尽量接近期望输出，从而提高了控制精度。量接近期望输出，从而提高了控制精度。积分环节有记忆功能，输入突然除去，积分停止，输出维持不变。用于改善系统的稳态性能，即降低稳态误差，提高控制精度。你现在浏览的是第四十五页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数微分环节微分环节 微微分分环环节节使使系系统统输输出出提提前前，具具有有预预报报功功能能，输输出出预预示示了了输输入入信信号号的的变变化化趋趋势势。微微分分环环节节还还可
33、可以以增增大系统阻尼，用于改善系统的动态特性。大系统阻尼，用于改善系统的动态特性。输出正比于输入的一阶导数ui(t)uo(t)RC你现在浏览的是第四十六页，共67页2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数延迟环节延迟环节小小结结：1 1、元元件件是是按按功功能能分分类类的的，而而环环节节是是按按传传递递函函数数的的形形式式分分类类的的；一一个个元元件件可可以以是是一一个个环环节节，也也可可以以分分为为几几个个环环节节，也也可可能能几几个个元元件件构构成成一一个个环环节节。2 2、环环节节的的传传递递函函数数形形式式是是不不变变的的；当当选选择择的的输输入入、输输出出不不同同时时，相
34、相同同元元件件组组合的传递函数形式可能不同。合的传递函数形式可能不同。你现在浏览的是第四十七页，共67页2.5 2.5 传递函数的求取方法传递函数的求取方法传递函数的求取方法解析法：1.按因果关系写出各元件的微分方程;2.将各微分方程进行拉氏变换,变成代数方程;3.消去中间变量,得输出输入关系式。图解法1.2.步骤同解析法;3.按因果关系绘出各代数方程的函数方块图;4.按信号关系连接各函数方块图得系统方块图;5.用等效变换法则,简化方块图得系统传递函数。你现在浏览的是第四十八页，共67页一一 求取系统传递函数的解析法 1 1你现在浏览的是第四十九页，共67页一一 求取系统传递函数的解析法 2
35、2拉氏变换拉氏变换消去中间变量可求得分别以电枢消去中间变量可求得分别以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电机转角电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电机转角为输出的两个传递函数：为输出的两个传递函数：输出：电机转角直流电机特性方程：主令输入：电枢电压u扰动输入：负载转矩ml假设电枢反应可忽略不计，电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传动轴可认为是刚性轴，电动机电枢回路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。：电动机的机电时间常数：电动机的电磁时间常数：电枢电压作用系数，rad/（V.s）：负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)你现在浏览的是第五十页，共67页
36、二 求取系统传递函数的图解法系统方块图绘制方法运算法则等效变换方块图简化求传递函数基本结构方块图功用描述信号传递变换过程你现在浏览的是第五十一页，共67页方块图的基本结构要素你现在浏览的是第五十二页，共67页系统方块图的绘制方法你现在浏览的是第五十三页，共67页系统方块图的绘制方法关键：明确因果关系；按信号流向连接你现在浏览的是第五十四页，共67页方块图的运算法则串联并联反馈你现在浏览的是第五十五页，共67页方块图等效变换法则求和点前移求和点前移求和点后移求和点后移引出点后移引出点后移引出点前移你现在浏览的是第五十六页，共67页简化方块图求传递函数系统方块图移动相加点或引出点方块图运算系统传递
37、函数注意：方块图简化路径非唯一，但总有最简单的方法。你现在浏览的是第五十七页，共67页方块图的作用方块图的作用能描述系统的工作原理；便于研究每个环节对系统性能的影响；能直观地反映系统中信号传递、转换的过程和信号之间的关系；通通过过方方块块图图运运算算和和等等效效变变换换，可可以以简简化化方方块块图图，从从而而能能够够方方便便地地求求出出系系统统中中任任意意两两个个信信号号之之间间的的传传递递函数。函数。局限性：对于复杂系统，框图的简化过程繁杂，易出错。你现在浏览的是第五十八页，共67页2.6 信号流图与信号流图与Mason公式公式Signal flow diagramsareprimarily
38、analternativepictoria1representationtoblockdiagrams.Allsignals(variables)arerepresentedbydots,callednodes(节点）,relatedvariablesbeingjoinedbylinescalleddirected branches（支路）.Eachbranchhasanassociatedtransmittance（增益，传递率）,Tjk,whichlinksnodejtonodekwithzerotransmittancefromktoj,i.e.transmittanceisunidir
39、ectionalandisindicatedbyanarrow.Apathfromasourcetoasinknode,withoutpassingthroughanyothernodemorethanonce,iscalledanopenora forward path（开路、前向通道）.Aclosed(feedback)pathiscalledaloop（回路）.Theproductofthetransmittancesofthebranchesformingaloopiscalledtheloop transmittance（回路增益）.Concepts你现在浏览的是第五十九页，共67页
40、2.6 信号流图与信号流图与Mason公式公式(2)Highlights:Thesignalatanodeisequaltothesumofallsignalstransmittedtothenode,i.e.anodewithmorethanoneinputisasummingpoint.Thetransmittancesaresimplyrelatedtothetransferfunctions.Thetransmittancemaybenegative.Thetransmittancesconnectedtheinput/outputnodes(source/sink nodes)are
41、bothunity,andmerelyhelpmakethediagramclearer.你现在浏览的是第六十页，共67页Manipulating Rules of SFDs(a)Seriespaths(b)Parallelpaths(c)Feedbackloop(d)Eliminationofanode你现在浏览的是第六十一页，共67页Masons Gain Formula Nettransmittancefromasourcetoasinknode,T,isgivenby:lopenpathsbetweenthesourceandsinknodesunderconsideration.=1
42、(sumofall1ooptransmittances)+(sumofproductsoflooptransmittancesofallpossiblenon-touchingloopstakeninpairs)(sumofsimilarproductstakenthreeatatime+etc.k=valueofcalculatedforthatpartofthegraphnottouchingthekthopenpath.Tk=transmittanceofthekthforwardpath.你现在浏览的是第六十二页，共67页ApplicationsForFig.(a)Twoopenpat
43、hs:(1)(1)x x1 1-x-x3 3-x-x4 4-x-x5 5-x-x6 6-x-x2 2,T T1 1=G G1 1G G2 2G G3 3(2)(2)x x1 1-x x3 3-x x5 5-x x6 6-x x2 2,T T2 2=G G3 3 oneloop：x5-x6-x5,Ta=G3HNonon-touchingfeedbackloopsandthelooptouchesbothopenpaths，HENCE=1Ta=l+G3H1=1,2=l你现在浏览的是第六十三页，共67页2.7 控制系统的传递函数传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数G(s)G(s)：输出量：输出量
44、Y(s)Y(s)与作用误差信号与作用误差信号E(s)E(s)之比；之比；反馈通道传递函数反馈通道传递函数H(s)H(s)：反馈信号：反馈信号B(s)B(s)与输出量与输出量Y(s)Y(s)之比；之比；系统开环传递函数定义：反馈信号B(s)与作用误差信号E(s)之比；用Gk(s)、G(s)H(s)等表示。开环增益开环放大系数开环传递函数G(s)H(s)中积分环节的个数重要问题：开环增益对系统动态、稳态性能的影响！你现在浏览的是第六十四页，共67页2.7 控制系统的传递函数传递函数控制输入作用下的闭环传递函数3.扰动输入作用下的闭环传递函数4.控制输入作用下的误差(偏差)传递函数5.扰动输入作用下
45、的误差(偏差)传递函数你现在浏览的是第六十五页，共67页关于系统传递函数的重要结论关于系统传递函数的重要结论控制系统的四个闭环传递函数均具有相同的特征多项式函数，因此，这些闭环传递函数的极点相同。系统极点即特征根不变，即系统固有特性不变，它与输入、输出信号的形式、位置均无关。这就是说，系统的极点与外部输入信号的形式和在系统中的作用位置无关，同时也和输出信号的形式以及取出输出信号的位置无关。四个传递函数的分子各不相同，且与前向通道上的传递函数有关。因此闭环传递函数分子随着输入的作用点和输出量的引出点不同而不同。显然，同一外作用加在系统不同的位置上，系统的响应是不同的，但决不会改变系统的固有特性。闭环系统的闭环极点数与闭环系统的开环极点数相同。闭环特征多项式与开环特征多项式仅相差实数1。注意：用叠加原理即可求得系统的总输出和总误差。你现在浏览的是第六十六页，共67页请各位同学对本人的教学工作请各位同学对本人的教学工作提出具体意见和要求！提出具体意见和要求！电话:15927074493 Email:你现在浏览的是第六十七页，共67页