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1、控制工程基础第二章数学模型第1页，此课件共67页哦控制工程基础数学模型 数数数数学学学学模模模模型型型型：描描述述系系统统动动态态特特性性的的数数学学表表达达式式，称称为为系系统统的的数数学学模模型型，它它揭揭示示了了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作作作作用用用用：数数学学模模型型是是设设计计和和分分析析控控制制系系统统的的依依据据。显显然然，建建立立正正确确、合合理理的的系系统统的的数数学模型是关键性的步骤。学模型是关键性的步骤。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。外部模型外部模型外部模型外
2、部模型也称为输入也称为输入输出模型。输出模型。它它着着眼眼于于系系统统激激励励与与响响应应的的关关系系，并并不不涉涉及及系系统统内内部部变变量量的的情情况况。因因而而，这这种种方方法法对对于于单单输输入入、单单输输出出系系统统较较为为方方便便。一一般般而而言言，描描述述线线性性时时不不变变系系统统的的输输入入输输出出关关系系，对对连连续续系系统统是是用用常常系系数数线线性性微微分分方方程程来来描描述述，对对离离散散系系统统是用常系数线性差分方程来描述。是用常系数线性差分方程来描述。内部模型内部模型内部模型内部模型也称为状态变量描述法。也称为状态变量描述法。它它不不仅仅可可以以给给出出系系统统的
3、的响响应应，还还可可提提供供系系统统内内部部各各变变量量的的情情况况，特特别别适适用用于于多多输输入入、多多输输出出系系统统。用用这这种种方方法法建建立立的的数数学学式式为为一一阶阶微微分分方方程程组组形形式式，便便于于计计算算机机求求解解。状状态态变变量量分分析析法法还还适适用用于于时时变变系系统统和和非非线线性性系系统统，已已成成为为系系统统理论与现代控制工程的基础。理论与现代控制工程的基础。建模基本方法：建模基本方法：建模基本方法：建模基本方法：解析法和实验法。解析法和实验法。第2页，此课件共67页哦数学模型的形式微分方程（组）传递函数（阵）频率特性L变换变换L L反变换反变换s=js=
4、j 时间响应变量状态图方框图，信号流图Nyquist图，Bode图等现代控制理论第3页，此课件共67页哦2.1系统运动微分方程的建立（1 1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2 2）从从输输入入端端开开始始，按按信信息息传传递递、变变换换过过程程列列写写各各变变量量之之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；（3 3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；（4 4）消去中间变量，得到输出）消去中间变量，得到输出输入关系式；输入关系式；（5 5）整理成规范形
5、式。整理成规范形式。二步骤：步骤：一依据：依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论第4页，此课件共67页哦举例1：机械平移动力学系统 在在输输入入f fi i(t)(t)力力的的作作用用下下，质质量量块块mm将将有有加加速速度度，从从而而产产生生速速度度和和位位移移。质质量量块块的的速速度度、位位移移使使阻阻尼尼器器和和弹弹簧簧产产生生粘粘性性阻阻尼尼力力f fc c(t)(t)和和弹弹性性力力f fk k(t)(t)。这这两两个个力力反反作作用用于于质质量量块块，影影响响输输入入f fi i(t)(t)的的作作用用效效果果，从从而而使使质质量量块块的的速速度度和和位位移移发发生生变
6、变化化，产生动态过程。产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。三举例第5页，此课件共67页哦机械平移动力学系统的模型方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，应有由阻尼器、弹簧的特性，可写出消去中间变量，写成规范形式此式为二阶常系数线性微分方程。第6页，此课件共67页哦举例2：电网络系统 设设输输入入端端电电压压u ui i(t)(t)为为系系统统输输
7、入入量量。电电容容器器c c两两端端电电压压u uo o(t)(t)为为系系统统输输出出量量。现现研研究究输输入入电电压压u ui i(t)(t)和和输输出出电电压压 u uo o(t)(t)之之间间的的关关系系。电电路路中的电流中的电流i(t)i(t)为中间变量。为中间变量。根据电压方程，可写出根据电压方程，可写出消去中间变量消去中间变量i(t)i(t)，稍加整理，即得，稍加整理，即得上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。第7页，此课件共67页哦 小结：物物物物理理理理本本本本质质质质不不不不同同同同的的的的系系系系统统统
8、统，可可可可以以以以有有有有相相相相同同同同的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型。这这样样的的系系统统称称为为相相相相似似似似系系系系统统统统。在在相相似似系系统统的的方方程程中中，处处于于相相同同位位置置的的物物理理量量称称为为相相相相似似似似量量量量。从从动动态态性性能能来来看看，在在相相同同形形式式的的输输入入作作用用下下，数数学学模模型型相相同同而而物物理理本本质质不不同同的的系系统统其其输输出出响响应应相相似似，若若方方程程系系数数等等值值则则响响应应完完全全一一样样。这这样样就就可可以以用用电电系系统统来来模模拟拟其其它它系系统，进行实验研究。这就是控制理论中的统，进行实验研究
9、。这就是控制理论中的功能模拟方法功能模拟方法功能模拟方法功能模拟方法的基础。的基础。同同同同一一一一数数数数学学学学模模模模型型型型可可可可以以以以描描描描述述述述物物物物理理理理性性性性质质质质完完完完全全全全不不不不同同同同的的的的系系系系统统统统。因因此此，从从控控制制理理论论来来说说，可可抛抛开开系系统统的的物物理理属属性性，用用同同一一方方法法进进行行普普遍遍意意义义的的分分析析研研究究，这这就就是是信信信信息息息息方方方方法法法法，从从信信息息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。四小结第8页，此课件共67页哦 小结：在通常情况下，元件
10、或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。的固有特性，取决于系统结构及其参数。第9页，此课件共67页哦五五 系统运动微分方程的一般形式系统运动微分方程的一般形式 特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的根根根根称称称称为为为为特特特特征征征征根根根根，他他他他们们们们是是是是系系系系统
11、统统统系系系系数数数数的的的的组组组组合合合合。N N阶阶系系统统有有n n个个特特征征根根。特特征征根根只只能能是是0 0、实实数数、复复数数（必必共共扼扼成成对对出出现现）。系系系系统统统统特征根决定了系统的性能特征根决定了系统的性能特征根决定了系统的性能特征根决定了系统的性能!注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。齐次方程为特征方程为第10页，此课件共67页哦六 建立动态方程时应注意的
12、问题 变量形式的选取问题变量形式的选取问题系系统统在在某某一一平平衡衡点点工工作作，变变量量偏偏离离平平衡衡点点的的偏偏离离量量很很小小，一一般般只只研研究究系系统统在在平平衡衡点点附附近近的的动动态态特特性性。因因此此，总总是是选选择择平平衡衡工工作作点点作作为为坐坐标标系系原原点点，变变量量采采用用增增量量形形式式。其其优优点点是是系系统统的的初初始始条条件件为为零零，便便于于求求解解方方程程，便于非线性方程进行线性化处理。便于非线性方程进行线性化处理。负载效应问题负载效应问题由由于于后后一一环环节节的的存存在在，前前一一环环节节的的输输出出受受到到影影响响，有有如如加加上上了了一一个个负
13、负载载对对前前一一环环节节产产生生影影响响，这这种种影影响响称称为为负负载载效效应应。例例如如，无无源源网网络络输输入入阻阻抗抗对对前前级级的的影影响响，齿齿轮轮系系对对电电机机转转动惯量的影响等。动惯量的影响等。第11页，此课件共67页哦实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特性非线性特性分为本质非线性和非本质非线性。分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是在一定范所谓线性化就是在一定范
14、围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。非线性模型的线性化问题第12页，此课件共67页哦七线性系统的叠加原理(PrincipleofSuperposition)(PrincipleofSuperposition)线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用用线线性性微微分分方方程程描描述述的的系系统统，称称为为线线性性系系统统。如如果果方方程程的的系
15、系数数为为常常数数，则则称称为为线线性性定定常常系系统统；如如果果方方程程的的系系数数不不是是常常数数，而而是是时时间间的的函函数数，则则称称为为线线性性时时变变系系统统。线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的重重重重要要要要性性性性质质质质是是是是可可可可以以以以应应应应用用用用叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理。叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理有有有有两两两两重重重重含含含含义义义义：均均均均匀匀匀匀性性性性（齐齐齐齐次次次次性性性性）和和和和可可可可叠叠叠叠加加加加性性性性。这这个个原原理理是是说说，多多个个输输入入同同时时作作用用于于线线性性系系统统的的总总响响应应，等等于于各各个个输
16、输入入单单独独作作用用时时分分别别产产生生的的响响应应之之和和，且且输输入入增增大大若若干干倍倍时时，其其输输出出亦亦增增大大同同样样的的倍倍数数。系系统统对对输输入入信信号号的的微微分分和和积积分分的的响响应应等等于于系系统统对对输输入入信信号号的的响响应应的微分和积分。的微分和积分。第13页，此课件共67页哦2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)建建立立描描述述系系统统动动态态性性能能的的运运动动微微分分方方程程之之后后，给给定定输输入入，解解这这个个方方程程，得得到到它它的的全全解解，即即可可知知道道系系统统的的输输出出响响应应，从从而而知知道
17、道系系统统在在给给定定输输入入作作用用下下的的运运动动规规律律，即即性性能能。问问题题在在于于，用用一一般般微微分分方方程程理理论论求求解解高高阶阶微微分分方方程程是是相相当当困困难难的的。人人类类的的思思路路就就是是变变换换研研究究领领域域，借借助助其其他他方方法法。拉拉普普拉拉斯斯变变换换是是一一种种数数学学工工具具，它它可可将将时时域域中中的的微微积积分分运运算算转转化化为为复复数数域域中中的的代代数数运运算。算。第14页，此课件共67页哦一一 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的实质时间函数复变量s的复变函数拉氏变换的定义拉氏变换的定义第15页，此课件共67页哦二二 典型函数的拉氏变
18、换典型函数的拉氏变换 指数函数工程中极其重要的函数！有如下性质指数函数的拉氏变换拉氏变换是线性变换拉氏变换是线性变换它的微分、积分与其自身成比例阶跃函数第16页，此课件共67页哦 斜坡函数和加速度函数斜坡函数和加速度函数斜坡函数阶跃函数的积分！加速度函数（速度函数的积分）复数域中为乘1/s，或说除以s时域中的积分运算第17页，此课件共67页哦 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换欧拉公式和谐波函数的拉氏变换谐波函数的拉氏变换欧拉公式第18页，此课件共67页哦三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理注意：注意：时，函数时，函数线性定理微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）延迟定理平移函数、延迟函数对
19、于函数函数称为延迟函数，函数本身并不发生改变，只是延迟时间才发生。第19页，此课件共67页哦延迟定理若则有延迟函数的拉氏变换原函数的拉氏变换乘以例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换脉动函数它是正负阶跃函数的叠加：脉动函数的拉氏变换：第20页，此课件共67页哦 脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数：脉动函数的极限，t0看作变量。定义：显然单位脉冲（Dirac）面积为1的脉冲函数结论：结论：脉冲函数是面积函数；脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。第21页，此课件共67页哦 关于单位脉冲函数的说明关于单位脉冲函数的说明单单位位脉脉冲冲函函数数是是人
20、人为为定定义义的的广广义义函函数数，是是一一种种数数学学分分析析工工具具；它它的的引引入入解解决决了了不不连连续续函函数数间间断断点点处处求求导导数数的的问问题题。单单位位脉脉冲冲函函数数就就是是单单位位阶阶跃函数在不连续点（跃函数在不连续点（t=0t=0）处的导数！）处的导数！单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1；采样性质：时域里的脉冲复数域中的常数第22页，此课件共67页哦三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理位移定理位移定理设则有的拉氏变换，有以（s+）去替换s的效果。可按拉氏变换定义证明之。举例如则第23页，此课件共67页哦三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理初初
21、初初值值值值定定定定理理理理表表明明时时间间函函数数在在原原点点的的性性质质与与sFsF（s s）在在复复数数域域无无穷穷远远处处的的性性质质一一致致；终终终终值值值值定定定定理理理理则则表表明明，时时间间函函数数在在时时间间无无穷穷远远点点的的性性质质与与sFsF（s s）在在复复数数域域原原点点处处的的性性质质一一致致。即即建建立立了了时时间间函函数数在在无无穷穷远远点点（原原点点）与复变函数与复变函数sXsX（s s）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。初值定理初值定理和终值定理和终值定理若存在，且有则有终值定理终值定理的证明的证明出发点：微分定
22、理、拉氏变换定义有终值定理应用：应用：稳态误差计算第24页，此课件共67页哦三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理关于卷积的说明：关于卷积的说明：关于卷积的说明：关于卷积的说明：卷卷积积h(t)h(t)是是时时间间函函数数f()f()与与时时间间倒倒置置函函数数g(t-)g(t-)相相乘乘后后求求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律和分配律。积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律和分配律。卷积定理卷积定理卷积的数学定义符号表示性质：卷积定理若则第25页，此课件共67页哦四四 拉氏逆变换及其求法拉氏逆变换及其求法逆变换已知F(s),求f(t)的数学过程2.部分分式法将F(s)分解成标准形式
23、的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。定义查表法注意综合应用拉氏变换的性质定理。第26页，此课件共67页哦基本步骤基本步骤根据多项式定理求F(s)的极点根据分项分式法，将F(s)展成部分分式求出待定系数ci（复变函数中的留数）F(s)的极点：使F(s)=的s值 F(s)的 零 点：使F(s)=0的s值查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换在复变函数中ci称为s=pi极点处的留数。第27页，此课件共67页哦待定系数的求法待定系数的求法 简易计算式：简易计算式：由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：简单极点求ci的步骤：用s+pi乘上式两边，
24、两边取极限令第28页，此课件共67页哦 简单极点求待定系数举例简单极点求待定系数举例指数衰减曲线指数衰减曲线注注意意：F(s)F(s)具具有有负负实实部部极极点点2 2，3 3，当当tt时时，使使f(t)0,f(t)0,且且e e比比e e衰减得更快！衰减得更快！举例：解：有极点：第29页，此课件共67页哦共轭复数极点待定系数共轭复数极点待定系数的求法的求法 共轭复数极点有两种解法分解成如下形式，令复数相等有：采用简单极点求法可求得举例：解：第30页，此课件共67页哦共轭复数极点共轭复数极点求求待定系数举例待定系数举例求：解得：此外，解得：注意：极点的实部为指数函数的幂，决定衰减的快慢；极点的
25、虚部在正弦、余弦函数中，决定振荡的频率。第31页，此课件共67页哦五五 用拉氏变换求解运动微分方程用拉氏变换求解运动微分方程 显然，用拉氏变换求解系统运动微分方程，首先必须求得系统的极点。在无计算机的年代是困难的，但是，人类总能找到解决问题的办法。步骤将微分方程拉氏变换为s的代数方程；求出系统输出的复域解；拉氏反变换得系统输出得时域解。第32页，此课件共67页哦2.3 动态系统的传递函数(transfer function)(transfer function)用系统的外部特征来揭示系统的内部特性。通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数基本思想功能输入输出动物习性的研
26、究人体器官检查人们的思想品质控制论中的黑箱理论第33页，此课件共67页哦一 传递函数概念可以用可以用方块图方块图来表示一个具有传递函数来表示一个具有传递函数G(s)G(s)的线性系统。的线性系统。线性定常(LTI)系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。例如：在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为按传递函数定义，有系统输出响应：即图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。第34页，此课件共67页哦二 传递函数的零点(zero)(zero)和极点(pole)(pole)注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构注意：
27、传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点、极点决定系统性能。参数。零点、极点决定系统性能。传递函数的零点传递函数的极点传递函数分子多项式等于零的根传递函数分母（特征）多项式(eigenpolynomial)等于零的根零点与输入作用位置及输入信号性质有关极点就是系统特征根(eigenvalue/root)，它们决定了系统的动态性能第35页，此课件共67页哦三三 传递函数的性质传递函数的性质传递函数一般只能描述线性定常系统动态特性。零、极点分布决定了系统的动态过程。传递函数通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统的外部特征来揭示系统的内部特性。传递函数是系统在复数
28、域中的数学模型，它与微分方程有相通性。分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。所有系数均为实数。（nm）传递函数不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的传递函数。传递函数的量纲取决于系统输入与输出的量纲。第36页，此课件共67页哦四四 传递函数的表示形式传递函数的表示形式输入输入输出模型输出模型零零极点模型极点模型 典型环节模型典型环节模型分母
29、称为系统的特征多项式分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式零、极点只能取0、实数和复数（必共轭）值，因此，传递函数还可以写成典型环节乘积的形式。第37页，此课件共67页哦用Matlab实现传递函数模型转换例1将输入-输出模型化为零、极点模型根据Matlab运行结果，可得零、极点及增益，从而得到零、极点模型。注：分母denominator分子numerator第38页，此课件共67页哦用Matlab实现传递函数模型转换例2将典型环节模型化为输入-输出模型第39页，此课件共67页哦用Matlab实现传递函数模型转换（例题结果）例1的结果：例2的结果：其它转换请自己查阅有关书籍。第40
30、页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例比例(proportional)(proportional)环节环节方程形式：方程形式：，K K放大系数、增益。放大系数、增益。传递函数：传递函数：，静态关系，静态系统。，静态关系，静态系统。实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。第41页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数惯性环节惯性环节，时间常数，描述系统惯性；时间常数，描述系统惯性；极点：极点：举例
31、 响应分析：响应分析：有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。第42页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节 有有两两个个独独立立的的蓄蓄能能元元件件，由由于于阻阻尼尼比比小小于于1 1，因因此此，存在能量（信息）的交换，产生振荡存在能量（信息）的交换，产生振荡(oscillation)(oscillation)。无阻尼自然振荡频率(naturefrequency)实际阻尼/临界阻尼，称为阻尼比(dampingratio)第43页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节2 2 2 2实例：
32、机床进给系统定义时的阻尼系数为临界阻尼系数当0时，为简谐振动特征方程：原方程为：有特征方程：特征根为：阻尼比为：原方程可写成：固有频率：第44页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数积分环节积分环节，或，或输出正比于输入对时间的积分。输出正比于输入对时间的积分。因因为为系系统统存存在在死死区区、不不灵灵敏敏区区等等原原因因，偏偏差差信信号号很很小小时时，系系统统无无调调节节作作用用，实实际际输输出出与与期期望望输输出出误误差差较较大大，影影响响控控制制精精度度。通通过过积积分分环环节节的的作作用用，逐逐渐渐积积累累，当当偏偏差差超超过过死死区区后后，使使系系统统
33、产产生生调调节节作作用用，使使实实际际输输出出尽尽量量接接近近期期望望输输出出，从从而而提高了控制精度。提高了控制精度。积分环节有记忆功能，输入突然除去，积分停止，输出维持不变。用于改善系统的稳态性能，即降低稳态误差，提高控制精度。第45页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数微分环节微分环节 微微分分环环节节使使系系统统输输出出提提前前，具具有有预预报报功功能能，输输出出预预示示了了输输入入信信号号的的变变化化趋趋势势。微微分分环环节节还还可可以以增增大大系系统统阻尼，用于改善系统的动态特性。阻尼，用于改善系统的动态特性。输出正比于输入的一阶导数ui(t)uo
34、(t)RC第46页，此课件共67页哦2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数延迟环节延迟环节小小结结：1 1、元元件件是是按按功功能能分分类类的的，而而环环节节是是按按传传递递函函数数的的形形式式分分类类的的；一一个个元元件件可可以以是是一一个个环环节节，也也可可以以分分为为几几个个环环节节，也也可可能能几几个个元元件件构构成成一一个个环环节节。2 2、环环节节的的传传递递函函数数形形式式是是不不变变的的；当当选选择择的的输输入入、输输出出不不同同时时，相相同同元元件件组组合合的的传传递递函函数数形形式式可可能不同。能不同。第47页，此课件共67页哦2.5 2.5 传递函数的求取方
35、法传递函数的求取方法传递函数的求取方法解析法：1.按因果关系写出各元件的微分方程;2.将各微分方程进行拉氏变换,变成代数方程;3.消去中间变量,得输出输入关系式。图解法1.2.步骤同解析法;3.按因果关系绘出各代数方程的函数方块图;4.按信号关系连接各函数方块图得系统方块图;5.用等效变换法则,简化方块图得系统传递函数。第48页，此课件共67页哦一一 求取系统传递函数的解析法 1 1第49页，此课件共67页哦一一 求取系统传递函数的解析法 2 2拉氏变换拉氏变换消去中间变量可求得分别消去中间变量可求得分别以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电机转角为输
36、出的两个传递函数：以电机转角为输出的两个传递函数：输出：电机转角直流电机特性方程：主令输入：电枢电压u扰动输入：负载转矩ml假设电枢反应可忽略不计，电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传动轴可认为是刚性轴，电动机电枢回路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。：电动机的机电时间常数：电动机的电磁时间常数：电枢电压作用系数，rad/（V.s）：负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)第50页，此课件共67页哦二 求取系统传递函数的图解法系统方块图绘制方法运算法则等效变换方块图简化求传递函数基本结构方块图功用描述信号传递变换过程第51页，此课件共67页哦方块图的基本
37、结构要素第52页，此课件共67页哦系统方块图的绘制方法第53页，此课件共67页哦系统方块图的绘制方法关键：明确因果关系；按信号流向连接第54页，此课件共67页哦方块图的运算法则串联并联反馈第55页，此课件共67页哦方块图等效变换法则求和点前移求和点前移求和点后移求和点后移引出点后移引出点后移引出点前移第56页，此课件共67页哦简化方块图求传递函数系统方块图移动相加点或引出点方块图运算系统传递函数注意：方块图简化路径非唯一，但总有最简单的方法。第57页，此课件共67页哦方块图的作用方块图的作用 能能描描述述系系统统的的工工作作原原理理；便便于于研研究究每每个个环环节节对对系系统统性性能的影响；能
38、的影响；能能直直观观地地反反映映系系统统中中信信号号传传递递、转转换换的的过过程程和和信信号号之间的关系；之间的关系；通通过过方方块块图图运运算算和和等等效效变变换换，可可以以简简化化方方块块图图，从从而而能够方便地求出系统中任意两个信号之间的传递函数。能够方便地求出系统中任意两个信号之间的传递函数。局限性局限性：对于复杂系统，框图的简化过程繁杂，易出错。：对于复杂系统，框图的简化过程繁杂，易出错。第58页，此课件共67页哦2.6 信号流图与信号流图与Mason公式公式Signal flow diagramsareprimarilyanalternativepictoria1represent
39、ationtoblockdiagrams.Allsignals(variables)arerepresentedbydots,callednodes(节点）,relatedvariablesbeingjoinedbylinescalleddirected branches（支路）.Eachbranchhasanassociatedtransmittance（增益，传递率）,Tjk,whichlinksnodejtonodekwithzerotransmittancefromktoj,i.e.transmittanceisunidirectionalandisindicatedbyanarrow
40、.Apathfromasourcetoasinknode,withoutpassingthroughanyothernodemorethanonce,iscalledanopenora forward path（开路、前向通道）.Aclosed(feedback)pathiscalledaloop（回路）.Theproductofthetransmittancesofthebranchesformingaloopiscalledtheloop transmittance（回路增益）.Concepts第59页，此课件共67页哦2.6 信号流图与信号流图与Mason公式公式(2)Highlight
41、s:Thesignalatanodeisequaltothesumofallsignalstransmittedtothenode,i.e.anodewithmorethanoneinputisasummingpoint.Thetransmittancesaresimplyrelatedtothetransferfunctions.Thetransmittancemaybenegative.Thetransmittancesconnectedtheinput/outputnodes(source/sink nodes)arebothunity,andmerelyhelpmakethediagr
42、amclearer.第60页，此课件共67页哦Manipulating Rules of SFDs(a)Seriespaths(b)Parallelpaths(c)Feedbackloop(d)Eliminationofanode第61页，此课件共67页哦Masons Gain Formula Nettransmittancefromasourcetoasinknode,T,isgivenby:lopenpathsbetweenthesourceandsinknodesunderconsideration.=1(sumofall1ooptransmittances)+(sumofproduct
43、soflooptransmittancesofallpossiblenon-touchingloopstakeninpairs)(sumofsimilarproductstakenthreeatatime+etc.k=valueofcalculatedforthatpartofthegraphnottouchingthekthopenpath.Tk=transmittanceofthekthforwardpath.第62页，此课件共67页哦ApplicationsForFig.(a)Twoopenpaths:(1)(1)x x1 1-x-x3 3-x-x4 4-x-x5 5-x-x6 6-x-
44、x2 2,T T1 1=G G1 1G G2 2G G3 3(2)(2)x x1 1-x x3 3-x x5 5-x x6 6-x x2 2,T T2 2=G G3 3 oneloop：x5-x6-x5,Ta=G3HNonon-touchingfeedbackloopsandthelooptouchesbothopenpaths，HENCE=1Ta=l+G3H1=1,2=l第63页，此课件共67页哦2.7 控制系统的传递函数传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数G(s)G(s)：输出量：输出量Y(s)Y(s)与作用误差信号与作用误差信号E(s)E(s)之比；之比；反馈通道传递函数反馈通道传递
45、函数H(s)H(s)：反馈信号：反馈信号B(s)B(s)与输出量与输出量Y(s)Y(s)之比；之比；系统开环传递函数定义：反馈信号B(s)与作用误差信号E(s)之比；用Gk(s)、G(s)H(s)等表示。开环增益开环放大系数开环传递函数G(s)H(s)中积分环节的个数重要问题：开环增益对系统动态、稳态性能的影响！第64页，此课件共67页哦2.7 控制系统的传递函数传递函数控制输入作用下的闭环传递函数3.扰动输入作用下的闭环传递函数4.控制输入作用下的误差(偏差)传递函数5.扰动输入作用下的误差(偏差)传递函数第65页，此课件共67页哦关于系统传递函数的重要结论关于系统传递函数的重要结论控制系统
46、的四个闭环传递函数均具有相同的特征多项式函数，因此，这些闭环传递函数的极点相同。系统极点即特征根不变，即系统固有特性不变，它与输入、输出信号的形式、位置均无关。这就是说，系统的极点与外部输入信号的形式和在系统中的作用位置无关，同时也和输出信号的形式以及取出输出信号的位置无关。四个传递函数的分子各不相同，且与前向通道上的传递函数有关。因此闭环传递函数分子随着输入的作用点和输出量的引出点不同而不同。显然，同一外作用加在系统不同的位置上，系统的响应是不同的，但决不会改变系统的固有特性。闭环系统的闭环极点数与闭环系统的开环极点数相同。闭环特征多项式与开环特征多项式仅相差实数1。注意：用叠加原理即可求得系统的总输出和总误差。第66页，此课件共67页哦请各位同学对本人的教学工作请各位同学对本人的教学工作提出具体意见和要求！提出具体意见和要求！电话:15927074493 Email:第67页，此课件共67页哦