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1、控制工程基础数学模型数数学学模模型型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作作用用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、合理的系统的数学模型是关键性的步骤。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。外部模型外部模型也称为输入输出模型。它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。内部模型内部模型也称为状态变量描述法。它不仅可以给出系统的
2、响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。建模基本方法：建模基本方法：解析法和实验法。数学模型的形式微分方程（组）传递函数（阵）频率特性L变换变换L L反变换反变换s=js=j 时间响应变量状态图方框图，信号流图Nyquist图，Bode图等2.1系统运动微分方程的建立（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；（3）如有必要，对非线性表
3、达式进行线性化处理；（4）消去中间变量，得到输出输入关系式；（5）整理成规范形式。二步骤：步骤：一依据：依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论举例1：机械平移动力学系统在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块，影响输入fi(t)的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t
4、)与位移xo(t)之间的关系。三举例机械平移动力学系统的模型方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，应有由阻尼器、弹簧的特性，可写出消去中间变量，写成规范形式此式为二阶常系数线性微分方程。举例2：电网络系统设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压uo(t)之间的关系。电路中的电流i(t)为中间变量。根据电压方程，可写出消去中间变量i(t)，稍加整理，即得上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。小结：物物理理本本质质不不同同的的系系统统，可可以
5、以有有相相同同的的数数学学模模型型。这样的系统称为相相似似系系统统。在相似系统的方程中，处于相同位置的物理量称为相相似似量量。从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法功能模拟方法的基础。同同一一数数学学模模型型可可以以描描述述物物理理性性质质完完全全不不同同的的系系统统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信信息息方方法法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。四小结 小结：在通常情
6、况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。五五 系统运动微分方程的一般形式系统运动微分方程的一般形式 特特征征方方程程的的根根称称为为特特征征根根，他他们们是是系系统统系系数数的的组组合合。N阶系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（
7、必共扼成对出现）。系统特征根决定了系统的性能系统特征根决定了系统的性能!注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。齐次方程为特征方程为六 建立动态方程时应注意的问题变量形式的选取问题系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。负载效应问题由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响，有如加上了一个负载对前一环
8、节产生影响，这种影响称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特非线性特性分为本质非线性和非本质非线性。性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是所谓线性化就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处
9、理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。非线性模型的线性化问题七线性系统的叠加原理(PrincipleofSuperposition)(PrincipleofSuperposition)线性系统的线性性质：均匀性、叠加性线性系统的线性性质：均匀性、叠加性用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线线性性系系统统的的重重要要性性质质是是可可以以应应用用叠叠加加原原理理。叠叠加加原原理理有有两两重重含含义义：均均匀匀性性（齐齐次次性性）和和可可叠叠加加性性。这个原理是说，多个输入同时作用
10、于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数运算。一一 拉氏变换的
11、定义拉氏变换的定义拉氏变换的实质时间函数复变量s的复变函数拉氏变换的定义拉氏变换的定义二二 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 指数函数工程中极其重要的函数！有如下性质指数函数的拉氏变换拉氏变换是线性变换拉氏变换是线性变换它的微分、积分与其自身成比例阶跃函数 斜坡函数和加速度函数斜坡函数和加速度函数斜坡函数阶跃函数的积分！加速度函数（速度函数的积分）复数域中为乘1/s，或说除以s时域中的积分运算 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换欧拉公式和谐波函数的拉氏变换谐波函数的拉氏变换欧拉公式三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理注意：时，函数线性定理微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）延迟定理平移
12、函数、延迟函数对于函数函数称为延迟函数，函数本身并不发生改变，只是延迟时间才发生。延迟定理若则有延迟函数的拉氏变换原函数的拉氏变换乘以例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换脉动函数它是正负阶跃函数的叠加：脉动函数的拉氏变换：脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数及其拉氏变换脉冲函数：脉动函数的极限，t0看作变量。定义：显然单位脉冲（Dirac）面积为1的脉冲函数结论：结论：脉冲函数是面积函数；脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。关于单位脉冲函数的说明关于单位脉冲函数的说明单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函数间断点处求导数的问
13、题。单位脉冲函数就是单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1；采样性质：时域里的脉冲复数域中的常数三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理位移定理位移定理设则有的拉氏变换，有以（s+）去替换s的效果。可按拉氏变换定义证明之。举例如则三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理初初值值定定理理表明时间函数在原点的性质与sF（s）在复数域无穷远处的性质一致；终终值值定定理理则表明，时间函数在时间无穷远点的性质与sF（s）在复数域原点处的性质一致。即建立了时间函数在无穷远点（原点）与复变函数sX（s）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。初值定理初值
14、定理和终值定理和终值定理若存在，且有则有终值定理终值定理的证明的证明出发点：微分定理、拉氏变换定义有终值定理应用：应用：稳态误差计算三三 拉氏变换性质定理拉氏变换性质定理关于卷积的说明：关于卷积的说明：卷积h(t)是时间函数f()与时间倒置函数g(t-)相乘后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律和分配律。卷积定理卷积定理卷积的数学定义符号表示性质：卷积定理若则四四 拉氏逆变换及其求法拉氏逆变换及其求法逆变换已知F(s),求f(t)的数学过程2.部分分式法将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。定义查表法注意综合应用拉氏变换的性质定理。基本步骤
15、基本步骤根据多项式定理求F(s)的极点根据分项分式法，将F(s)展成部分分式求出待定系数ci（复变函数中的留数）F(s)的极点：使F(s)=的s值 F(s)的零点：使F(s)=0的s值查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换在复变函数中ci称为s=pi极点处的留数。待定系数的求法待定系数的求法 简易计算式：由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极点、重极点，故需分别讨论：简单极点求ci的步骤：用s+pi乘上式两边，两边取极限令 简单极点求待定系数举例简单极点求待定系数举例指数衰减曲线注意：F(s)具有负实部极点2，3，当t时，使f(t)0,且e比e衰减得更快！举例：解：有极点：共轭复数极点待
16、定系数共轭复数极点待定系数的求法的求法 共轭复数极点有两种解法分解成如下形式，令复数相等有：采用简单极点求法可求得举例：解：共轭复数极点共轭复数极点求求待定系数举例待定系数举例求：解得：此外，解得：注意：极点的实部为指数函数的幂，决定衰减的快慢；极点的虚部在正弦、余弦函数中，决定振荡的频率。五五 用拉氏变换求解运动微分方程用拉氏变换求解运动微分方程 显然，用拉氏变换求解系统运动微分方程，首先必须求得系统的极点。在无计算机的年代是困难的，但是，人类总能找到解决问题的办法。步骤将微分方程拉氏变换为s的代数方程；求出系统输出的复域解；拉氏反变换得系统输出得时域解。2.3 动态系统的传递函数(tran
17、sfer function)(transfer function)用系统的外部特征来揭示系统的内部特性。通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数基本思想功能输入输出动物习性的研究人体器官检查人们的思想品质控制论中的黑箱理论一 传递函数概念可以用方块图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统。线性定常(LTI)系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。例如：在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为按传递函数定义，有系统输出响应：即图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。传递函数由此得名。二 传递函数的零点(zero)
18、(zero)和极点(pole)(pole)注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点、极点决定系统性能。的结构参数。零点、极点决定系统性能。传递函数的零点传递函数的极点传递函数分子多项式传递函数分子多项式等于零的根等于零的根传递函数分母（特征）多项传递函数分母（特征）多项式式(eigenpolynomial)(eigenpolynomial)等于零等于零的根的根零点与输入作用位置及输入信号性质有关极点就是系统特征根(eigenvalue/root)，它们决定了系统的动态性能三三 传递函数的性质传递函数的性质传递函数一般只能描述线性定常系统动
19、态特性。零、极点分布决定了系统的动态过程。传递函数通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统的外部特征来揭示系统的内部特性。传递函数是系统在复数域中的数学模型，它与微分方程有相通性。分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。传递函数传递函数是复变量是复变量ss的有理真分式函数，具有复变函数的的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。所有系数均为实数。所有性质。所有系数均为实数。（nnmm
20、）传递函数传递函数不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的传递函数。传递函数。传递函数的量纲取决于系统输入与输出的量纲。四四 传递函数的表示形式传递函数的表示形式输入输入输出模型输出模型零零极点模型极点模型 典型环节模型典型环节模型分母称为系统的特征多项式分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式零、极点只能取0、实数和复数（必共轭）值，因此，传递函数还可以写成典型环节乘积的形式。用Matlab实现传递函数模型转换例1将输入-输出模型化为零、极点模型根据Matlab运行结果，可得零、极点及增益，从而得到零、极点模型。注：分母denomi
21、nator分子numerator用Matlab实现传递函数模型转换例2将典型环节模型化为输入-输出模型用Matlab实现传递函数模型转换（例题结果）例1的结果：例2的结果：其它转换请自己查阅有关书籍。2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例比例(proportional)(proportional)环节环节方程形式：，K放大系数、增益。传递函数：，静态关系，静态系统。实例：运算放大器，分压电路，齿轮传动比，油缸。特点：输出以一定比例复现输入，静态关系。2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数惯性环节惯性环节，时间常数，描述系统惯性；极点：举例响应分析：有一个蓄能元件
22、，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节有两个独立的蓄能元件，由于阻尼比小于1，因此，存在能量（信息）的交换，产生振荡(oscillation)。无阻尼自然振荡频率(naturefrequency)实际阻尼/临界阻尼，称为阻尼比(dampingratio)2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数振荡环节振荡环节2 2 2 2实例：机床进给系统定义时的阻尼系数为临界阻尼系数当0时，为简谐振动特征方程：原方程为：有特征方程：特征根为：阻尼比为：原方程可写成：固有频率：2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数积
23、分环节积分环节，或输出正比于输入对时间的积分。因因为为系系统统存存在在死死区区、不不灵灵敏敏区区等等原原因因，偏偏差差信信号号很很小小时时，系系统统无无调调节节作作用用，实实际际输输出出与与期期望望输输出出误误差差较较大大，影影响响控控制制精精度度。通通过过积积分分环环节节的的作作用用，逐逐渐渐积积累累，当当偏偏差差超超过过死死区区后后，使使系系统统产产生生调调节节作作用用，使使实实际际输输出出尽尽量接近期望输出，从而提高了控制精度。量接近期望输出，从而提高了控制精度。积分环节有记忆功能，输入突然除去，积分停止，输出维持不变。用于改善系统的稳态性能，即降低稳态误差，提高控制精度。2.4 2.4
24、 典型环节的传递函数典型环节的传递函数微分环节微分环节微分环节使系统输出提前，具有预报功能，输出预示了输入信号的变化趋势。微分环节还可以增大系统阻尼，用于改善系统的动态特性。输出正比于输入的一阶导数ui(t)uo(t)RC2.4 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数延迟环节延迟环节小结：1、元件是按功能分类的，而环节是按传递函数的形式分类的；一个元件可以是一个环节，也可以分为几个环节，也可能几个元件构成一个环节。2、环节的传递函数形式是不变的；当选择的输入、输出不同时，相同元件组合的传递函数形式可能不同。2.5 2.5 传递函数的求取方法传递函数的求取方法传递函数的求取方法解析法：1.
25、按因果关系写出各元件的微分方程;2.将各微分方程进行拉氏变换,变成代数方程;3.消去中间变量,得输出输入关系式。图解法图解法1.2.1.2.步骤同解析法步骤同解析法;3.3.按因果关系绘出各代数方程的函数方块图按因果关系绘出各代数方程的函数方块图;4.4.按信号关系连接各函数方块图得系统方块图按信号关系连接各函数方块图得系统方块图;5.5.用等效变换法则用等效变换法则,简化方块图得系统传递函数。简化方块图得系统传递函数。一一 求取系统传递函数的解析法 1 1一一 求取系统传递函数的解析法 2 2拉氏变换消去中间变量可求得分别以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入，而以电机转角为输出的两个传递函数：
26、输出：电机转角直流电机特性方程：主令输入：电枢电压u扰动输入：负载转矩ml假设电枢反应可忽略不计，电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传动轴可认为是刚性轴，电动机电枢回路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。：电动机的机电时间常数：电动机的电磁时间常数：电枢电压作用系数，rad/（V.s）：负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)二 求取系统传递函数的图解法系统方块图绘制方法运算法则等效变换方块图简化求传递函数基本结构方块图功用描述信号传递变换过程方块图的基本结构要素系统方块图的绘制方法系统方块图的绘制方法关键：明确因果关系；按信号流向连接方块图的运算法则串联
27、并联反馈方块图等效变换法则求和点前移求和点前移求和点后移求和点后移引出点后移引出点后移引出点前移简化方块图求传递函数系统方块图移动相加点或引出点方块图运算系统传递函数注意：方块图简化路径非唯一，但总有最简单的方法。方块图的作用方块图的作用能描述系统的工作原理；便于研究每个环节对系统性能的影响；能直观地反映系统中信号传递、转换的过程和信号之间的关系；通过方块图运算和等效变换，可以简化方块图，从而能够方便地求出系统中任意两个信号之间的传递函数。局限性：对于复杂系统，框图的简化过程繁杂，易出错。2.6 信号流图与信号流图与Mason公式公式Signal flow diagramsareprimari
28、lyanalternativepictoria1representationtoblockdiagrams.Allsignals(variables)arerepresentedbydots,callednodes(节点）,relatedvariablesbeingjoinedbylinescalleddirected branches（支路）.Eachbranchhasanassociatedtransmittance（增益，传递率）,Tjk,whichlinksnodejtonodekwithzerotransmittancefromktoj,i.e.transmittanceisunid
29、irectionalandisindicatedbyanarrow.Apathfromasourcetoasinknode,withoutpassingthroughanyothernodemorethanonce,iscalledanopenora forward path（开路、前向通道）.Aclosed(feedback)pathiscalledaloop（回路）.Theproductofthetransmittancesofthebranchesformingaloopiscalledtheloop transmittance（回路增益）.Concepts2.6 信号流图与信号流图与M
30、ason公式公式(2)Highlights:Thesignalatanodeisequaltothesumofallsignalstransmittedtothenode,i.e.anodewithmorethanoneinputisasummingpoint.Thetransmittancesaresimplyrelatedtothetransferfunctions.Thetransmittancemaybenegative.Thetransmittancesconnectedtheinput/outputnodes(source/sink nodes)arebothunity,andme
31、relyhelpmakethediagramclearer.Manipulating Rules of SFDs(a)Seriespaths(b)Parallelpaths(c)Feedbackloop(d)EliminationofanodeMasons Gain Formula Nettransmittancefromasourcetoasinknode,T,isgivenby:lopenpathsbetweenthesourceandsinknodesunderconsideration.=1(sumofall1ooptransmittances)+(sumofproductsofloo
32、ptransmittancesofallpossiblenon-touchingloopstakeninpairs)(sumofsimilarproductstakenthreeatatime+etc.k=valueofcalculatedforthatpartofthegraphnottouchingthekthopenpath.Tk=transmittanceofthekthforwardpath.ApplicationsForFig.(a)Twoopenpaths:(1)x1-x3-x4-x5-x6-x2,T1=G1G2G3(2)x1-x3-x5-x6-x2,T2=G3oneloop：x
33、5-x6-x5,Ta=G3HNonon-touchingfeedbackloopsandthelooptouchesbothopenpaths，HENCE=1Ta=l+G3H1=1,2=l2.7 控制系统的传递函数传递函数前向通道传递函数G(s)：输出量Y(s)与作用误差信号E(s)之比；反馈通道传递函数H(s)：反馈信号B(s)与输出量Y(s)之比；系统开环传递函数定义：反馈信号B(s)与作用误差信号E(s)之比；用Gk(s)、G(s)H(s)等表示。开环增益开环放大系数开环传递函数G(s)H(s)中积分环节的个数重要问题：开环增益对系统动态、稳态性能的影响！2.7 控制系统的传递函数传递函
34、数控制输入作用下的闭环传递函数3.扰动输入作用下的闭环传递函数4.控制输入作用下的误差(偏差)传递函数5.扰动输入作用下的误差(偏差)传递函数关于系统传递函数的重要结论关于系统传递函数的重要结论控制系统的四个闭环传递函数控制系统的四个闭环传递函数均具有相同的特征多项式函数，均具有相同的特征多项式函数，因此，这些闭环传递函数的极点因此，这些闭环传递函数的极点相同。相同。系统极点即特征根不变，即系系统极点即特征根不变，即系统固有特性不变，它与输入、输统固有特性不变，它与输入、输出信号的形式、位置均无关。这出信号的形式、位置均无关。这就是说，系统的极点与外部输入就是说，系统的极点与外部输入信号的形式
35、和在系统中的作用位信号的形式和在系统中的作用位置无关，同时也和输出信号的形置无关，同时也和输出信号的形式以及取出输出信号的位置无关。式以及取出输出信号的位置无关。四个传递函数的分子各不相同，且与前向通道上的传递函数有关。因此闭环传递函数分子随着输入的作用点和输出量的引出点不同而不同。显然，同一外作用加在系统不同的位置上，系统的响应是不同的，但决不会改变系统的固有特性。闭环系统的闭环极点数与闭环系统的开环极点数相同。闭环特征多项式与开环特征多项式仅相差实数1。注意：用叠加原理即可求得系统的总输出和总误差。请各位同学对本人的教学工作请各位同学对本人的教学工作提出具体意见和要求！提出具体意见和要求！