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1、工程力学 截面的几何性质2022/12/31你现在浏览的是第一页，共29页 A A-1 -1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心一、截面的静矩和形心一、截面的静矩和形心1.1.基本概念基本概念OxdAyyxC微面积对微面积对y轴的静矩轴的静矩微面积对微面积对x轴的静矩轴的静矩整个平面图形对整个平面图形对y轴的静矩轴的静矩整个平面图形对整个平面图形对x轴的静矩轴的静矩常用单位：常用单位：m3 或mm3。数数 值：值：可为正、负或 0。2022/12/32你现在浏览的是第二页，共29页2.2.形心坐标公式形心坐标公式3.3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系推论：截面对形心轴的静矩恒为推论：截
2、面对形心轴的静矩恒为0 0，反之，亦然。，反之，亦然。2022/12/33你现在浏览的是第三页，共29页1.1.组合截面的静矩组合截面的静矩 根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：即：二、组合截面的静矩和形心二、组合截面的静矩和形心2022/12/34你现在浏览的是第四页，共29页组合截面静矩组合截面静矩组合截面面积组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：组合截面的形心坐标公式为：2.2.组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式2022/12/35你现在浏览的
3、是第五页，共29页例例A-1 试计算图示三角形截面对试计算图示三角形截面对于与其底边重合的于与其底边重合的x轴的静矩。轴的静矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为Ozyb(z)yd yhb2022/12/36你现在浏览的是第六页，共29页例例A-2 试计算图示截面形心试计算图示截面形心C的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为1、2两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy112010 xx8010yC(y,x)矩形矩形I矩形矩形II2022/12/37你现在浏览
4、的是第七页，共29页代入组合截面的形心坐标公式代入组合截面的形心坐标公式解得：解得：2022/12/38你现在浏览的是第八页，共29页设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)所以所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OzyyzdA A-2 A-2 截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积截面的极惯性矩、惯性矩、
5、惯性积 2022/12/39你现在浏览的是第九页，共29页3.惯性积惯性积（其值可为正、负或（其值可为正、负或0，单位单位:m4 或或 mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0 0。结论：结论：4.4.惯性半径惯性半径（单位（单位m 或或 mm）OzyyzdA2022/12/310你现在浏览的是第十页，共29页5.主惯性轴主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积的惯性积 =0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。7.形心主惯性轴形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主
6、惯性轴。过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。心主惯性轴。8.形心主惯性矩形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。矩称为形心主惯性矩。6.主惯性矩主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。矩。推论：推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。图形的主惯性轴。2022/12/311你现在浏览的是第十一页，共29页例例A-3 A-3
7、 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）轴）x和和y的惯性矩。的惯性矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy同理同理yhCx dyyb(a)2022/12/312你现在浏览的是第十二页，共29页 若截面是高度为若截面是高度为h的平行四的平行四边形（图边形（图b），则其对形心轴），则其对形心轴x 的的惯性矩惯性矩同样为同样为hxyb(b)C2022/12/313你现在浏览的是第十三页，共29页例例A-4 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。惯性矩。zDyyz解
8、：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，所以所以所以所以2022/12/314你现在浏览的是第十四页，共29页A A-3 -3 平行移轴公式平行移轴公式1.1.平行移轴公式推导平行移轴公式推导 左图是一面积为左图是一面积为A A的任意形状的任意形状的平面，的平面，c为其形心，为其形心，yc，zc为形心为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为行的任意坐标轴为xy,形心形心c在在oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a,b)任任意意微微面面元元d dA A在在两两坐坐标标系系下下的坐标关系为：的坐标关系为：aycyzczCObdAzcycyx202
9、2/12/315你现在浏览的是第十五页，共29页同理，有：同理，有：注：注：式中的式中的a a、b b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。2022/12/316你现在浏览的是第十六页，共29页例例A-5A-5：求图示直径为：求图示直径为d d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴Z Zc c的惯性矩。的惯性矩。（1 1）求形心坐标）求形心坐标解：解：zyb(y)ycCdzcy（2 2）求对形心轴）求对形心轴x xc c的惯性矩的惯性矩由平行移轴公式得：2022/12/317你现在浏览的是第十七页，共29页思思考考题题A-1A-1：O O为为直直角角三三角角形形ABDABD
10、斜斜边边上上的的中中点点，y y、z z轴轴为为过过点点且且分分别别平平行行于于两两条条直直角角边边的的两两根根轴轴，关关于于惯惯性性积积和和惯惯性性矩矩有有四四种种答答案案(已知已知b b a a)：（A）Iyz （B）Iyz (C)Iyz=（D）Iz=IyzABDyOab（思考题A-1）思考题思考题A-2：等腰直角三角形如图所示，等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过斜边中点的任意轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），该图形的:(1)惯性积惯性积Iyz (2)惯性矩惯性矩Iz、Iy。yzaa（思考题A-2）目录目录2022/12/318你现
11、在浏览的是第十八页，共29页一、转轴公式一、转轴公式 任意面元任意面元d dA A 在旧坐标系在旧坐标系ozyozy和新坐标系和新坐标系ozoz1 1y y1 1的关系为：的关系为：代入惯性矩的定义式：代入惯性矩的定义式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11A A-4-4 转轴公式转轴公式、截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩2022/12/319你现在浏览的是第十九页，共29页 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式：2022/12/320你现在浏览的是第二十页，共29页注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴z至新轴至新轴
12、z1逆时针逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得2022/12/321你现在浏览的是第二十一页，共29页 由由惯惯性性积积的的转转轴轴公公式式可可知知，当当坐坐标标轴轴旋旋转转时时，惯惯性性积积将将随随着着 角角作作周周期期性性变变化化，且且有有正正有有负负。因因此此，必必有有一一特特定定的的角角度度 0，使使截截面面对对于于新新坐坐标标
13、轴轴x0、y0的的惯惯性性积积等于零。等于零。二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。合时。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。2022/12/322你现在浏览的是第二十二页，共29页(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x
14、 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则由的角度，则由惯惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可改写为可改写为（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限）2022/12/323你现在浏览的是第二十三页，共29页(5)由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，再代后，再代入入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式，化简后可得，化简后可得主惯性矩的计算公式：主惯性矩的计算公式：极大值极大值Imax极小值极小值Imin2022/12/324你现在浏览的是第二十四页，共29页(6
15、)几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。2022/12/325你现在浏览的是第二十五页，共29页zyC10b10b40120a2080CCa 例：试计算截面的形心主例：试计算截面的形心主惯性矩。惯性
16、矩。解：作与上、左边平解：作与上、左边平行的形心坐标轴行的形心坐标轴xcyc。（1）求形心坐标：）求形心坐标：（2）求对自身形心轴的）求对自身形心轴的惯性矩。惯性矩。（3）由）由平行移轴公式平行移轴公式求整个截面的求整个截面的2022/12/326你现在浏览的是第二十六页，共29页xc0yc0a=113.8（4）由转轴公式得）由转轴公式得zyC10b10b40120a2080CCa 2022/12/327你现在浏览的是第二十七页，共29页 利用三角函数整理上式，得利用三角函数整理上式，得转轴公式转轴公式 ：同理得：同理得：2022/12/328你现在浏览的是第二十八页，共29页规定：规定：上式中的上式中的 的符号为：逆时针为正，顺时针为负。的符号为：逆时针为正，顺时针为负。即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。标原点的极惯性矩。将上述转轴公式中的前两式相加可得：将上述转轴公式中的前两式相加可得：讨论：讨论：2022/12/329你现在浏览的是第二十九页，共29页