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1、第2章 弹性力学的基本知识第1页，本讲稿共25页2.1弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念有限元的基本理论是建立在有限元的基本理论是建立在弹性力学有限单元法弹性力学有限单元法的基础上的基础上,在经典弹性力学的基本概念和基本方程上建立的。在经典弹性力学的基本概念和基本方程上建立的。第2页，本讲稿共25页研究对象研究对象材料力学材料力学研究杆件(如杆、梁、柱和轴)的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等。结构力学结构力学在材料力学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)。弹性力学弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生
2、的应力、形变和位移。杆系结构杆系结构研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。第3页，本讲稿共25页研究方法研究方法在区域在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，建立建立三套方程三套方程;在边界在边界s上考虑受力或约束条件，建立上考虑受力或约束条件，建立应力或应力或位移边界条件位移边界条件;并在边界条件下求解上述方程，得出较精确并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。的解答。也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设也考虑这几方面的条件，但不是十分严格
3、的：常常引用近似的计算假设（如平面（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。因此因此材料力学材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的结构。适用于杆件形状的结构。弹力研究方法弹力研究方法材力研究方法材力研究方法第4页，本讲稿共25页单元体的受力单元体的受力应力理论应力理论(平衡方程平衡方程)；单元体的变形单元体的变形变形几何理论变形几何理论(几何几何方程方程););单元体受力与变形间的关系单元体受力与变形间的关系本构
4、理论本构理论(物理方程物理方程)。建立建立起普遍起普遍适用的适用的理论与理论与解法。解法。在受力物体内在受力物体内任取一点任取一点（单元体）为（单元体）为研究对象。研究对象。弹塑性力学研究问题的基本方法弹塑性力学研究问题的基本方法 第5页，本讲稿共25页弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 （1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所占据的全部空间，不留下）连续性假设：假定物质充满了物体所占据的全部空间，不留下 任何空隙。这是连续介质力学（包括弹塑性力学）的一条基本任何空隙。这是连续介质力学（包括弹塑性力学）的一条基本 假设。假设。（2 2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。）均匀性假设：
5、假定物体内各点处材料均相同。（3 3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。(4)(4)完全弹性假设完全弹性假设:胡可定律胡可定律 （5 5）几何假设）几何假设小变形假设：小变形假设：变形产生的位移与物体的尺寸变形产生的位移与物体的尺寸相比相比 ,是微小的。是微小的。第6页，本讲稿共25页关于外力、应力、应变和位移的定义关于外力、应力、应变和位移的定义分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。有限元分析也使用集中力这一概念。1.外力外力（定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。（表示）以单位体积内所受的力来量度，P
6、x，Py，Pz（单位）力长度-3（符号）坐标正向为正。（定义）分布于物体表面上的力，如接触力，压力容器所受内压等。（表示）以单位面积所受的力来量度，qxqyqz（单位）力长度-2,Pa、MPa（符号）坐标正向为正。面力面力体力体力第7页，本讲稿共25页2.应力应力假想切开物体，截面两边互假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩相作用的力（合力和合力矩)，称为称为内力内力。应力：受力物体内某点某微应力：受力物体内某点某微截面上内力的分布集度。截面上内力的分布集度。A0第8页，本讲稿共25页（量纲）（量纲）力力长度长度-2 ,(表示）表示）xx面上沿面上沿x向正应力，向正应力，xyx面上沿
7、面上沿y向切应力。向切应力。（符号）应力成对出现，坐标面上的应（符号）应力成对出现，坐标面上的应力的方向以力的方向以正面正向，负面负向正面正向，负面负向为正。为正。根据剪应力互等定理知根据剪应力互等定理知共计六个独立的应力分量。应力列阵应力列阵一点的应力状态一点的应力状态围绕一点围绕一点p做出正六面体做出正六面体六个面：六个面：正面，负面正面，负面第9页，本讲稿共25页物体形状的改变可以用它各部分的长度改变和角度改变来表示。物体形状的改变可以用它各部分的长度改变和角度改变来表示。切应变切应变xy,yz,zx以直角减小为正以直角减小为正,用弧度表示。用弧度表示。3.应变应变正应变和切应变都是无因
8、次的量切应变都是无因次的量应变列阵应变列阵正应变正应变x，y，z以伸长为正。以伸长为正。在在P点沿点沿x、y、z三个正方向取微线段三个正方向取微线段PA、PB、PC。变形后，这三条。变形后，这三条线段的长度和它们之间的直角都会有所改变。线段的长度和它们之间的直角都会有所改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应正应变变和和 切（剪）应变切（剪）应变 来表示。来表示。第10页，本讲稿共25页4.位移位移刚性位移：刚性位移：反映物体整体位置的变动；反映物体整体位置的变动；变形位移：变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化。反映物体的形状和尺寸发生变化。研究物体在外力作
9、用下的变形规律，只需研究物体内各点的相研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。对位置变动情况，即研究变形位移。位移列阵位移列阵第11页，本讲稿共25页一、几何方程一、几何方程2.2弹性力学基本方程弹性力学基本方程应变分量和位移分量的关系应变分量和位移分量的关系第12页，本讲稿共25页二、物理方程二、物理方程若弹性体只有单向拉伸或压缩时若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料力学胡根据材料力学胡克定律克定律:X方向拉伸时方向拉伸时,y和和z方向必然伴随横向收缩方向必然伴随横向收缩,则则剪应力与对应的剪应变之比剪应力与对应的剪应变之比G、E和和的关系的关
10、系:第13页，本讲稿共25页在三维情况下在三维情况下,由应变求应力由应变求应力的方程的方程:第14页，本讲稿共25页写成矩阵形式写成矩阵形式:=简写为简写为:=D其中其中:D称为弹性矩阵称为弹性矩阵第15页，本讲稿共25页由应力求应变的弹性方程由应力求应变的弹性方程:第16页，本讲稿共25页写成矩阵形式写成矩阵形式:=显然显然:=D-1第17页，本讲稿共25页三、平衡方程三、平衡方程弹性体中任一点满足平衡方程弹性体中任一点满足平衡方程,在给定边界上满足在给定边界上满足应力边界条件。应力边界条件。第18页，本讲稿共25页由微分体的平衡条件，建立由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程平衡微分方程；由
11、微分线段上应变与位移的几何关系，建立由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程几何方程；由应力与形变之间的物理关系由应力与形变之间的物理关系,建立建立物理方程物理方程；在给定面力的边界在给定面力的边界S上，建立上，建立应力边界条件应力边界条件;在给定约束的边界在给定约束的边界Su上，建立上，建立位移边界条件。位移边界条件。弹力的研究方法弹力的研究方法在边界在边界S面上面上在边界条件下求解上述方程，在边界条件下求解上述方程，15个未知量，个未知量，15个方程，得出个方程，得出应力、应变和位移。应力、应变和位移。在体积在体积V内内第19页，本讲稿共25页2.3弹性力学的平面问题弹性力学的平面问
12、题弹性力学可分为空间问题和平面问题。弹性力学可分为空间问题和平面问题。当弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊外当弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊外力时，空间问题可能会近似地简化为平面问题。力时，空间问题可能会近似地简化为平面问题。这样处理，分析和计算的工作量会大大减少。这样处理，分析和计算的工作量会大大减少。平面问题可分为平面问题可分为平面应力问题平面应力问题和和平面应变问题平面应变问题。第20页，本讲稿共25页一、平面应力问题一、平面应力问题厚度远小于其他两方向尺寸的一等厚薄平板。厚度远小于其他两方向尺寸的一等厚薄平板。取平分厚度的平面（称为中面）作为取平分厚度的平面（称
13、为中面）作为xOy坐标面。坐标面。设在板面上不受任何外力，全部面力和体力都平行于中面，且沿厚度不变。设在板面上不受任何外力，全部面力和体力都平行于中面，且沿厚度不变。在平面应力问题中，虽有，但0第21页，本讲稿共25页二、平面应变问题二、平面应变问题设有一等截面的无限长柱体，其受力特点是所有面力和体力都平行设有一等截面的无限长柱体，其受力特点是所有面力和体力都平行于横截面，且沿其长度方向不变。于横截面，且沿其长度方向不变。若其端部因受约束而在若其端部因受约束而在z轴方向不能移动，则每个横截面上各轴方向不能移动，则每个横截面上各点点Z向位移分量向位移分量W均为零，且位移分量均为零，且位移分量u与与v仅是坐标仅是坐标x、y的函数。的函数。第22页，本讲稿共25页物理方程物理方程:FEM中应用的方程：中应用的方程：几何方程几何方程:其中其中D D为弹性矩阵，对于平面应力问题是为弹性矩阵，对于平面应力问题是:第23页，本讲稿共25页对于平面应变问题：将上式弹性矩阵中的对于平面应变问题：将上式弹性矩阵中的E E换成换成 换成换成第24页，本讲稿共25页平衡方程平衡方程8 8个未知量，个未知量，8 8个方程。个方程。第25页，本讲稿共25页