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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 如如果果所所分分析析的的弹弹性性体体具具有有某某种种特特殊殊的的形形状状、并并且且所所承承受受的的外外力力是是某某种种特特殊殊形形式式的的外外力力，那那么么就就可可以以把把空空间间问问题题简简化化为为相相对对简简单单的的典典型型弹弹性性力力学学问问题题进进行行求求解解。这这样样的的处处理理可可以以简简化化分分析析计计算算的的工工作作量量，且且所所获获得得的的结结果果仍仍然然能能够够满满足足工工程程上上的的精精度度要求。要求。第第2章章 弹性力学典型问题及其基本解法弹性力学典型问题及其基
2、本解法 本章首先对弹性力学的几个典型问题，包括本章首先对弹性力学的几个典型问题，包括平面问题平面问题、轴对、轴对称问题和板壳问题进行分析和讨论，进一步总结和归纳弹性力称问题和板壳问题进行分析和讨论，进一步总结和归纳弹性力学的一般解法，包括学的一般解法，包括位移法和应力法以及能量法位移法和应力法以及能量法。此外，还介。此外，还介绍了绍了机械结构强度与失效机械结构强度与失效的基本理论。的基本理论。平面问题平面问题弹性力学的基本解法弹性力学的基本解法强度失效准则强度失效准则1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 平面问题是工程实
3、际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题平面应力问题，另一类是平面应变问题平面应变问题。2.1 平面问题平面问题平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 平面应力问题平面应力问题的特征：（1）所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状）；（2）外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化；（3）在 z=t/2 处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图2-1所示。2.1.1 平面应力问题平面应力问
4、题图2-1 平面应力问题3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 在 z=t/2 处的两个外表面上的任何一点，都有z=zx=zy=0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的z、zx、yz 都等于零，而其余的三个应力分量x、y、xy 则都是x,y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。z=0？在平面应力状态下，由于z=zx=zy=0，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡微分方程平衡微分方程 2.1.1 平面应力问题平面应力问题（2.1）4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜
5、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统平面应力问题的几何方程几何方程平面应力问题的物理方程物理方程2.1.1 平面应力问题平面应力问题（2.2）（2.3）5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统式中，D为平面应力问题的弹性矩阵，具体为式中，E为弹性模量，为泊松比。另外，物理方程还可以写成如下形式2.1.1 平面应力问题平面应力问题（2.4）（2.5）6篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统平面应力状态下的三个应力不变量分别为 因此，求解平面
6、应力状态下主应力的方程为解出的平面应力状态下的主应力具体为式2.1.1 平面应力问题平面应力问题（2.6）（2.8）（2.7）平面应力状态下的主应力求解：平面应力状态下的主应力求解：7篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 （1）如图2-2所示，当物体z方向上的尺寸很长；（2）物体所受的载荷（包括体积力）平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。2.1.2 平面应变问题平面应变问题图2-2 平面应变问题平面应变问题的特征：平面应变问题
7、的特征：8篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x,y的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，zx=zy=0，并且由剪应力互等关系可以断定，xz=yz=0。但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下z 并不等于零。2.1.2 平面应变问题平面应变问题9篮球比赛是根据运动队在
8、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 在平面应变状态下，由于x、y、z 及xy 都只是x,y的函数，而xz=yz=0，且因外力都垂直于z轴，故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（2.2）相同。2.1.2 平面应变问题平面应变问题 对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w=0，故有z=zx=zy=0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同。但是，由于z=0，因而平面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即（2.9）10篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少
9、来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 式中的D 矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E 用 代替，用 代替。对有些实际问题，例如挡土墙和重力坝的问题等，虽然其结构并不是无限长，而且在靠近两端之处的横截面也往往是变化的、并不严格符合无限长柱形体的条件。但是，这些问题很接近于平面应变问题，对于离开两端较远之处按平面应变问题进行分析计算，得出的结果可以满足工程要求。对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式2.1.2 平面应变问题平面应变问题11篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类
10、型的系统 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，也就是过该轴的任一平面都是对称面，那么该弹性体的所有应力、应变和位移也都对称于这根轴。这类问题称为空间轴对称问题空间轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标r、z比采用直角坐标x、y、z方便得多。这是因为，当以弹性体的对称轴为z轴时（如图2-3所示），则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和 z的函数，而与无关（即不随变化）。2.2 空间轴对称问题空间轴对称问题12篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图2-3 轴对称问题示意2.2 空
11、间轴对称问题空间轴对称问题(a)（b）（c）13篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 如图2-3（c）所示的微元体的内侧面的正应力是r，外侧面上的正应力近似为 。由于对称，在方向（环向）没有增量。下侧面的正应力是z，上侧面的正应力近似为 。内侧面和外侧面上的剪应力分别为rz 及 ，下面及上面的剪应力则分别为zr 及 。径向体力用K表示，而轴向体力（z方向的体力）用Z表示。将该微元体所受的各力都投影到六面体中心的径向轴上，并取 及 ，可得到如下力平衡关系式2.2 空间轴对称问题空间轴对称问题（2.10）平衡微分方程的推导：平
12、衡微分方程的推导：14篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 化简，同时除以rddrdz，并略去微量，得轴对称问题的一个方向上的应力平衡微分方程式如下2.2 空间轴对称问题空间轴对称问题（2.11）将微元体所受的各力都投影到z轴上，则得力平衡关系式（2.12）同样可以由上式导出另一方向上的应力平衡微分方程式（2.13）综合起来得到如下空间轴对称问题的应力平衡微分方程：空间轴对称问题的应力平衡微分方程：（2.14）15篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
13、如果用r 表示沿r方向的正应变，即径向正应变；用 表示沿方向的正应变，即环向正应变；而沿z方向的轴向正应变仍用z 来表示。另外，r方向与z方向之间的剪应变用zr 表示，由于轴对称特性，剪应变r 及z 均为零。沿r方向的位移分量，称为径向位移，用ur 表示。沿z方向的轴向位移分量，仍用w表示，并且由于轴对称特性，环向位移u=0。根据几何方程的定义方法，可以得到由径向位移所引起的应变分量是2.2 空间轴对称问题空间轴对称问题（2.15）轴向位移w引起的应变分量为（2.16）几何方程的推导：几何方程的推导：16篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是
14、一种得分类型的系统由此得到空间轴对称问题的几何方程几何方程：2.2 空间轴对称问题空间轴对称问题（2.17）空间轴对称问题的物理方程物理方程可以根据广义胡克定律直接推广到极坐标系得到，即（2.18）17篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 在弹性力学里，把两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板，简称为板，如图2-4。2.3 板壳问题板壳问题（1）薄板弯曲问题）薄板弯曲问题图图2-4 薄板弯曲的几何示意图薄板弯曲的几何示意图 2.3.1 板壳问题简介板壳问题简介 两个板面之间的距离t称为板的厚度，而
15、平分厚度t的平面称为板的中间平面，简称中面。如果板的厚度t远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8b/5），该板就称为薄板，否则就为厚板。18篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 对于两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其它尺寸为小，就称之为壳体。2.3.1 板壳问题简介板壳问题简介（2）壳体问题）壳体问题在壳体理论中，有以下几个计算假定：垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。中面的法线总保持为直线，且中面法线及其垂直线段之间的直角也保持不变，即这两方向的剪应变为零。与中面平行的截面上的正应力（即挤压应力），远
16、小于其垂直面上的正应力，因而它对变形的影响可以不计。体力及面力均可化为作用在中面的载荷。对于薄壳，可以在壳体的基本方程和边界条件中略去某些很小的量（一般是随着比值t/R的减小而减小的量），从而使得这些基本方程在边界条件下可以求得一些近似的、工程上足够精确的解答。19篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程图图2-5 薄板弯曲时受到的弯曲力矩作用薄板弯曲时受到的弯曲力矩作用 薄板受到弯曲力矩作用时的受力关系可用图2-5表示。（1）薄板弯曲的几何方程）薄板弯曲的几何方程 根据
17、薄板的小挠度弯曲假设，薄板弯曲问题的全部应力和应变均可用板的中面的挠度w表示。根据假设可知：薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w。再由 ,根据几何方程得（2.19）20篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程（1）薄板弯曲的几何方程）薄板弯曲的几何方程 将上式对z积分，注意到 都与z无关，可得 。由于假设了薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 ，可知（2.20）因为 ，进而得到如下几何方程，即薄板内各点不为零的三个应变分量是 21篮球比赛是根据运动队在规定的比赛
18、时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程（1）薄板弯曲的几何方程）薄板弯曲的几何方程（2.21）式中，和 分别称为薄板弹性曲面在x和y方向上的曲率,表示它在x和y方向上的扭率。22篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程（2）薄板弯曲的物理方程）薄板弯曲的物理方程（2.22）薄板弯曲问题的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程是一样的，如下 或者写成如下形式 式中，D是平板的弹性矩阵
19、，与平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。即 。三个应力分量沿板厚按直线分布。薄板弯曲中另外三个应力分量zx、zy 和z 远小于上述三个应力分量，是次要的。23篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程（3）薄板弯曲的内力矩平衡方程）薄板弯曲的内力矩平衡方程已经薄板弯曲的板内各点的几何方程为 ，。在板中面上的各点，都有位移u=v=0，即中面上不产生平面方向的位移，中面在受力后不会伸长。因为平板中面的挠度w与坐标z无关，代表了板内各点的挠度。板内各点的应变分量和应力分量分别为 和
20、24篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程薄板弯曲问题的基本方程（3）薄板弯曲的内力矩平衡方程）薄板弯曲的内力矩平衡方程若用Mx、My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，考虑到 ,则可以得到薄板弯曲的内力矩平衡方程为 因此，薄板内的应力也可以用内力矩来表示，即（2.24）（2.23）25篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据前面的讨论可知，弹性力学问题中共有弹性力学问题中共有15个待求的基本个待求的基本未知量，即未知量，即
21、6个应力分量、个应力分量、6个应变分量和个应变分量和3个位移分量，而基本个位移分量，而基本方程也正好有方程也正好有15个，即平衡微分方程个，即平衡微分方程3个、几何方程或变形协调个、几何方程或变形协调方程方程6个（几何方程和变形协调方程实质上是等效的）和物理方个（几何方程和变形协调方程实质上是等效的）和物理方程程6个。于是，个。于是，15个方程中有个方程中有15个未知函数，加上边界条件用于个未知函数，加上边界条件用于确定积分常数，原则上讲，这些方程足以求解各种弹性力学问题。确定积分常数，原则上讲，这些方程足以求解各种弹性力学问题。可以证明，当这些方程的解存在时，在没有刚体位移的前提下，所求得的
22、解将是唯一的。但是，在实际求解时，其数学上的计算难度往往很大。事实上，只是对一些简单的问题才可进行解析求解，而对大量的工程实际问题，一般都要借助于数值方法来获得数值解或半数值解。2.4 弹性力学问题的一般求解方法弹性力学问题的一般求解方法26篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统求解弹性力学问题主要有两种不同的方法。一种是按位移求解一种是按位移求解，另一种是按应力求解另一种是按应力求解。按位移求解就是先以位移分量为基本未知函数，求得位移分量之后再用几何方程求出应变分量，继而用物理方程求得应力分量。按位移求解时，只要所确定的位
23、移函数是单值连续的，那么用几何方程所求得的应变分量就必定满足相容方程，关键的问题是由位移分量和应变分量所确定的应力分量还必须要满足平衡微分方程。因此，按位移求解弹性力学问题时，往往要比按应力求解更难于处理，这是按位移求解的缺点所在，也就是按位移求解尚不能得到很多有用解答的原因。然而在有限单元法中，按位移求解则是一种比较简单而普遍适用的求解方式，本书中所介绍的有限单元法都是以这种位移解法为出发点。2.4 弹性力学问题的一般求解方法弹性力学问题的一般求解方法27篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统求解弹性力学问题的另一种方式是
24、求解弹性力学问题的另一种方式是按应力求解按应力求解，即先以6个应力分量为基本未知量，求得满足平衡微分方程的应力分量之后，在通过物理方程和几何方程求出应变分量和位移分量。需要特别注意的是，应使所求得的应变分量满足相容方程，否则将会因变形不协调而导致错误。此外，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。由于位移边界条件一般是无法改用应力分量来表示的，所以，对于位移边界问题和混合边界问题，一般都不可能按应力求解得到精确的解答。2.4 弹性力学问题的一般求解方法弹性力学问题的一般求解方法28篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4
25、.2 位移法位移法 位移法位移法是以位移分量作为基本变量进行求解的，因此对于弹性体的基本方程（平衡微分方程、几何方程和物理方程），需要消去应需要消去应力分量和应变分量，以得到只包含位移分量的方程，同时，边界条力分量和应变分量，以得到只包含位移分量的方程，同时，边界条件也必须用位移分量表示。（求解思路）件也必须用位移分量表示。（求解思路）对于平面应力状态，其物理方程可表示为（2.25）将平面应力问题对应的几何方程代入上式得 29篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.2 位移法位移法进一步，将上式代入平面应力问题的应力平
26、衡微分方程应力平衡微分方程，得（2.27）对于用应力表达的边界条件则需要进行变换。由柯西应力公式，得 对于位移边界条件，例如在S边界上，有已知的位移，则引入的边界条件为（2.28）（2.29）30篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.2 位移法位移法用物理方程及几何方程进行变换，整理得（2.27）综上所述，按位移求解平面应力问题时，应使位移分量满足以应使位移分量满足以位移表达的平衡微分方程式位移表达的平衡微分方程式(2.27)，并在边界上满足位移边界条件，并在边界上满足位移边界条件式式(2.28)或以位移分量表达的应
27、力边界条件式或以位移分量表达的应力边界条件式(2.30)。求出了位移分量以后，再由几何方程求出应变，用物理方程求出应力。对于平面应变问题，只需在上面的各个方程中将E换成 ，将 换成 。31篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.3 应力法应力法（2.31）应力法是以应力作为变量进行求解，要求在弹性体内满足平衡微分方程，其相应的应变分量还须满足应变协调方程。因此，应力应力法就是在给定的边界条件下求解弹性体的应力平衡微分方程、物理法就是在给定的边界条件下求解弹性体的应力平衡微分方程、物理方程和变形协调方程，对这些方程进行变
28、换消去应变分量，方程和变形协调方程，对这些方程进行变换消去应变分量，具体为从变形协调方程和物理方程中消去应变分量，从而进行求解。由xy平面内的变形协调方程 将平面应力问题的物理方程（2.3）代入上式得（2.32）平面应力问题的应力平衡微分方程 32篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.3 应力法应力法（2.33）上面两式分别对x和y求偏导数，然后相加并整理得 将上式代入式（2.32）并整理得 上式即为用上式即为用应力表示的变形协调方程应力表示的变形协调方程，为应力法求解平面应力，为应力法求解平面应力问题的基本方程式。
29、问题的基本方程式。（2.34）对于平面应变问题，只需在上式中 换成 。33篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.4 用多项式（用多项式（Airy应力函数）应力函数求解平面问题应力函数）应力函数求解平面问题（a）（b）用应力作为基本变量求解弹性力学的平面问题，在体力为常量时，归结为在给定边界条件下，求解由平衡微分方程和用应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组，即方程(a)的解包含两部分：特解和通解。构造齐次微分方程（2.35）得到上述两方程的通解为（2.36）34篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定
30、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 应力分量也应满足相容方程，把包含应力函数的应力全解式(2.38)代入方程（b），得（2.39）选择如下形式的特解（2.37）则该应力平衡微分方程的全解为应力平衡微分方程的全解为（2.38）其中，是应力函数应力函数。该应力函数由G.B.Airy提出，在求解弹性力学问题时较为重要。整理后可得（2.40）上式即为用应力函数应力函数 表达的相容性方程表达的相容性方程。2.4.4 用多项式（用多项式（Airy应力函数）应力函数求解平面问题应力函数）应力函数求解平面问题35篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的
31、计时计分系统是一种得分类型的系统2.4.4 用多项式（用多项式（Airy应力函数）应力函数求解平面问题应力函数）应力函数求解平面问题如果，按应力函数进行求解，得到如下式子(2.41)下面给出几个构建应力函数求解弹性力学平面问题的例子（1）取一次多项式）取一次多项式 可得各应力分量为线性应力函数状态是没有应力、没有体积力和表面力的情况。这对于任何弹性问题都是没有意义的。（2）取二次多项式）取二次多项式 设 图图2-6 应力函数为三阶多项式的讨论应力函数为三阶多项式的讨论，得，得，得 36篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2
32、.4.4 用多项式（用多项式（Airy应力函数）应力函数求解平面问题应力函数）应力函数求解平面问题（2）取简单的三次多项式）取简单的三次多项式 可以求得 这种应力状态下对应梁纯弯曲情况 图图2-7受力耦作用的矩形截面梁受力耦作用的矩形截面梁按材料力学（3）取复杂的三次多项式）取复杂的三次多项式 可以求得 由上式可知，所有的应力是随x和y线性变化的。37篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5 弹性力学分析的能量法弹性力学分析的能量法 弹性体的变形分析也可以采用能量法的有关概念和分析方法，也就是利用能量法来分析弹性力学有关
33、问题，在某些场合下可以使求解大为简化。在本节中，主要讨论弹性力学问题的能量法的基本原理和基本表述方式。面向难以精确求解的结构力学问题，能量法是一种重要的解析方法。38篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统外力功也叫做虚功，即所施加力在可能位移上所做的功。外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，外力功（Work by force）包括这两部分力在可能位移上所做的功。在物体内部，有体积力 在弹性体内部（）对应位移 上所 做的功；则外力的总功可表示为（2.42）有时考虑力是非均匀地作用到物体上，外力功也经常表示为（2.43）（1
34、）外力功）外力功在力边界条件上，有外力（面力）在弹性体表面（S）对应位移 上所做的功；2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理物体变形问题的能量包括两类：一类是施加外力在可能位移上所做的功，另一类是变形体由于变形而储存的能量。涉及的概念包括外力功、应变能外力功、应变能以及系统总势能以及系统总势能等。39篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 对于理想弹性体，假设外力作用过程中没有能量损失，外力所作的功将以一种能的形式积累在弹性体内，一般把这种能称为弹性变弹性变形势能。形势能。以位移（或应变）为基本变量的变形能叫做应变能（
35、Strain energy）。三维情形下变形体的应力与应变的对应关系为 2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（2）应变能）应变能 应变能应包括两个部分：对应于正应力与正应变的应变能，对应于剪应力与剪应变的应力能。（a）对应于正应力与正应变的应变能）对应于正应力与正应变的应变能 如图2-8所示，在Oxy平面内考察由于正应力和正应变的作用所产生的应变能。设在微元体 上只作用有 与 ，这时微元体的厚度为 ，则由力与位移的关系可求得微元体的应变能为40篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的
36、基本原理（2）应变能）应变能（2.44）则在整个物体 上，与 所对应的应变能为（2.45）图图2-8 微元体的正应力与正应变对应的应变能微元体的正应力与正应变对应的应变能41篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（2）应变能）应变能（b）对应于剪应力与剪应变的应变能）对应于剪应力与剪应变的应变能 如图2-9所示，假设在微元体 上只作用有 并产生剪应变 ，这时微元体的厚度为 ，由于 是剪应力对，且有 ，将其分解为两组情况分别计算应变能。图图2-9 微元体上的剪应力与剪应变对应的应变能
37、微元体上的剪应力与剪应变对应的应变能 42篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（2）应变能）应变能在微元体上产生的应变能为（2.46）在整个物体 上，与 所产生的应变能为 （2.47）另外的剪应力和剪应变（与 ，与 ）对所产生的应变能与上面的计算公式类似。43篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（2）应变能）应变能（2.48）则弹性体的单位体积的应变能（应变能密度，
38、Strain energy density）表示为（2.49）根据物理方程可将上式中的应变换成应力，得（2.50）（c）包含正应变和剪应变的整体应变能）包含正应变和剪应变的整体应变能 由叠加原理，将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的应变能相加，可得到整体应变能 44篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（3）系统的总势能）系统的总势能 对于受外力作用的弹性体，基于它的外力功和应变能的表达，根据汉米尔顿定理（Hamilton principle），定义系统的总能量（或称
39、拉格朗日算子）为（2.51）45篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.1 能量法的基本原理能量法的基本原理（4）最小势能原理）最小势能原理 对于理想弹性体，依照变分法可知，在静平衡状态时，要求满足最小势能原理。弹性体的最小势能原理可描述为：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有可能的位移中，能满足平衡条件的位移应使总势能成为极小值，即（2.52）46篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.2 瑞利瑞利-里兹法里兹法 瑞利法是能量法中的一
40、种重要方法，经常用来求解结构力学中的静态或动态变形问题。在瑞利法中，首先对变形进行假设，进而给出应变能表达式，然后根据能量法原理求解问题的解。瑞利-里兹法(Rayleigh-Ritz)是假设一组符合边界条件的多项式试探函数(Trial solution function)，并将其函数代入能量方程式，再对试探函数的各系数作微分并令为零，找出能量方程式的最小值，最后解得试探函数的各系数。47篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.2 瑞利瑞利-里兹法里兹法 考虑分布载荷 作用在如图2-10(a)所示的梁上，即每个单位长度上
41、作用有载荷 ，如果单独考虑一个单元 ，上面所受的载荷为 。如果梁在y方向上有挠曲位移 ，那么作用到该单元上的功为 。外力 作用在整个梁上的总功为（2.53）(a)分布载荷分布载荷(b)集中力集中力 图图2-10 受不同载荷的梁受不同载荷的梁 梁静态弯曲问题梁静态弯曲问题48篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.2 瑞利瑞利-里兹法里兹法如果是一个集中力，如图2-10(b)所示，总功为（2.54）这里 为 时，梁的挠度值。而由于弯曲引起的梁的总应变能为（2.55）其中，Iz是梁断面关于z轴的惯性矩。在瑞利法中，先假设梁
42、变形的形状，该变形是一个未知的常数。一般来说，这个形状是x的函数，而且必须符合梁的几何边界条件。进而由外力功W和应变能U相等，如=（2.56）49篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.2 瑞利瑞利-里兹法里兹法 改善瑞利法的解的办法主要是通过选取更多的函数，每一个都含有未知的常数，通过寻优的方法求得各个常数的值，这是Rayleigh-Ritz方法的基本思想。分析Rayleigh-ritz方法用于梁弯曲的情况。假设中心轴的挠度为（2.57）其中，是 n 个未知常数，是 n 个关于 x 的已知(假设)的函数，满足几何边界
43、条件。（2.58）因为 ，应变能和功的变化量应该是相等的，即 这种情况下的解应收敛于精确解，这是因为正确地选择了形变函数。如果使用更高阶的多项式，这些高阶多项式中的常数都会收敛于零。一般情况下，瑞利法或Rayleigh-Ritz法将会得到一个较好的近似解。50篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.5.2 瑞利瑞利-里兹法里兹法例如，根据Rayleigh-Ritz法，假设梁的挠度为（2.59）（2.60）有将式(2.60)代入式(2.55)，得（2.61）整理后得到（2.62）如假设为集中力作用，外力功和应变能相等，可得（
44、2.63）从中可以解出梁的变形，结果为（2.64）51篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 虚位移原理虚位移原理(也叫虚功原理，Virtual displacement principle)是指：如果一个质点处于平衡状态，则作用于质点上的力，在该质如果一个质点处于平衡状态，则作用于质点上的力，在该质点的任意虚位移上所做的虚功总和等于零点的任意虚位移上所做的虚功总和等于零。2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理52篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是
45、一种得分类型的系统 从本质上讲，虚位移原理是以能量(功)形式表示的平衡条件。对于弹性体，可以看作是一个特殊的质点系，如果弹性体在若干个面力和体力作用下处于平衡，那么弹性体内的每个质点也都是处于平衡状态的。假定弹性体有一虚位移，由于作用在每个质点上的力假定弹性体有一虚位移，由于作用在每个质点上的力系在相应的虚位移上的虚功总和为零，所以作用于弹性体所有质点系在相应的虚位移上的虚功总和为零，所以作用于弹性体所有质点上的一切力上的一切力(包括体力和面力包括体力和面力)，在虚位移上的虚功总和也等于零。，在虚位移上的虚功总和也等于零。对于弹性体，由于弹性体内部的各个质点应始终保持连续，在给定虚位移时，必须
46、使其满足材料的连续性条件和几何边界条件。2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理53篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 假定弹性体在一组外力 的作用下处于平衡状态，由外力所引起的任一点的应力为 。并且，按前述条件对弹性体取了任意的虚位移 ，由虚位移所引起的虚应变为 ，这些虚应变分量满足相容性方程。那么，外力在虚位移上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功为（2.65）2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理54篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的
47、计时计分系统是一种得分类型的系统 受到外力作用而处于平衡状态的弹性体，在其变形过程中，外力将做功。对于完全弹性体，当外力移去时，弹性体将会完全恢复到原来的状态。在恢复过程中，弹性体可以把加载过程中外力所作的功全部还原出来，也即可以对外做功。这就说明，在产生在产生变形时外力所作的功以一种能的形式积累在弹性体内，即上文所变形时外力所作的功以一种能的形式积累在弹性体内，即上文所述的弹性变形势能述的弹性变形势能(或称应变能或称应变能)。2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理55篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的
48、系统 对弹性体取虚位移之后，外力在虚位移上所做的虚功将在弹性体内部积累有虚应变能。根据能量守恒定律，可以推出弹性体内单位体积中的虚应变能虚应变能（即一点的虚应变能密度）（2.66）2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理56篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统整个弹性体的虚应变能为 因此，弹性体的虚位移原理可以叙述为：若弹性体在已知的面若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的
49、功就等于弹性体所所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能具有的虚应变能，即（2.67）（2.68）2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理弹性力学问题的虚位移原理57篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.6 机械结构的强度失效准则机械结构的强度失效准则对于具有复杂应力状态的机械结构，利用弹性力学理论、有限元法或其他方法得到应力状态后，如何判断在此应力状态下机械结构是否失效是十分重要的任务。本节介绍几种机械结构静强度失效的常用判据，即最大主应力准则、最大剪应力准则(也称Tresca准则)和最大变形
50、能准则(也称von Mises准则)，依据这些准则可以判断所分析的弹性机械结构在一定应力状态下是否失效。需要说明的是，不同材料固然可以发生不同形式的实效，但即使是同一种材料，在不同应力状态下也可能发生不同的失效形式，因而对于具体问题应该综合判断，选择恰当的失效准则。58篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.6.1 材料力学实验的基本知识材料力学实验的基本知识材料的应力-应变曲线可以通过拉伸试验来获得。图2-11即为几种不同材料的典型应力-应变曲线，从图中可以看出，不同的材料有不同的特性。脆性材料，如铸铁，失效现象时突然断