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1、第八节常系数线性齐次微分方程1第一页，本课件共有21页二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1.当当时时,有有两个相异实根两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的因此方程的通解通解为为(r 为待定常数为待定常数),所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.第二页，本课件共有21页2.当当时时,特征方程有特征方程有两个相等实根两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解(u(x)待定待定)代入
2、方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u=x,则得则得因此因此原方程的通解原方程的通解为为第三页，本课件共有21页3.当当时时,特征方程有特征方程有一对共轭复根一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:利用利用解的叠加原理解的叠加原理,得原方程的得原方程的线性无关特解线性无关特解:因此因此原方程的通解原方程的通解为为第四页，本课件共有21页小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.第五页，本课件共有21页若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特
3、征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其则其通解通解中必含中必含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:第六页，本课件共有21页例例1.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的因此原方程的通解通解为为例例2.求解初值问题求解初值问题解解:特征方程特征方程有有重根重根因此原方程的因此原方程的通解通解为为利用利用初始条件初始条件得得于是所求于是所求初值问题的解为初值问题的解为第七页，本课件共有21页例例3.解解:由第七节例由第七节例1(P293)知知,位移满足位移满足质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹
4、簧上,在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 立坐标系如图立坐标系如图,设设 t=0 时物体的位置为时物体的位置为取其平衡位置为原点建取其平衡位置为原点建 因此定解问题为因此定解问题为自由振动方程自由振动方程,第八页，本课件共有21页方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:利用初始条件得利用初始条件得:故所求特解故所求特解:方程通解方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)第九页，本课件共有21页解的特征解的特征:简谐振动简谐振动 A A:振幅振幅,:初相初相,周期周期:固有频率固有频率 (仅由系统特性确定仅由系统特性确
5、定)第十页，本课件共有21页方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:小阻尼小阻尼:n k临界阻尼临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征第十一页，本课件共有21页例例4.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程因此原方程通解为通解为例例5.解解:特征方程特征方程:特征根特征根:原方程原方程通解通解:(不难看出不难看出,原方程有特解原方程有特解第十五页，本课件共有21页例例6.解解:特征方程特征方程:即即其根其根为为方程通解方程通解:第十六页，本课件共有21页例例7.解解:特征方程特征方程:特征根特征根为为则则方程通解方程通解:第十七页，本课件共有
6、21页内容小结内容小结特征根特征根:(1)当当时时,通解为通解为(2)当当时时,通解为通解为(3)当当时时,通解为通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.第十八页，本课件共有21页思考与练习思考与练习 求方程求方程的通解的通解.答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为第十九页，本课件共有21页备用题备用题1为特解的为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解并求其通解.解解:根据给定的特解知根据给定的特解知特征方程有根特征方程有根:因此因此特征方程为特征方程为即即故所求故所求方程方程为为其其通解通解为为第二十页，本课件共有21页备用题备用题2为特解的为特解的 6 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解并求其通解.解解:根据给定的特解知根据给定的特解知特征方程有根特征方程有根:其其通解通解为为因此因此特征方程为特征方程为即即故所求故所求方程方程为为,第二十一页，本课件共有21页