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1、常系数常系数 第八节第八节齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路:求解常系数求解常系数线性性齐次微分方程次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化化 第七章第七章 1二二阶常系数常系数齐次次线性微分方程性微分方程:和它的和它的导数只差常数因子数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程微分方程的的特征方程特征方程,1.当当时,有有两个相异两个相异实根根方程有两个方程有两个线性无关的特解性无关的特解:因此方程的因此方程的通解通解为(r 为待定常数待定常数),所以令所以令的解的解为 则微分微分其根称其根称为特征根特征根.22.当当时,特征方程有特征方程有两个相等两个
2、相等实根根则微分方程有一个特解微分方程有一个特解设另一特解另一特解(u(x)待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u=x,则得得因此因此原方程的通解原方程的通解为33.当当时,特征方程有特征方程有一一对共共轭复根复根这时原方程有两个复数解原方程有两个复数解:利用利用解的叠加原理解的叠加原理,得原方程的得原方程的线性无关特解性无关特解:因此因此原方程的通解原方程的通解为4小小结:特征方程特征方程:实根根 特特 征征 根根通通 解解以上以上结论可推广到高可推广到高阶常系数常系数线性微分方程性微分方程.5若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程
3、含 k 重重实根根 r,则其通解中必含其通解中必含对应项则其其通解通解中必含中必含对应项特征方程特征方程:推广推广:6例例1.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的因此原方程的通解通解为例例2.求解初求解初值问题解解:特征方程特征方程有有重根重根因此原方程的因此原方程的通解通解为利用利用初始条件初始条件得得于是所求于是所求初初值问题的解的解为7例例3.解解:由第七由第七节例例1(P293)知知,位移位移满足足质量量为m的物体自由的物体自由悬挂在一端固定的挂在一端固定的弹簧上簧上,在无外力作用下做自由运在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运求物体的运动规律律 立坐立
4、坐标系如系如图,设 t=0 时物体的位置物体的位置为取其平衡位置取其平衡位置为原点建原点建 因此定解因此定解问题为自由振自由振动方程方程,8方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:利用初始条件得利用初始条件得:故所求特解故所求特解:方程通解方程通解:1)无阻尼自由振无阻尼自由振动情况情况 (n=0)9解的特征解的特征:简谐振振动 A A:振幅振幅,:初相初相,周期周期:固有固有频率率(仅由系由系统特性确定特性确定)10方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:小阻尼小阻尼:n k临界阻尼界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征11例例4.的通解的通解.解解:特征方程特
5、征方程特征根特征根:因此原方程因此原方程通解通解为例例5.解解:特征方程特征方程:特征根特征根:原方程原方程通解通解:(不不难看出看出,原方程有特解原方程有特解15例例6.解解:特征方程特征方程:即即其根其根为方程通解方程通解:16例例7.解解:特征方程特征方程:特征根特征根为则方程通解方程通解:17内容小内容小结特征根特征根:(1)当当时,通解通解为(2)当当时,通解通解为(3)当当时,通解通解为可推广到高可推广到高阶常系数常系数线性性齐次方程求通解次方程求通解.18思考与思考与练习 求方程求方程的通解的通解.答案答案:通解通解为通解通解为通解通解为19备用用题1为特解的特解的 4 阶常系数常系数线性性齐次微分方程次微分方程,并求其通解并求其通解.解解:根据根据给定的特解知定的特解知特征方程有根特征方程有根:因此因此特征方程特征方程为即即故所求故所求方程方程为其其通解通解为20备用用题2为特解的特解的 6 阶常系数常系数线性性齐次微分方程次微分方程,并求其通解并求其通解.解解:根据根据给定的特解知定的特解知特征方程有根特征方程有根:其其通解通解为因此因此特征方程特征方程为即即故所求故所求方程方程为,21