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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征
2、方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为1212r xr xYC eC e( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。32. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rrr则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:xre)(ruup0uq)2
3、(2ururu r是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,2xrexy 因此原方程的通解为12()rxYCC x e,2p.1xrey )(xuexr0)()2(2 uqrprupru“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。43. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21
4、212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为12(cossin)xYeCxCx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:1212r xr xYC eC e21,:rr特征根21rr 实根 221prrr12()r xYCC x eir,2112(cossin)xYeCxCx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台
5、、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控
6、工程”。7例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322 rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为312xxYC eC e例例2. 求解初值问题0dd2dd22yxyxy,40 xy20ddxxy解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为12()xYCC x e利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为xexy)24(22C“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8例例3： 求052 yyy的通解解解; 特征方程为05
7、22 rr0412rir212 , 1（共轭复根）由公式得方程通解12cos2sin2xYeCxCx由上面的讨论可知：求二阶常系数线性齐次方程)2(0 yqypy的通解，并不需要进行积分运算，只要解代数方程求出特征方程的根，就可写出方程的通解。（这种求解的方法可以推广到 n 阶常系数线性齐次方程上去。)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9例例4.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解 :13
8、()cosYCC xxxxCCsin)(4212(cossin)YCxCx34(cossin )x CxCx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1YCxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx, 0) 1(4rr“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为
9、基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11n 阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110 jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCCsin)(cos)(11101110“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例6,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性
10、齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为1234()cos2sin2xYCC x eCxCx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13例例7： 求由 12,2xuxeuxx所满足的三阶常系数齐次方程。解：解： xexu111r xxu22032 rr可得特征方程为：0) 1(2rr023rr则三阶的
11、齐次方程为0 yy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为1212r xr xYC eC e21rr (3) 当时, 通解为12(cossin)xYeCxCxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .(2) 当时, 通解为12()r xYCC x e21rrr“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为12YCC x:0a通解为12cossinYCa xCa x:0a通解为12a xa xYC eC e “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 作业作业