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1、第五章 特征值与特征向量5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=l x?一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l=1 为 的特征值，为对应于l=1 的特征向量.一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n
2、 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0特特征征方方程程特特征征多多项项式式特征方程|AlE|=0特征多项式|AlE|二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|【例【例1】求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量【解】【解】A 的特
3、征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量【例【例2】求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量【例【例3】求矩阵求矩阵 的特征值和特
4、征向量的特征值和特征向量【解】【解】所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1，l l2=l l3=2【例【例4】求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量当当 l l1=1 时，因为时，因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量【例【例5】求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2=l l3=2 时，因为时，因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量
5、二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例例6：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则p
6、l l2 是是 A2 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，的特征值，对应的特征向量仍然是对应的特征向量仍然是 p 二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组若 l 是 A
7、 的一个特征值，则 j(l)=a0+a1 l+am l m是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am A m 的特征值【例【例7】设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值【解】【解】A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是是对应的特征向量对应的特征向量令令则则定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如
8、果l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2，证明证明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量当|2En-A|=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。当|En+A|=0时，因为|-En-A|=(-1)n|En+A|=0,所以-1是A的特征值。【例【例8】【练习【练习87】设A为n阶矩阵，且已知 ，则A必有一个特征值为（）ABCDA【练习【练习88】已知 ，求其特征值与特征向量特征值
9、 ，对于 ，解齐次线性方程组：基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （是任意非零常数）；【解】【解】对于 ，解齐次线性方程组：基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （是任意非零常数）【练习【练习89】设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak=O，证明A的特征值均为0.【证明】设【证明】设是矩阵是矩阵A A的特征值，且存在向的特征值，且存在向量量00，使得，使得 A A=由此可得由此可得Ak=k又因又因Ak=O，故Ak=0=0从而从而k=0=0，而，而00，所以，所以k=0=0，即，即=0=0因此因此A A的特征值均为的特征值均为0.0.【练习【练习90】设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，
10、则|A|=。6|A|=123=65.2 方阵的相似变换方阵的相似变换定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B 于是|B lE|=|P 1AP P 1(lE)P|=|P 1(AlE)P|=|P 1|AlE|P|=|AlE|定理：若 n 阶矩阵 A
11、 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似证明：设存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B，则P 1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么 P 1 j(A)P=P 1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j(B).定理：设 n 阶矩阵 L=diag(l1,l2,ln)，则l1,l2,ln
12、就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征
13、值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似 设 ，求 ，为任意正整数。【例【例9】【解】先求出【解】先求出A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。属于特征值属于特征值 的特征向量满足的特征向量满足 ，可取特征向量可取特征向量属于特征值属于特征值 的特征向量满足的特征向量满足 ，可取特征向量可取特征向量将这两个线性无关的特征向量拼成可逆矩阵将这两个线性无关的特征向量拼成
14、可逆矩阵则有矩阵等式则有矩阵等式其中其中 是以是以A的特征值为对角元的对角矩阵。的特征值为对角元的对角矩阵。据此就可以求出据此就可以求出【练习【练习91】与矩阵 相似的对角矩阵为 _【解】有相同特征值的同阶对称【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似矩阵一定（正交）相似A的特的特征值为征值为1和和3，与，与A相似的对角矩相似的对角矩阵为阵为【练习【练习92】与矩阵与矩阵A=相似的是（相似的是（）A BCD【解】有相同特征值的同阶对称【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似矩阵一定（正交）相似 A【练习【练习93】设三阶方阵设三阶方阵A的特征值分别为的特征值分别为 ，且，且B与与
15、A相似，则相似，则 _16【解】定理：若【解】定理：若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，相似，则则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同【练习【练习94】已知矩阵已知矩阵A与对角矩阵与对角矩阵D=相似，相似，则则 （）AA BDCED E【解】存在【解】存在 ，使，使，C【练习【练习95】19已知已知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为 ，且矩阵，且矩阵 与与 相似，则相似，则 _【解】定理：若【解】定理：若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，相似，则则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和
16、 B 的特征值也相同的特征值也相同 的特征值为的特征值为 ，45.3 向量内积和正交矩阵向量内积和正交矩阵定义：设有 n 维向量令则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积向量的内积【练习【练习96】设向量 ，则向量 ，的内积=_10解解:内积为内积为x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z x,
17、y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0l施瓦兹（Sc
18、hwarz）不等式x,y2 x,x y,y回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令若令 x=(x1,x2)T，则，则若令若令 x=(x1,x2,x3)T，则，则x,x=x12+x22+xn2 0 向量的长度定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x0（零向量）时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|向量的长度定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|
19、=0；当 x 0（零向量）时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|三角不等式：|x+y|x|+|y|xyx+yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当 x 0 且 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角xy当 x,y=0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x=0，则 x 与任何向量都正交定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1,a2,
20、ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1+k2a2+kr ar=0（零向量）（零向量），那么，那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar =k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证，同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，综上所述，a1,a2,ar 线性无关线性无关【例【例10】已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2【解】【解】设设a3=(x1,x2,x
21、3)T，若，若a1a3，a2a3，则，则 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=0得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 【练习【练习97】下列向量中与下列向量中与 正交的向量是（正交的向量是（）ABCDD解解:内积为内积为零的两个向零的两个向量正交量正交【练习【练习98】已知向量已知向量 与向量与向量 正交，则正交，则 _2解解:内积为零的两个向量正交内积为零的两个向量正交【练习【练习99】已知向量已知向量 正交，则正交，则 _解解:内积为零的两个向量正交内积为零的两个向量正交【练习【练习100】已知向量已知向量 与向量与向量 正
22、交，则正交，则 _1解解:内积为零的两个向量正交内积为零的两个向量正交【练习【练习101】已知向量已知向量 与向量与向量 正交，则正交，则 ()A2 B0 C2 D4D解解:内积为零的两个向量正交内积为零的两个向量正交定义：定义：n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er 两两正交；两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的
23、一个规范正交基也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意中任意一一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x=l l1e1+l l2e2+l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题：向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1,e2,er求规范正交基的方法第一步：正交化施密特（
24、Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1,bk 与a1,ak 等价（1 k r）第二步：单位化第二步：单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1,e2,er 是向量
25、空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基【例【例11】设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化交化过程把这组向量规范正交化【解】【解】第一步正交化，取第一步正交化，取【例【例12】设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化【解】【解】第二步单位化，令第二步单位化，令【练习【练习102】利用施密特正交化方法，将下列向量组化利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组为正交的单位向量组 解解:正交化，得正交的向量组：正交化，得正交的向量组：单位化，得正交的单位向量组：单位化，得正交的单位向量组：【练习【
26、练习103】将将 ，标准正交化。解解:正交化，得正交的向量组：正交化，得正交的向量组：再将它们单位化可以求得再将它们单位化可以求得【例【例13】已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2,a3，使，使a1,a2,a3 两两正两两正交交.【解】【解】若若a1a2，a1a3，则，则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 AT
27、A=E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1=AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两
28、正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.因为因为ATA=E 与与AAT=E 等价，所以等价，所以定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且
29、两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.例例14：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A|=1 或或1若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这
30、就是正交变换的优良特性【练习【练习104】设设A为为n阶正交矩阵，则行列式阶正交矩阵，则行列式 （）（）A-2 B-1 C1 D2C解解:A为正交矩阵，则为正交矩阵，则【练习【练习105】下列矩阵是正交矩阵的是（下列矩阵是正交矩阵的是（）ABCDA解解:A为正交矩阵，则为正交矩阵，则 5.4 实对称矩阵的相似标准形实对称矩阵的相似标准形定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关可逆矩阵
31、可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?(Al li E)pi=0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即
32、A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例例6）定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1
33、,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2 是是对应的特对应的特征向量征向量，如果，如果 l l1 l l2，则，则 p1,p2 正交正交（P.124定理定理6）证明：证明：A p1=l l1 p1，A p2=l l2 2 p2，l l1 l l2 l l1 p1T=(l l1 p1)T=(A p1)T=p1T A T=p1T A（A 是对称阵）是对称阵）l l1 p1T p2=p1T A p2=p1T(l l2 2 p2)=l l2 p
34、1T p2(l l1 l l2)p1T p2=0因为因为l l1 l l2，则，则 p1T p2=0，即，即 p1,p2 正交正交定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推
35、论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程
36、有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，则重根，则矩阵矩阵 A lElE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应【例【例15】设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP=L L对角阵对角阵.【解】【解】因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1=2，l
37、 l2=l l3=1 当当 l l1=2 时，时，解方程组解方程组(A+2E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=l l3=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得，得 令令 ，则，则 .p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .显然，必有显然，必有x x1x x2，x x1x x3，但，但x x2x x3 未必成立未必成立于是把于是把 x x2,x x3 正交化：正交化：此时此时x x1h h2，x x1h h3，h h2h h3 单位化：单位化：p当当 l l1=2时，对
38、应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1,p2,p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1,l l2,l ls，它们的，它们的重数依次为重数依次为k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）2.对每个对每个 ki 重特征值重特征值 l li，求方程组，求方程组
39、|Al li E|=0 的基础解系，的基础解系，得得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1+k2+ks=n，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP=L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.【练习【练习106】设矩阵
40、设矩阵A=，求正交矩阵，求正交矩阵P，使，使 为为对角矩阵对角矩阵【解】【解】特征特征值值对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组基基础础解系解系为为 单单位化位化为为 对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组基基础础解系解系为为 单单位化位化为为 令令 ，则则P是正交矩是正交矩阵阵，使，使 【练习【练习107】设矩阵设矩阵 ，求可逆矩阵，求可逆矩阵 P，使，使 为对角矩阵为对角矩阵【解】【解】特征特征值值对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组取取 对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组取取 则则P是可逆矩是可逆矩阵阵，使，使 令令 令令 ，则则P是正交矩是正交矩阵阵，使，
41、使 【例【例16】设设 ，求，求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.例例17：设设 ，求，求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得
42、A 的特征值的特征值 l l1=1，l l2=3下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=3 时，时，解方程组解方程组(A3E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1=p1，A p2=3 p2，即，即 若若 ，则，则 于是于是 ，即，即【练习【练习108】设设 ，求，求 【解】【解】特征特征值值对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组基基础础解系解系为为 对对于于，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组则则令令 基基础础解系解系为为