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1、第五章第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化5.15.1矩阵特征值矩阵特征值，特征向量特征向量，相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件5.3 5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化15.1 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 相似矩阵相似矩阵 1.特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的计算方法特征值和特征向量的计算方法3.特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质4.相似矩阵的概念和性质相似矩阵的概念和性质2一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念定义定义 设设A为为n阶方阵阶方阵,
2、如果存在数如果存在数 及及非零非零向量向量X,使得使得AX=X.则称则称 为为A的的特征值特征值,非非零向量零向量X称为称为A的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向特征向量量.注注:特征向量非零特征向量非零.AX=X(I A)X=0其有非零解的充要条件是其有非零解的充要条件是:|I A|=0 (1)方程方程|I A|=0称为称为A的的特征方特征方程程.|I A|=n+k1 n 1+kn 1+kn是是 的的n次多项式次多项式,称为称为A的的特征多项式特征多项式.3设设n阶方阵阶方阵A=(aij)的特征值为的特征值为 1,2,n,则有则有(1)1+2+n=a11+a22+ann(2)1 2 n=
3、|A|称为称为A的特征矩阵的特征矩阵.226页定理页定理5.24(1)为为A的的特征值特征值 为为特征方程特征方程|I A|=0的的根根二、特征值和特征向量的计算方法二、特征值和特征向量的计算方法AX=X(I A)X=0(2)在复数范围内在复数范围内,n阶方阵有阶方阵有n个特征值个特征值.(3)若若=i为为A的一个特征值的一个特征值,则由方程组则由方程组(iI A)X=0的非零解的非零解X=Pi就是就是A的对应于的对应于 i的特征向量的特征向量.(4)若若Pi为为A的对应于的对应于 i的特征向量的特征向量,则则kPi(k 0)也是对应于也是对应于 i的特征向量的特征向量.5求求n阶方阵阶方阵A
4、的特征值与特征向量的步骤的特征值与特征向量的步骤:(1)求求A的特征方程的特征方程|I A|=0的所有解的所有解 1,2,n,即为即为A的全部特征值的全部特征值(2)对每一个特征值对每一个特征值 i(i=1,2,n),求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组(iI A)X=0的基础的基础解系解系,便是便是A的的对应于对应于 i的线性无关的特征的线性无关的特征向量向量,而对应于而对应于 i的全部特征向量就是此的全部特征向量就是此基础解系的所有非零线性组合基础解系的所有非零线性组合.6例例1 求对角方阵求对角方阵=的特征值的特征值.解解:的特征多项式的特征多项式:|I|=(1)(1)(n)的特征值为的
5、特征值为:1,2,n 7例例2 求矩阵求矩阵 的特征值和特征的特征值和特征向量向量.解解:|I A|=(5)(+1)2A的特征值为的特征值为:1=5,2=3=185I A=基础解系基础解系:对应于对应于 1=5的全部特征向量为的全部特征向量为:k1P1(k1 0)1=5:解方程组解方程组(5I A)X=09 I A=基础解系基础解系:对应于对应于 2=3=1的全部特征向量为的全部特征向量为:k2P2+k3P3 (k2,k3不全为不全为0)2=3=1:解方程组解方程组(I A)X=010定理：若定理：若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,则则(1)k
6、 是是kA的特征值；的特征值；(2)m是是Am的特征值的特征值(m是是正整正整数数);(3)是是AT的特征值；的特征值；(4)当当A可逆时可逆时,1是是A 1的特征值的特征值,1|A|是是A*的特征值；的特征值；(5)若若f(x)是是x的多项式的多项式,则则f()是是f(A)的特征值的特征值特征向量保持不变特征向量保持不变11 m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值,且且X是是Am的的对应于对应于 m的特征向量的特征向量.证：证：(2)再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤m 2次次,就得就得AX=XA(AX)=A(X)=(AX)=(X)A2X=2XAmX=mX12(4)当当A可逆时可逆时,0AX=
7、XA 1(AX)=A 1(X)=A 1XX=A 1X 1X=A 1X 1是矩阵是矩阵A 1的特征值的特征值,且且X是是A 1的的对应对应于于 1的特征向量的特征向量.13定理定理 设矩阵设矩阵A,如果如果,是是A的对应于两个的对应于两个不同特征值的特征向量不同特征值的特征向量,则则 与与 线性无关线性无关.三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质证证 设设,分别是特征值分别是特征值 1,2(1 2)所对所对应的特征向量应的特征向量,则有则有A=1 ,A=2 假设有数假设有数k1,k2,使得使得 k1+k2=0 (1)同时左乘同时左乘A,得得:k1(A)+k2(A)=0k1 1+k2
8、 2=0 (2)(2)2(1)k1(1 2)=0 1 2,0k1=0同理可得同理可得k2=0 与与 线性无关线性无关14定理定理 如果如果 1,2,r是矩阵是矩阵A的不同的不同特征值特征值,而而 i1,i2,是是A的对应于的对应于特征值特征值 i(i=1,2,r)的线性无关的特的线性无关的特征向量征向量,则向量组则向量组 11,12,21,22,r1,r2,也线性无关也线性无关.推广推广 设设 1,2,r是是矩阵矩阵A的对应于的对应于不同特征值不同特征值 1,2,r的特征向量的特征向量,则则 1,2,r线性无关线性无关.15注注:(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无对应于不同特征值的特征向
9、量是线性无关的关的(2)对应于同一特征值的特征向量的非零对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是对应于这个特征值的特征向线性组合仍是对应于这个特征值的特征向量量.(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的征值而言的,一个特征值具有的特征向量一个特征值具有的特征向量不唯一不唯一;一个特征向量不能对应于不同的一个特征向量不能对应于不同的特征值特征值16定义定义 设设A、B都是都是n阶方阵阶方阵,如果存在可逆如果存在可逆矩阵矩阵P,使得使得P 1AP=B,则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵,或者说或者说A与与B相似相似,记为记为AB.可逆矩阵可逆矩阵P称称
10、为把为把A变成变成B的的相似变换矩阵相似变换矩阵.(2)对称性对称性:若若AB,则则BA四、相似矩阵的概念和性质四、相似矩阵的概念和性质相似满足相似满足:(1)反身性反身性:AA(3)传递性传递性:若若AB,BC,则则AC17定理定理 若若A与与B相似相似,则则 (1)A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式;(2)A与与B有相同的特征方程有相同的特征方程;(3)A与与B有相同的特征值有相同的特征值.证证:若若A与与B相似相似即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P,使得使得 P 1AP=BB的特征多项式的特征多项式:|I B|=|I P 1AP|=|P 1(I)P P 1AP|=|P 1(I A)
11、P|=|P 1|I A|P|=|I A|P 1|P|=|I A|P 1P|=|I A|18(4)相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式.P 1AP=B|P 1AP|=|B|P 1|A|P|=|B|A|P 1|P|=|B|A|P 1P|=|B|A|=|B|推论推论 若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵相似相似,则则 1,2,n是是A的的特征值特征值.换言之换言之:若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使得使得P 1AP=,则则 1,2,n是是A的特征值的特征值.19（5）相似矩阵有相同的秩）相似矩阵有相同的秩231页性质页性质20分析分析:若若 P,|P|0,使得使得 P 1AP=问题问题:对对n阶
12、方阵阶方阵A,如何求相似矩阵如何求相似矩阵P,使得使得 P 1AP=?记记P=(P1,P2,Pn)5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件21P 1AP=AP=P A(P1,P2,Pn)(AP1,AP2,APn)=(1P1,2P2,nPn)APi=i Pi (i=1,2,n)i为为A的特征值的特征值,而而Pi就是就是A的对应于的对应于 i的的特征向量特征向量.P可逆可逆A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.22注注:(1)A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量P1,P2,Pn,从而有从而有定理定理 n阶方阵与对角矩阵相似阶方阵与对角矩阵相似A有有n个线个线性无关的特征
13、向量性无关的特征向量.推论推论 设设n阶方阵阶方阵A有有n个不同的特征值个不同的特征值,则则A必与对角矩阵相似必与对角矩阵相似.则则P=(P1,P2,Pn)可逆可逆.23定理定理:n阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的充要条与对角阵相似的充要条件是件是A的每个特征值对应的特征向量线的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数性无关的最大个数等于该特征值的重数.24(2)A未必能与未必能与 相似相似.如果如果A的特征方程有重根的特征方程有重根,此时此时A不一不一定有定有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,从而矩阵从而矩阵A不一定能对角化不一定能对角化,但如果能找到但如果能找到n
14、个线性无个线性无关的特征向量关的特征向量,还是能对角化还是能对角化.25 求求可逆可逆矩阵矩阵P,使得使得A与对角矩阵相似与对角矩阵相似的步骤的步骤:(1)由由A求出特征值求出特征值 i (i=1,2,n)(2)求出对应于求出对应于 i的特征向量的特征向量Pi (i=1,2,n)(3)作出矩阵作出矩阵P=(P1,P2,Pn),则则AP=P(4)若若P可逆可逆,则则P 1AP=.即即A与与 相似相似.26例例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵判断下列实矩阵能否化为对角阵?A有三个不同的特征值有三个不同的特征值解解:(1)|I A|=(+1)(9)A的特征值为的特征值为:1=0,2=1,3=9A可对
15、角化可对角化.27(2)|I A|=(1)3A的特征值为的特征值为:1=2=3=1解方程组解方程组(I A)X=0基础解系基础解系:A不能对角化不能对角化.28|I A|=(2)2(+7)A的特征值为的特征值为:1=2=2,3=7解方程组解方程组(2I A)X=0基础解系基础解系:(3)解方程组解方程组(7I A)X=029A有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量A可对角化可对角化.基础解系基础解系:30例例2 设设 ,判断判断A是否可以对是否可以对角角A的特征值为的特征值为:1=5,2=3=1解解:基础解系基础解系:1=5:化化,若可以对角化若可以对角化,求出可逆阵求出可逆阵P,使
16、得使得P 1AP 为对角阵为对角阵,并求并求A100.31 2=3=1:基础解系基础解系:A有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量A可对角化可对角化.令令 ,则有则有P 1AP=32(3)33345.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质实对称矩阵特征值的相关性质2.求正交矩阵的方法求正交矩阵的方法35共轭矩阵共轭矩阵性质性质:如果如果A=(aij)为复矩阵时为复矩阵时,用用 表示表示aij的共轭复数的共轭复数,记记 .则称则称 为为A的的共共轭矩阵轭矩阵.(其中其中 为复数为复数)36aij全为实数全为实数,aij=aji,此时此时A称为称为实对称
17、矩阵实对称矩阵.性质性质1 实对称阵的特征值全为实数实对称阵的特征值全为实数.一、实对称矩阵特征值的相关性质一、实对称矩阵特征值的相关性质对称阵对称阵AT=A37性质性质2 设设A是实对称矩阵是实对称矩阵,则对应于则对应于A的不同的不同特征值的特征向量必正交特征值的特征向量必正交.证证:设设 1,2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个不同的的两个不同的特征值特征值,是相应的特征向量是相应的特征向量A=1,A=2 1(,)=(1,)=(A,)=TAT=(,A)=2(,)(1 2)(,)=0 1 2(,)=0 即即 与与 正交正交=(A)T=TA=(,2)38定理定理 设设 是实对称矩阵是实对称矩阵A
18、的的k重特征值重特征值,那那么对应于么对应于 的所有特征向量中的所有特征向量中,其极大线性其极大线性无关组所包含的向量个数恰为无关组所包含的向量个数恰为k.推论推论 实对称矩阵必与对角矩阵相似实对称矩阵必与对角矩阵相似.故故n阶实对称矩阵必有阶实对称矩阵必有n个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量.定理定理 若若A为为n阶实对称阵阶实对称阵,则总有正交阵则总有正交阵T,使使其中其中 1,2,n是是A的特征值的特征值.T 1AT=39求正交矩阵的具体步骤为求正交矩阵的具体步骤为:二、求正交矩阵的方法二、求正交矩阵的方法(1)求出求出n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值 1,2,n(2)解齐次线性方程组解齐次线性方程组(iI A)X=0,求出求出A的的n个个特征向量特征向量P1,P2,Pn(3)将将P1,P2,Pn正交标准化得正交标准化得e1,e2,en(4)写出正交矩阵写出正交矩阵T=(e1,e2,en)244页总结页总结40例例1 设设 ,求一正交矩阵求一正交矩阵T,使使T 1AT=解解:A的特征值为的特征值为:1=5,2=3=1基础解系基础解系:1=5:2=3=1:基础解系基础解系:41将将P2,P3正交化正交化:取取 2=P2将将P1,2,3单位化单位化,得得:42将将e1,e2,e3构成正交矩阵构成正交矩阵:有有:43