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1、第四章傅里叶变换和系统频域分析第1页，此课件共15页哦设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本信号的基本信号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，称为系统的，称为系统的频率响应函数频率响应函数。y(t)=H(j )ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej t第2页，此课件共15页哦2、一般信号、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )ej t d F(j )H
2、(j )ej t d 齐次性齐次性可加性可加性f(t)y(t)=F 1F(j )H(j )Y(j )=F(j )H(j )第3页，此课件共15页哦频率响应频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)之比，即之比，即 H(j)称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；()称为称为相频特相频特性性（或（或相频响应相频响应）。）。H(j)是是 的偶函数，的偶函数，()是是 的奇的奇函数。函数。频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法第4页，此课件共15页哦对周期信号还可用
3、傅里叶级数法。对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号周期信号若若则可推导出则可推导出第5页，此课件共15页哦例例：某：某LTI系统的系统的 H(j)和和()如图，如图，若若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10)Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5 5)+(+5)H(-j5 5)+4(10)H(j1010)+(+10)H(-j1010)H(j)=H(j)ej(ej()=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5)y(t)=F-1Y
4、(j)=2+2sin(5t)第6页，此课件共15页哦解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)=2+4cos(t)+4cos(2t)H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t)第7页，此课件共15页哦二、频率响应二、频率响应H(jH(j)的求法的求法1.H(j)=F h(t)2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为
5、：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求求f(t)=e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)第8页，此课件共15页哦f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t e-2t )(t)例例2：如图电路，如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)=e-t(t)第9页，此课件共15页哦三、无失真传输三、无失真传输系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输
6、信号的传输，一类是一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输定义：、无失真传输定义：信号信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，是指系统的输出信号与输入信号相比，只有只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同，而没有波形上的变，而没有波形上的变化。即化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j)=Ke j
7、 tdF(j)第10页，此课件共15页哦系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：的要求是：(a)对对h(t)的要求的要求：h(t)=K(t td)(b)对对H(j)的要求的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即即 H(j)=K ,()=td 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽的条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。性满足以上条件即可。2、无失真传输条件、无失真传输条件：第11页，此课件共15页
8、哦四、理想低通滤波器四、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的具有如图所示幅频、相频特性的系统称为系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。c称称为截止角频率。为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写理想低通滤波器的频率响应可写为：为：1、冲激响应冲激响应 h(t)=-1g 2 c()e)e-j-j t td d=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。可见，它实际上是不可实现的非因果系统。第12页，此课件共15页哦2、阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明显失真，在有明显失真，在t0时，阶跃响应已经出现，同样是理想化模时
9、，阶跃响应已经出现，同样是理想化模型，物理不可实现的频率响应。型，物理不可实现的频率响应。在在t=td处，处，h(t)取得极大值取得极大值，此处阶跃响应的上升也最快，定义信号上升时，此处阶跃响应的上升也最快，定义信号上升时间为间为t=td处斜率的倒数，则上升时间处斜率的倒数，则上升时间第13页，此课件共15页哦3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激响应，其冲激响应在在t0时必须为时必须为0，即，即 h(t)=0,t0 即即 响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。就就频域特性频域特性来说，佩
10、利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证明证明了物理可实现的幅频特性必须满足了物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利佩利-维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为，但不能在某个有限频带内为0。第14页，此课件共15页哦本节需掌握的重点1、频率响应函数H(j)的求解2、利用傅里叶反变换求解系统的零状态响应y(t)3、无失真传输的含义，以及无失真传输的条件4、理想低通滤波器的表达式，以及其对应的冲激响应h(t)的求解。第15页，此课件共15页哦