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1、第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数2010年2月24日1南京航空航天大学 理学院 数学系第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数常数项级数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数2010年2月24日2南京航空航天大学 理学院 数学系讨论一类特殊、常见、最简单的函数项级数讨论一类特殊、常见、最简单的函数项级数幂级数幂级数研究研究:(1)幂级数的收敛问题幂级数的收敛问题;
2、(2)怎样将一个函数用幂级数表示问题。怎样将一个函数用幂级数表示问题。第第3 3节节 幂幂级数级数2010年2月24日3南京航空航天大学 理学院 数学系第第3 3节节 幂幂级数级数3.1 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性3.2 幂级数的运算性质幂级数的运算性质3.3 函数展开为幂级数函数展开为幂级数3.4 幂级数的应用幂级数的应用2010年2月24日4南京航空航天大学 理学院 数学系3.1 3.1 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性1.1.定义定义:2.2.收敛性收敛性:注2010年2月24日5南京航空航天大学 理学院 数学系2.2.收敛性收敛性2010年2月24日6南京航空航天大学 理学院 数
3、学系2010年2月24日7南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2010年2月24日8南京航空航天大学 理学院 数学系由由(1)结论结论用反证法用反证法2010年2月24日9南京航空航天大学 理学院 数学系EX2.EX2.EX1.EX1.A2010年2月24日10南京航空航天大学 理学院 数学系EX1.EX1.解解:由级数在由级数在一致收敛，一般项连续一致收敛，一般项连续,可逐项积分可逐项积分2010年2月24日11南京航空航天大学 理学院 数学系EX2.EX2.解：解：同理：同理：2010年2月24日12南京航空航天大学 理学院 数学系几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区
4、域发散区域O2010年2月24日13南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理3.23.22010年2月24日14南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义3.13.1:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.（R,R）称为幂级数的）称为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?收敛域收敛域:2010年2月24日15南京航空航天大学 理学院 数学系A2010年2月24日16南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2010年2月24日17南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2010年2月24日18南京航空航天大学 理学院 数学系2010年
5、2月24日19南京航空航天大学 理学院 数学系则当则当定理定理 2 对于幂级数对于幂级数 ,若若求幂级数收敛半径的根值法（检根法）：求幂级数收敛半径的根值法（检根法）：2010年2月24日20南京航空航天大学 理学院 数学系例例1 1 求下列幂级数的收敛半径与收敛域求下列幂级数的收敛半径与收敛域:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散2010年2月24日21南京航空航天大学 理学院 数学系2010年2月24日22南京航空航天大学 理学院 数学系发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.2010年2月24日23南京航空航天大学 理学院 数学系解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数
6、收敛,2010年2月24日24南京航空航天大学 理学院 数学系级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为注2010年2月24日25南京航空航天大学 理学院 数学系EX.幂级数幂级数的收的收敛敛域域为为 .2010年2月24日26南京航空航天大学 理学院 数学系总结总结求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1)1)对标准型幂级对标准型幂级数数先求收敛半径先求收敛半径,再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性.3)3)对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为（缺项或通项为（x xx x0 0)n n)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或
7、或根值法根值法,也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求.2)2)对通项为（对通项为（xx0)n )的幂级数的幂级数将将1)1)的收敛域进行平移，使收敛域的中心在的收敛域进行平移，使收敛域的中心在x x0 0处处.2010年2月24日27南京航空航天大学 理学院 数学系3.2 3.2 幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法(其中其中定理定理3.43.42010年2月24日28南京航空航天大学 理学院 数学系(2)乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积2010年2月24日29南京航空航天大学 理学院 数学系(3)除法除法2010年2月24日3
8、0南京航空航天大学 理学院 数学系2010年2月24日31南京航空航天大学 理学院 数学系?2.2.分析运算性质分析运算性质:2010年2月24日32南京航空航天大学 理学院 数学系（1）(和函数的连续性和函数的连续性)定理定理3.62010年2月24日34南京航空航天大学 理学院 数学系（2）(逐项积分逐项积分)(收敛半径不变收敛半径不变)2010年2月24日35南京航空航天大学 理学院 数学系（3）(逐项求导逐项求导)(收敛半径不变收敛半径不变)2010年2月24日36南京航空航天大学 理学院 数学系推论推论 k=1,2,2010年2月24日37南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思
9、考题解答不一定不一定.例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？2010年2月24日38南京航空航天大学 理学院 数学系例例3解法解法1解法解法22010年2月24日39南京航空航天大学 理学院 数学系解解两边积分，两边积分，发散发散.2010年2月24日40南京航空航天大学 理学院 数学系解解 收敛半径为收敛半径为 注意注意：解方程也可用分离变量：解方程也可用分离变量2010年2月24日41南京航空航天大学 理学院 数学系解解
10、注意注意:例例5 52010年2月24日42南京航空航天大学 理学院 数学系EX.2010年2月24日43南京航空航天大学 理学院 数学系EX.解解2010年2月24日44南京航空航天大学 理学院 数学系解解 收敛域收敛域2010年2月24日45南京航空航天大学 理学院 数学系3 3解解2010年2月24日46南京航空航天大学 理学院 数学系1.幂级数的性质幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.2.利用幂级数的性质求和函数利用幂级数的性质求和函数总结总结2010年2月24日47南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结1.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R2.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质3.求幂级数的和函数求幂级数的和函数2010年2月24日48南京航空航天大学 理学院 数学系