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1、二次函数与平行四边形第1页，本讲稿共30页1.如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 第2页，本讲稿共30页 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；第3页，本讲稿共30页（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的
2、条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？第4页，本讲稿共30页一次函数 分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线 过A、B两点。（1）求这个抛物线的解析式；第5页，本讲稿共30页（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。第6页，本讲稿共30页在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0（1）求抛物线
3、的解析式第7页，本讲稿共30页（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动移动开始后第t秒时，设PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围第8页，本讲稿共30页（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由 第9页，本讲稿共30页在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB
4、两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；第10页，本讲稿共30页（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由第11页，本讲稿共30页如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；第12页，本讲稿共30页（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、ABD为顶点的四
5、边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由第13页，本讲稿共30页已知抛物线 的顶点坐标为Q(2,-1)，且与轴交于点C(0,3)，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；图16第14页，本讲稿共30页(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，图16第15页，本讲稿共30页点P为函数y0.25x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为
6、（0，1），直线l过B（0，1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；xlQCPAOBHRy第16页，本讲稿共30页2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；xlQCPAOBHRy第17页，本讲稿共30页（3）除P点外，直线PH与抛物线y0.25x2有无其它公共点？并说明理由xlQCPAOBHRy第18页，本讲稿共30页如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平
7、行直线y=x+m过点C，交y轴于D点（1）求抛物线的函数表达式；第19页，本讲稿共30页（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标第20页，本讲稿共30页已知：直角坐标平面内有点 ，过原点的直线 ，且与过点A、O的抛物线相交于第一象限的点B，若 （1）求抛物线的解析式；（2）作 轴于点C，设有直线 交直线于P，交抛物线于点Q，若B、C、P、Q组成的四边形是平行四边形，求m的值第21页，本讲稿共30页如图，直线y=x+3与坐标轴
8、分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）求证：四边形ABCD是直角梯形第22页，本讲稿共30页建立二次函数模型、数形结合建立二次函数模型、数形结合第23页，本讲稿共30页2010年南京市年南京市本题条件中“过过M作作EF的垂线的垂线交射线交射线BC于点于点G”成为建立函数关系的关键。第24页，本讲稿共30页例例3 3：如图（单位：如图（单位：mm）等腰直角三角形）等腰直角三角形ABC ABC 以以2m/S 2m/S 的速度的速度沿直线沿直线CFCF向正方形移
9、动，直到向正方形移动，直到ABAB与与CD CD 重合，设重合，设X X 秒秒 时，三时，三角形与正方形重叠部分的面积为角形与正方形重叠部分的面积为YmYm2 2。1)1)写出写出Y Y与与X X的关系的关系?2)2)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？了多长时间？ABCDEFCH图二图二ABCDEF图一图一101010101010第25页，本讲稿共30页ABCDEFCH图二图二解：解：AB=BC=10A CB=45因此经过了5秒。第26页，本讲稿共30页如图如图(2(2）直角三角形）直角三角形 ABC ABC 的的2 2
10、 mm/s/s的速度沿直线的速度沿直线CFCF向向 正方形移动直到正方形移动直到AB AB 与与CD CD 重合，设重合，设XsXs时，三角形时，三角形与正方形重叠部分的面积为与正方形重叠部分的面积为YmYm2 2。1)1)写出写出Y Y 与与 X X 关系表达式关系表达式.2)2)三角形移动多少时间时，重叠部分的面积最大？三角形移动多少时间时，重叠部分的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？拓广拓广:ABCDEF图一图一101081010ABCDEFCH图二图二第27页，本讲稿共30页重叠部分的面积最大，最大面积为ABCDEFCH图二图二 解：解：第28页，本讲稿共30页MNPABCD例
11、题：例题：如图在如图在R t PMNR t PMN中，中，P=90 P=90，PM=PNPM=PN，MMN=8 N=8 ,矩形矩形ABCD ABCD 的长和宽分别为的长和宽分别为 8cm 8cm 和和 2cm 2cm，点，点c c 和点和点 m m 点重合。点重合。BCBC和和MN MN 在一条直线上。令在一条直线上。令Rt MPN Rt MPN 不动，矩形不动，矩形ABCD ABCD 沿沿MN MN 所在的直线向右从每秒所在的直线向右从每秒1cm1cm的速度移动，直到点的速度移动，直到点C C与点与点NN重重合为止。设移动合为止。设移动x x秒后，矩形秒后，矩形ABCDABCD与与 PMN PMN重叠部分的面积重叠部分的面积为为ycmycm2 2,求求 y y 与与 x x 之间的函数关系式。之间的函数关系式。第29页，本讲稿共30页MNPABCD解：解：（1）当）当 时时（2）当）当 时时（3）当）当 时时MNPABCDEMNPABCDEFG第30页，本讲稿共30页