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1、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.). ,yl + X 4 y/l X2lim。X1z(2)设z = - /(盯)+ y(p(x4- y) J,(p具有二阶连续导数,则=.xdxdy*22(3)设L为椭圆 +=1,其周长记为a则 (2孙+ 3 + 4)杰=.(4)设A为阶矩阵,|A| w 0,为A的伴随矩阵,E为阶单位矩阵.若A有特征值,则(A*)2 + E必有特征值.(5)设平面区域。由曲线y =丄及直线y = O,x=l,x = e2所围成,二维随机变量(X, Y)在 X区域D上服从均匀分布,则(X, Y)关于X的边缘概率密度在x
2、 = 2处的值为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设/(x)连续,则，一=()dxjQ(A) xf(x2)(B) xfx2)(C) 22)(D) -2xf(x2)(2)函数y*(x) = (*2-x-2)%3-不可导点的个数是()(A) 3(B) 2( 1(D) 0(3)已知函数y= y(x)在任意点x处的增量公yuAl + a,且当x 70时,a是Ax的高1+x阶无穷小,y(0) =,则y等于(A) 2兀(B) 71(0(D)4(4)设矩阵a2 _ _h -b2 c2是满秩的,则直线二=% = FW = 与直线x ax _ y b _ z-Ca? b、 cy c、(B
3、)重合(A)相交于一点(C)平行但不重合(D)异面(5)设A、8是两个随机事件,且0P()0,尸(8|4) =(8|),则必有()(A) P(A B) = P(A B)(B) P(A B) P(A B)(C) P(AB) = P(A)P(B)(D)尸(AB)尸(A)P(8)三、(本题满分5分)求直线L:土=2 = 3在平面n:x-y+2z-1 = 0上的投影直线的方程,并求 11 -I, 绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数2,使在右半平面x 0上的向量A(x,y) = 2今(+ y2/z-x2(x4 +/；为某二元函数(x, y)的梯度,并求u(x, y).五、(本题满
4、分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起) 与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻和浮力的作用.设仪器的质量为机,体积为8,海水比重为p,仪器所受的阻与下沉速度成正比，比例系数为k(k 0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y = y(y).六、(本题满分7分)计算!f axdydz + (z + ay,其中f为下半球面z = _业_2的上侧,。为大 *(x2 + y2 + z2)%于零的常数.七、(本题满分6分) . 71. 2sin+ +j- + 一n )sin sin
5、求 lim -+y-、(本题满分5分)设正项数列,单调减少,且X （-1）,发散，试问级数X（是否收敛?并说 n=ln=l an + 1明理由.九、（本题满分6分）设=/（X）是区间0,1上的任一非负连续函数.（1）试证存在Xoe （0,1）,使得在区间,上以/（x0）为高的矩形面积,等于在区间上以y = /（%）为曲边的梯形面积.（2）又设/（%）在区间（0,1）内可导,且fx） ,证明（1）中的。是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程 +。+ z? +2+ 2xz +2yz = 4,可以经过正交变换- H化为椭圆柱面方程+4=4,求人的值和正交矩阵P.十、（本题满分4分）设A是阶矩
6、阵,若存在正整数k,使线性方程组= 0有解向量a ,且0, 证明:向量组a,Aa,是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知线性方程组 丙+4,2%=，、 “21% + a22X2, a2.2nX2n = ，U）/l + x + /l -x -+ x + /1 工 + 2）蠱2（后+ 2）+- 42（1-）=lim/ r = 1110（/ +/_+ 2）XI , XT y-x2 -1x lim-2=2 。2x2方法2:采用洛必达法则.（J1 + 1 +J1 2） 原式洛lim=li（丹 ,一.Jl-x-Jl + x 朮） =hm- = hm-0 4xVl-x2 。一一 川 2,1 2 + x 丿
7、1-4 4方法3:将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,1 + 工=1 + XX2 4- 6 （ X2 ）,1 .28N14 X X2 4- 6| X）+ - 从而原式二limZ一厂。X一;+。1（）+。2（） =lim=xtOim；- 4xj_4,11m2/l + x 2/l-x02x-11_2叵洛 lim2vnz 271774x= 34V =1 丄 X 丄 X2+q（x2）,-X-X2 4-2 （x2）-228）_丄4（2）【答案】yfxy） +（px + y） + y（px + y）dz dy方法3：d2z _ d_ dxdy dx訳，冋卜4如。)【分析】因为z =丄/(町)+ y夕(x+
8、y),/，8具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求一或丁均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. dx dy方法L先求空.dxdza 11v=-f(xy)+ y屮 + y) = -j-/(J7)+ - f(xy) + y(px + y), dx dx xxx二=貝-V /(町)+ - f(xy) + y(p(x +y) Ioxoy oy x x)=V fxy)x+-fxy) + 丄 fxy)x +(px +y)+ y(p(x + y)XXX=-f(xy) + - f(xy)+ yf(xy) +(px + y) + y(px + y) x x=yf(xy) + 叭 x
9、+ y) + y(px + y).方法2:先求学.a 1Jxf(xy)+ yP(x + y) =-f(xy)x+p(x + y) + y(p(x + y)Lx=f(xy) + 3+ 4=12 n （3 + 4y 2 ）ds = J J 2ds = 12a.因此,原式=2/（ （3+4）杰=12。.【相关知识点】对称性:平面第一型曲线积分/，设在/上连续，如果，关于y轴对称,为，上x2 0的部分,则有结论:（x,y）ds, f（x,y）关于x为偶函数,|J（x,y）ds= I|o，f（x,y）关于x为奇函数.类似地,如果，关于X轴对称,/2为上y 2 0的部分,则有结论:0/（x,y）ds, x
10、,y）关于y为偶函数,j（x，y）ds = 20,关于y为奇函数.（丫（4）【答案】 U +1【解析】方法1:设A的对应于特征值/1的特征向量为J,由特征向量的定义有华=丸,（JhO）.由|A| #0,知;IX0 （如果是A的特征值|A|=0）,将上式两端左乘A*,得A越=|41=4有=4,从而有A*J =四虞（即A的特征值为図）.2将此式两端左乘A,得（之=明久,2 friAi? + E 的特征值为 1 +1. ，“丿丿丿方法2:由幀卜0, A的特征值;1 = 0 （如果。是A的特征值。同=0）,则AT有特征值的特征值为4;（A*r+E的特征值为（!+1.XA（【相关知识点】1.矩阵特征值与
11、特征向量的定义:设A是阶矩阵,若存在数/1及非零的 维列向量X使得AX = AX成立,则称2是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特 征向量.由/1为A的特征值可知,存在非零向量a使Aa = 4a,两端左乘AT,得a = AA a .因为axO,故/IhO,于是有=丄。.按特征值定义知丄是A的特征值.A.若AX = 2X ,则（A + ZE）X = AX +/=（+ A）X ,即若/1是A的特征值,则A+比:的特征值是;1 +比2.矩阵A可逆的充要条件是|4!0,且A1=百（5）【答案】- 4【解析】首先求（X,y）的联合概率密度/*,y）.区域D的面积为SD =丄=In =2.丄f(x,
12、y) = 2,(x, y) e D, 其他.其次求关于X的边缘概率密度.当 x v 1 或 时,厶(x) = 0 ；当 1W 时,/ )=广 /(x, y)dy故厶（2）=；.二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分.）（1）【答案】（A）【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 =x2-t2,t 0 -x u: X? -0, du = d（）=-2f6frdt =du,(x2 -X-2)x(1 -X2),(xx2)x(x2 1),x 1,1W x 0, 0 x 1, lox2xr(0) = lim 小)/=lim 0-2) = _2v-0+xXT0+X所以/（x）在x = 0处
13、不可导.类似,函数/（幻在x = l处亦不可导.因此/（幻只有2个不可导点,故应选（B）.评注:本题也可利用下列结论进行判断:设函数./(X)= |x-a以x),其中0(x)在x =4处连续,则/(x)在x = a处可导的充要条件是。(a) = 0.【答案】(D)【解析】 由Ay =y+a,有yH.1 + X2 X 1 +尤 2 M令x f0,得a是的高阶无穷小,则lim = 0,Ar-0v tsy . ( y a 、r y . a ylim = hm - + = limr+ lim =Ar t01 + x Ax J -0 l + x2 0 Ar l + x即日=dx l + x宀白, dy
14、dx分离变量,得=7,y l + x两边积分,得 InN = arctanx+C,即=C,earctanx.代入初始条件y(0) =兀,得y(0) =。避3I曲、。=G =乃.所以，y = arc,an.IX.、1 arctanx|arctan 1 4故y(l) = zre = rce rce .1 .x-I【相关知识点】无穷小的比较:设在同一个极限过程中，(%),/?(%)为无穷小且存在极限lim = I,(x)(1)若，工0,称。(x),(幻在该极限过程中为同阶无穷小;(2)若/ = 1,称a(x),/?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为a(x) 尸(幻;(3)若， = 0,称在该极限
15、过程中a(x)是以幻的高阶无穷小,记为a(x)=。(伙x).若lim雙不存在(不为),称a(x),x)不可比较.P(x)【答案】(A) e丄5 t x-a. y-b, z-c, r x-a, y-b, z-c, 皿包【解析】设:- = 7r = - 厶: =tt = L,题设矩阵4 瓦 q生b2 c2是满秩的,则由行列式的性质,可知q3 一qa2 b2 % Aq1行减2行,2行减3行-a2仿c c2ci-, 一 cijh-) C-, 一 Cj w 0,%3c3故向量组（4 4,C| 一 C2 ）与（。2 。3，% 3,。2 C3）线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在2,使得（4 ，。_。
16、2）+ %2（。2 -%，。2 _。3）=0,这样 上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.（4 ，G 。2）与（“243，。2。3）分别为,的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知,不平行. . x-a, y z-c. ZFI又由=-L =L得q -a2仿 q - c2 一 ）, a -a22c c2即x%（6 ） ）3 （1 ）=Z - C3 亿q）一生2。1。2同样由上丄=之二=L,得a2 -a3 b2 b3 c2 -c3即%+（生一）=y+（）=z。3+仁一 q）/C2 C3可见,均过点（0, /,2 C 鼻），故两直线相交于一点,选（A）.【答案】C分析】由题设条件P（B
17、 A） = P（B I A）,知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故A, B相互独立.而本题选项（A）和（B）是考虑P（A | B）与P（| B）是否相等,选项（和（D）才是事件A与B是否独立.【解析】由条件概率公式及条件（8|）=尸（8）,知PAB _ P初 _ PB-PABPAP1 - PA于是有PA81-PA = PAP8-PA8,可见尸45 =尸A尸3.应选(C).【相关知识点】条件概率公式:三、(本题满分5分)【解析】方法L求直线在平面口上的投影)：x = 1 + 厶方法1:先求L与n的交点N以=代入平面n的方程,得z = -t(l+r)-
18、r + 2(l-0-l = 0=r=l.从而交点为N (2,1,0):再过直线L上点(1,0,1)作平面n的垂线L:-=丄=,冗=1 +即 z =,3交点、为N0上原 函数 (x,y)=丝=,x .dx oy其中,义=-2才，+尸(+.,dx=2x(x4 + /+ 2 ( + ) 2y. 3y,dQ 8P ,41.由 =I即湖足dx dy-2x(x4 + y2y-Ax2(x4 + y24=2x( + /+ 2Axy(x4 +-2y, 0 4x(/ +y2y (+ i)= 0 =_1可见,当=-1时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求”(x, y),采用折线法,在x0半平面内任取一点，比如点(
19、1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关,有()寸;:2xydx - x2dydy + C (折线法)1 2尢 . f.v x2 +() Jo x4 + y2dy + Cdy + C (第一类换元法)=-arctan - + C (基本积分公式) x其中C为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数”,y)的梯度公式:gradu =i + j.ox dy2.定理:设D为平面上的单连通区域,函数P(xfy)与Q(xyy)在。内连续且有连续的 阶偏导数,则下列六个命题等价:/3。 3P /、(1) =,(x, y)&D； ox oy(2) Jdx + Q=0,厶为内任意一条逐项光滑的封闭曲线
20、;(3) J P厶+ Q仅与点A,8有关,与连接B什么样的分段光滑曲线无关; LAB(4)存在二元单值可微函数(x,y),使du - Pdx + Qdy(即R/r+Q办为某二元单值可微函数(x,y)的全微分;(5)微分方程尸+。办,=0为全微分方程;(6)向量场Pi + Qj为某二元函数u(x, y)的梯度gradu = Pi + Qj.换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线 法求函数”（X, y）.五、（本题满分6分）【解析】先建立坐标系，取沉放点为原点,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中 受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小:，浮力的大小
21、:=-03;阻:一人, 则由牛顿第二定律得= mg- Bpg - kv,yl=0= 0, v|,=0 = 0.由虫=%=史=半. =4，代入（*）得y与V之间的微分方程 dt dr dt dy dt dy / dvmv= mg-Bpkv,士* 三 zp， 7fTiv.分岗变量得 dy =dv,mg- Bp-kv两边积分得 dy= dv, J J mg- Bp-kv+ Bmp m2g Bmp gy f乜dvJmg - Bp kv=J(mg - Bp - kv)- kBmp + m2 gmg - Bp - kv nr g-Bmp -dv=1 -k mg Bp - kvdv7m(mg-Bp)k(mg
22、 一 Bp-kv)m m(mg-Bp)-(-)（第一类换元法）=rv+f -d(mg-Bp-kv)k k(mg- Bp-kv)一也叫(mg-Bi)+ c.k k再根据初始条件u 1V=0=0,即m(mg - Bp). 、 m(mg - Bp), z ln(mg - Bp) + C-0= C ln(mg - Bp).Ick故所求y与v函数关系为_ m mmg Bp)(mg- Bp-kvy k k2 mg-Bp J六、（本题满分7分）【解析】方法1S本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含（+ z2）%,因此不能立（X
23、2 + y2a2即加、减辅助面Z1: ,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简:z = 0/ =+ + :片=ljjaxdydz + g + adxdy.添加辅助面:，一,其侧向下（由于为下半球面z = -的上 z = 0侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和Z的上侧组成整个 边界区面的内侧,前面取负号即可）,由高斯公式,有如 axdydz + (z 4- a)2 dxdy - jjaxdydz 4- (z + tz)2dxdy第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于 S！的方向向下;另外由曲面片2在yoz平面投影面积为零,则!axdy
24、dz = 0,而上2=0, 旦则（Z + Q=.(a + 2(z + a)dV a2 dxdyd 丿其中C为Z与所围成的有界闭区域，。为Z在my面上的投影。= （x,y）|%2 +a2. 从而,zdv+ci2 dxdydJ。de/。4/J zdz + a2 第一个积分用球体体积公式;第二个用柱面坐标求三重积分;第三个用圆的面积公式.I = -27Td,4-Cr2l兀。4 2/*r2dr万+呵:32一，(。4 + 2 万 aa2r2、刈-7ra4 4- 2tt ,4、,4方法2:逐项计算:axdydz + (z + q)2 dxdy(x2 + y2 + z2)axdydz + (z + a)2
25、dxdy其中,xdydz + - Uz + a)2dxdy= It +12.J a 7=If xdydz -yja2 x2 - y2 dydz + jj -yja2 x2 - y2 dydzz-2”DyzDyzx2 y2dydz,第一个负号是由于在x轴的正半空间区域的上侧方向与轴反向；第二个负号是由于被积 函数在x取负数.为在yoz平面上的投影域4 =(y,z)y2 + z2a2,z0,用极坐标,得厶=-2J2/-r2 rdr-2丄 ya2 - r2 d(a2 - r2)22=(0 a、)二 。,0 33一f 一 y 2 I dxdy2 = jj(z + a)2dxdy -丄Jj(a荷ZDxy
26、= (2cr - 2ala2 -r2 -r2)rdr=JJ(2a2r-2aryja2 -r2 一戸)dr()ra2-r2 dr - rydr2tia“卜2q.+3、 27r, 4。、4、(a a) = ,a 346jr其中Dy:为Z在yoz平面上的投影域=(y,z)庁+名 .故/ =+厶=-o【相关知识点】高斯公式:设空间闭区域。是由分片光滑的闭曲面Z所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R,y,z)在。上具有一阶连续偏导数,则有dP dQ OR), + + dv dx dy dz =惇Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,(Pcosa + Qcos? + Rcosy)dS,这
27、里Z是。的整个边界曲面的外侧,cosa、cos、cos是Z在点(x,y,z)处的法向量的 方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是项和式的极限,和式极限通常的方法就两种:、把和式放缩，利用夹逼准则 求极限;二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题，把两种方法结合 到起来求极限.当各项分母均相同是时，”项和式.乃.2万.rmsin sin sin x,=2+ +十 n nn是函数sin)在0, 1区间上的个积分和.于是可由定积分sin万x厶求得极限limx .sm sin sm 【解析】由于丄必,，= 1,2，一,+1,1 n +二于是,.17T ,
28、sin n_白+1江i=l.171 sin n-T 71 +二,171n Siny-nlimV- = limy sin =sin 7 无=廿占 n 廿 M n %7tlimf-f sin旦=lim丄sin旦=sin乃x厶=2 -8七 + 1 81 + 1 智 n J T8 管 n Jo乃根据夹逼定理知, sin limy一 =丄+工【相关知识点】夹逼准则:若存在N,当,N时,y xw 0.又Z（T）%发散，根据莱布尼茨判别法知,必有a 0 （否则级数工（-1）收敛）.W=1=1又正项级数q单调减少,有14+11。+ 1 ,而0 .令人(1 丫I +1 ,则lim 也 =liman+l a +1
29、 wn+l,n = l,2,-;(2) limun =0./Ioooo则(-I)-1 un收敛,且其和满足0(1)1%,余项同Un+V n=lw=l反之,若交错级数Z（-1）T发散,只是满足条件,则可以反证说明此级数一定不满足 =1条件lim以=0,所以有lim0.（否则级数X（1尸均收敛） =12.正项级数的比较判别法:设 “和都是正项级数,且lim厶=A,则tt =i-（1）当 A+8时，Z”，和Z乙同时收敛或同时发散;=1 =188当A = 0时,若收敛,则匕,收敛;若匕,发散则Z,发散;n=1=1=1当=时,若收敛,则，收敛;若z发散,则xv发散.=1M=1n=ln=l3.根值判别法:
30、8 Y=p41时,V“发散,且lim,尸0, -oo=耐,此判别法无效.九、（本题满分6分）【解析】要证叫）e （,:1）,使%，（%） =，/（x）厶;令（x） =（x）-f（。,要证 / e （0,1）,使（）=0.可以对奴x）的原函数（x） =/。力使用罗尔定理:=(p(x)dx = J;(x) j； (，f(t)dt)dx分部 r1 ri |A=I=xf(x)dx- X /阂 + xf(x)dx - 0,JoJx L=o %又由又由在0,1连续n(p(x)在0,1连续,(x)在0,1连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,玉 g(0,1),使(/)=以龙) = .(2)由(x) = xf
31、(x) + f(x) + /(x) = xf(x) + 2/(x) 0,知 e(x)在(0,1)内单调增,故中的与是唯一的.评注:若直接对(x)使用零点定理,会遇到麻烦:夕() = 一 J； /(力 0，夕(1) = /(I) N 0.当/(x) = 0时,对任何的Xo e (0,1)结论都成立;当/(x)X0时,。() ,但20,若9(1) = ,则难以说明在(0,1)内存在.当直接对)用零点定理遇到麻烦时,不妨对奴)的原函数使用罗尔定理.【相关知识点】L罗尔定理:如果函数/(x)满足(1)在闭区间。,上连续;(2)在开区间(a/)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即(a) = f(b
32、),那么在(a,内至少有一点J(a J),使得G)=0.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,-1r二次曲面方程左端二次型对应矩阵为A=a 1 ,则存在正交矩阵P,使得1 1 10 0 0P-AP= 0 1 记0 0 4 -即A与8相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A有特征值0,1,4.从而,1 1 1从而,N=1311 1 1当4 =0时,-1(OE-A)= -1-1-11行(-1)分别加到2,3行0一 0-1 -1-2 00 0于是得方程组(OE-A)x = 的同解方程组为-X X2 一七=0, 2=0.(0-4) = 2,可知基础解系的个数为0)=3-2 = 1,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取=1,解得基础解系为因=(1,0, - 1)。当=1时,(E-A)= -1 -2 -1 3x(1)力至!J2 彳亍-1 000-1-1-101行x(-l)加到2行00-1-10-1-1002,3行互换0-10-1-10-100于是得方程组(E A)x = 0的同解方程组为r(E-A) = 2,可知基础解系的个数为“r(E A) = 3 2 = 1,故有1个自由未知