1998考研数三真题及解析.pdf

《1998考研数三真题及解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1998考研数三真题及解析.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线()nf xx在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)n,则lim()nnf .(2)2ln1xdxx .(3)差分方程121050ttyyt的通解为 .(4)设矩阵,A B满足*28A BABAE,其中100020001A,E为单位矩阵,*A为A的伴随矩阵,则B .(5)设1234,XXXX是来自正态总体20,2N的简单随机样本,2122Xa XX

2、23434bXX.则当a ,b 时,统计量X服从2分布,其自由度为 .二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数 f x在,内可导,周期为 4.又 011lim1,2xffxx 则曲线 yf x在点 5,5f处的切线的斜率为 ()(A)12 (B)0 (C)1 (D)2(2)设函数 21lim,1nnxfxx讨论函数 f x的间断点,其结论为 ()(A)不存在间断点 (B)存在间断点1x (C)存在间断点0 x (D)存在间断点1x (3)齐次线性方程组21231231230,0

3、,0 xxxxxxxxx的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵0B 使得0AB,则 ()(A)2 且|0B (B)2 且|0B (C)1且|0B (D)1且|0B (4)设3n n 阶矩阵 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1111aaaaaaAaaaaaa,若矩阵A的秩为1n,则a必为 ()(A)1 (B)11n (C)1 (D)11n(5)设1()F x与2()F x分别为随机变量1X与2X的分布函数.为使 12()()F xaF xbF x 是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ()(A)32,55ab (B)22,33a

4、b(C)13,22ab (D)13,22ab 三、(本题满分 5 分)设arctan22()yxzxye,求dz与2zx y.四、(本题满分 5 分)设22,Dx y xyx,求Dxdxdy.五、(本题满分 6 分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为250.tRR e假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r 时的t值.六、(本题满分 6 分)设函数()f x在,a b上连续,在(,)a b内可导,且()0.fx试证存在,(,),a b 使得().()b

5、afeeefba 七、(本题满分 6 分)设有两条抛物线21ynxn和21(1)1ynxn,记它们交点的横坐标的绝对值为.na 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积nS；(2)求级数1nnnSa的和.八、(本题满分 7 分)设函数()f x在1,)上连续.若由曲线(),yf x直线1,(1)xxt t与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为 2()()(1).3V tt f tf 试求()yf x所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229xy的解.九、(本题满分 9 分)设向

6、量1212(,),(,)TTnna aab bb都是非零向量,且满足条件0.T 记n矩阵.TA求：(1)2A；(2)矩阵A的特征值和特征向量.十、(本题满分 7 分)设矩阵101020,101A矩阵2(),BkEA其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.十一、(本题满分 10 分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为 500 元.试计算此商店经销该种商品每周

7、所得利润的期望值.十二、(本题满分 9 分)设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线nyx在点(1,1)处的切线斜率

8、1xy 1nxx11nxn xn,根据点斜式,切线方程为：1(1).yn x 令0y,代入1(1)yn x,则11xn,即在x轴上的截距为11nn,lim()nnflimnnn1lim(1)nnn 11lim(1)xxx1e.(2)【答案】ln xCx【解析】由分部积分公式,2ln1xdxx1ln1xdxx 1ln1xdx ln11(ln1)xdxxx 分部2ln11xdxxx ln11xdxxx ln11xCxx ln xCx.【相关知识点】分部积分公式：假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx或者.udvuvvdu(3)【答案】51(5)()126tt

9、yCt【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552ttyyt,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为 50,5,rr 故齐次方程的通解为(5),ttYCC为常数.将方程右边的52t改写成512tt,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,tyAtB 从而1(1),tyA tB代入原方程,得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5(1)5(),2A tBAtBt 56,60,2AAB 故 55,1272AB.于是通解为 51(5)().126ttttyYyCt(4)【答案】200040002【解析】由题设 *28A BABAE,

10、由于20A ,所以A可逆.上式两边左乘A,右乘1A,得*11128AA BAAABAAAA 28A BABE(利用公式：*1,AAA E AAE)28A BABE(移项)28A EA BE(矩阵乘法的运算法则)将2A 代入上式,整理得14EA BE.由矩阵可逆的定义,知EA,B均可逆,且 114BEA110020024 0104 0100021002200040002.(5)【答案】11,220 100【解析】由于1234,XXXX相互独立,均服从2(0,2)N,所以由数学期望和方差的性质,得 2221212(2)0,(2)1 22220E XXD XX,所以12(2)(0,20)XXN,同理

11、34(34)(0,100)XXN.又因为12(2)XX与34(34)XX相互独立,且 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！121(2)(0,1)20XXN；341(34)(0,1)100XXN,由2分布的定义,当11,20100ab时,222123411(2)(34)(2)20100XXXXX.即当11,20100ab时,X服从2分布,其自由度为2.严格地说,当10,100ab时,2(1)X；当1,020ab时,2(1)X也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,

12、由数学期望和方差的性质,有()()()E aXbYcaE XbE Yc,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.2、定理：若2(,)XN,则(0,1)XN.3、2分布的定义：若1,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则 221()niiZn.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：0()()limxf xxf xfxx 0(1)(1)lim2xffxx01(1)(1)lim2xfxfx1(1)2f 1

13、所以 0(1)(1)(1)lim2.xfxffx 因为()f x周期为 4,()fx的周期亦是 4,即()(4)fxfx,所以(5)f(14)f(1)2f .所以曲线()yf x在点5,(5)f处的切线的斜率为(5)f(1)2f .选(D).(2)【答案】(B)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x的(分段)表达式,然后再讨论()f x的性质.不能隔着极限号去讨论.【解析】现求()f x的(分段)表达式：当1x 时,21()lim1nnxf xx21 22lim1nnnnx

14、xx21 22lim01lim1nnnnnxxx0；当1x 时,21()lim1nnxf xx21 1lim1 1nn221；当1x 时,21()lim1nnxf xx 21 1lim11nn 020；当1x 时,21()lim1nnxf xx2lim 1lim 1nnnxx2011nxx1x.由此,0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.xxf xxxxx 当当当当当 即0,11,()1,1,1,1.xxf xxxx 当或当当 再讨论函数()f x的性质：在1x 处,1limxfx1lim 1xx1 1 0,1lim10 xfxf,所以,11limlim0 xxfxfx,函数()f x在

15、1x 处连续,不是间断点.在1x 处,1limxf x1lim 0 x0；1limxf x1lim 1xx2；所以 1limxf x 1limxfx,函数()f x在1x 处不连续,是第一类间断点.故选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法 1:由0AB 知()()3r Ar B,又0,0AB,于是1()3,r A 1()3r B,故0,0AB,即 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！221010101101 1(1)01 11111A,得1.应选(C).方法 2:由0AB 知()()3r Ar B,又0,0AB,于是1()3,r A

16、1()3r B,故0B.显然,1时1 1 11 1 11 1 1A,有1()3,r A故应选(C).作为选择题,只需在2 与1中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB 应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组0Ax 的解；二是秩的信息,即()()r Ar Bn,要有这两种思考问题的意识.(4)【答案】(B)【解析】1111 100(1)1101011001aaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa 1(1)0100(2)00100001naaaaaaa 其中(1)变换：将 1 行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第 1列.由阶梯形矩阵知,当1(1

17、)0na,即11an时,有()1r An,故应选(B).(5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim()1xF x,即 121lim()()()()xF xFaFbFab .在所给的四个选项中只有(A)满足1ab,故应选(A).【相关知识点】分布函数 F x的性质：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！y x O(1)F x单调不减；(2)lim()()0,lim()()1;xxF xFF xF (3)F x是右连续的.三、(本题满分 5 分)【解析】arctanarctan2222()()()yyxxdzed xyxyd e a

18、rctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan)122()()1()22(2)(2)yxyxyxyxyexdxydyxydxyexdxydyxydyxxxdyydxexdxydyxxexy dxyx dy 由全微分与偏微分的关系可知,其中dx的系数就是zx,即arctan(2)yxzxy ex.再对y求偏导数,得 222arctanarctanarctan222211(2).1yyyxxxzyxyxexy eeyx yxxyx 四、(本题满分 5 分)【解析】22(,)Dx y xyx表示圆心为1,02,半径为 12的圆及其内部,画出区域D,如右图.方法 1

19、:22(,)|01,Dx yxxxyxx 所以,221112000221x xx xDxdxdyxdxdyxxx dxxxdx,令1xt,则21xt,2dxtdt,:10t所以 上式1350122210082(1)(2)4(1)43515ttttt dttt dt.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！方法 2:引入极坐标系cos,sinxryr,于是(,)|,0cos22Drr,3coscos2220022320coscos48cos.515Dxdxdydrrdrdr drd 其中倒数第二步用了华里士公式：20134 2cos125 3

20、nnndnn,其中n为大于 1 的正奇数.五、(本题满分 6 分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r的情况下,现时的A(元)在t时的总收入为()ertR tA,反之,t时总收入为()R t的现值为()()ertA tR t,将250tRR e代入即得到总收入的现值与窖藏时间t之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为()ertA tR,而由题设,t年末的总收入250tRR e,据此可列出()A t：250()eetrtrtA tRR,令 dAdt250etrtdRdt2501e05trtRrt,得惟一驻点 02125ttr.22

21、d AdtddAdtdt2501e5trtdRrdtt 22550011ee55trttrtddRrRrdtdttt 2225500311510t rtt rtR erR ett 2250311510trtR ertt 01232502(12.5)0rt td AR erdt.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！根据极值的第二充分条件,知：0tt是()A t的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125tr年出售,总收入的现值最大.当0.06r 时,21250.06t 100119(年).【相关知识点】极值的第二充分条件：设

22、函数()f x在0 x处具有二阶导数且0()0fx,0()0fx,当0()0fx时,函数()f x在0 x处取得极大值；当0()0fx时,函数()f x在0 x处取得极小值.六、(本题满分 6 分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和,这种问题一般应将含有和的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证()()()()bafbaeefe.【解析】方法1:函数()f x在,a b上连续,在(,)a b内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数()f x在,a b上用拉格朗日中值定理,有()()()(),.f bf afba ab 又函数()f x与xe满足柯西中值定理的条件,将函数(

23、)f x与xe在,a b上用柯西中值定理,有 ()()(),baf bf afabeee,即()()()baff bf aeee（）.从而有 ()()()baffbaeee（）,即(),(,)()bafeeea bfba.方法 2：题中没有限制,因此取,即成为要去证存在(,)a b使.baeeeba 在,a b上对函数xe用拉格朗日中值定理,存在(,)a b使,1.babaeeeeeebaba即 再取,则()1()bafeeefba,原题得证.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足

24、在闭区间,a b上连续,在开区间,a b内可导,那么在,a b内至少有一点()ab,使等式()()()()f bf afba成立.2.柯西中值定理：如果函数()f x及()F x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间(,)a b内可导；(3)对任一(,)xa b,()0F x,那么在(,)a b内至少有一点,使等式()()()()()()f bf afF bF aF成立.七、(本题满分 6 分)【解析】(1)由21ynxn与21(1)1ynxn得1.(1)nan n 因图形关于y轴对称,所以,所求图形的面积为 220320112(1)1214122.(1)(1)33(1)(1)nna

25、nannSnxnxdxnnaaxdxn nn nn nn n(2)由(1)的结果知 414 11()3(1)31nnSan nnn,根据级数和的定义,111411414limlimlim 1.31313nnnknnnnkknkSSaakkn 八、(本题满分 7 分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线()yf x等围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积()V t与包含函数f的一个恒等式,这正是列方程的依据.【解析】由绕x轴旋转的旋转体体积公式得21()()tV tfx dx,于是,依题意得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚

26、为您提供优质的文档！221()()(1)3tfx dxt f tf,即2213()()(1)tfx dxt f tf.两边对t求导,化成微分方程 223()2()()fttf tt f t,其中()f t为未知函数.按通常以x表示自变量,y表示未知函数()f t,于是上述方程可写为 2232,x yyxy 即 23()2().dyyydxxx 这是一阶齐次微分方程.令yux,有dyduuxdxdx,则上式化为 2()32,duuxuudx 即 3(1).duxu udx (*)若0u,则0,yux不满足初始条件229xy,舍弃；若1u,则,yuxx也不满足初始条件229xy,舍弃；所以,0u,

27、且1u.由(*)式分离变量得3,(1)dudxu ux两边积分得31uCxu.从而方程(*)的通解为 3,yxCx y C为任意常数.再代入初值,由229xy,得1C ,从而所求的解为 33,(1).1xyxx yyxx 或【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.九、(本题满分 9 分)【解析】(1)对等式0T 两边取转置,有0TTT ,即0T.利用0T 及矩阵乘法的运算法则,有 22TTTA 00TTTT 0,即2A是n阶零矩阵.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如

28、有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(2)设是A的任一特征值,(0)是A属于特征值的特征向量,即A.对上式两边左乘A得2A()()AA 2,由(1)的结果20A,得220A,因0,故0(n重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式 11 11 2122 12221212,nnTnnnnnnaabababaa ba ba bAb bbaa ba ba b.不妨设110,0ab,则有 1 11 21122 12222 12221121212(0)1()01(2,)nnnnnnnnnnnnniabababbbba ba ba ba ba ba bEAaa ba

29、 ba ba ba ba bbbbaiin 行行加到 行00000 于是得方程组(0)0EA x同解方程组1 1220nnb xb xb x,这样基础解系所含向量个数为(0)1nrEAn.选2,nxx为自由未知量,将它们的组值111(,0,0),(0,0),(0,0,)bbb代入,可解得基础解系为 12123111(,0,0),(,0,0),(,0,0,)nnb bbbbb 则A的属于0的全部特征向量为1 12211nnkkk,其中121,nk kk为不全为零的任意常数.十、(本题满分 7 分)【分析】由于B是实对称矩阵,B必可相似对角化,而对角矩阵即B的特征值,只要求出B的特征值即知,又因正

30、定的充分必要条件是特征值全大于零,k的取值亦可求出.【解析】方法 1：由 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！210111020(2)(2)11101EA,可得A的特征值是1232,0.那么,kEA的特征值是2,2,kkk,而2()BkEA的特征值是222(2),(2),.kkk 又由题设知A是实对称矩阵,则,TAA故 222()()()TTTBkEAkEAkEAB,即B也是实对称矩阵,故B必可相似对角化,且 222(2)000(2)000kBkk.当20kk 且时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵.方法 2：由 21011102

31、0(2)(2)11101EA,可得A的特征值是1232,0.因为A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P使1220P AP ,即1AP P.那么 2211 21()()()BkEAkPPP PP kEP 1121()()().P kEP P kEPP kEP 即12()P BPkE.故222(2)000(2)000kBkk.当20kk 且时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵.【相关知识点】1.特征值的性质：若A有特征值,则A的特征多项式()f A有特征值()f.2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！O

32、 10 20 x y 2D 1D 10 20 十一、(本题满分 10 分)【解析】设Z表示商店每周所得的利润,当YX时,卖得利润为1000ZY(元)；当YX时,调剂了YX,总共得到利润 1000500()500()ZXYXXY(元).所以,1000,500(),.YYXZXYYX 由题设X与Y都服从区间10,20上的均匀分布,联合概率密度为 1,1020,1020,(,)1000,xyf x y其他.由二维连续型随机变量的数学期望定义得 1212202020101010202021010()1000(,)500()(,)111000500()100100105()310(20)5(1050)2

33、200005 150014166.67().3DDDDyyE Zy f x y dxdyxyf x y dxdyydxdyxydxdydyydxdyxy dxyy dyyydy 元 十二、(本题满分 9 分)【解析】记事件jB“第j次抽到的报名表是女生表”(1,2)j,iA“报名表是第i个地区的”(1,2,3)i.易见,123,A A A构成一个完备事件组,且 1112131(1,2,3),3375,.101525iP AiP B AP B AP B A(1)应用全概率公式,知 3111137529()3 10152590iiipP BP AP B A.(2)12qP B B.需先计算概率12

34、P B B与2P B.对事件12B B再次用全概率公式：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3121211377852020()3 10 915 1425 2490iiiP B BP AP B B A,由“抽签原理”可知2161()()90P BP B,12122()20 902090 6161()P B BqP B BP B.【相关知识点】1.全概率公式：如果事件1,nAA构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为(总体的样本空间)；并且 0,1,2,iP Ain,则对任一事件B有 1()(|)niiiP BP A P B A.