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1、精品资料1998考研数四真题及解析.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.)(1) 设曲线在点处的切线与轴的交点为则_.(2) _.(3) 设矩阵满足,其中,为单位矩阵,为 的伴随矩阵,则_.(4) 设均为阶矩阵,则_.(5) 设一次试验成功的概率为,进行100次独立重复试验,当_时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为_.(注：第一空2分,第二空1分)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设周期函数在内可导,周期为4,又,则曲线在点处的切线的斜率为 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数,讨论函数的间
2、断点,其结论为 ( ) (A) 不存在间断点 (B) 存在间断点(C) 存在间断点 (D) 存在间断点(3) 若向量组线性无关,线性相关,则 ( ) (A) 必可由线性表示 (B) 必不可由线性表示(C) 必可由线性表示 (D) 必不可由线性表示(4) 设是三个相互独立的随机事件,且,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设与分别为随机变量的分布函数.为使 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)求(为自然数).四、(本题满分6分)设,求与.五、(本题满分5分)设,求.六、(
3、本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定)就售出,总收入为(元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,年末总收入为.假定银行的年利率为,并以连续复利计算,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求时的值.七、(本题满分6分)设在上连续,在内可导,且,试证存在,使得.八、(本题满分9分)设直线与抛物线所围成图形的面积为,它们与直线所围成的图形面积为,并且.(1) 试确定的值,使达到最小,并求出最小值.(2) 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.九、(本题满分9分)设向量,都是非零向量,且满足条件. 记阶矩阵,求：(1) ；(2) 矩阵的特征值和特征向量.十、(本
4、题满分7分)已知下列非齐次线性方程组() () (1) 求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解；(2) 当方程组(II)中的参数为何值时,方程组(I)与(II)同解.十一、(本题满分8分)设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.十二、(本题满分8分)某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现在从中随机抽
5、取一件,记试求：(1) 随机变量与的联合分布；(2) 随机变量的相关系数.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】曲线在点处的切线斜率,根据点斜式,切线方程为：令,代入,则,即在轴上的截距为,. (2)【答案】【解析】由分部积分公式, .【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则或者(3)【答案】【解析】由题设 ,由于,所以可逆.上式两边左乘,右乘,得 (利用公式：) (移项)(矩阵乘法的运算法则)将代入上式,整理得.由矩阵可逆的定义,知均可逆,且.(4)【答案】【解析】均为阶矩阵,且,故均为阶可逆
6、矩阵,则有(利用公式：)(利用公式：)(利用公式：)(利用公式：).(代入)(5)【答案】【解析】100次独立重复试验,每次试验结果不是成功就是失败,则成功次数服从二项分布,的标准差.因为在上单调递增,所以求的最大值即是求的最大值,而驻点为.,所以为极大值点,由函数图像知即为最大值点.此时.此时.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：所以 因为周期为4,的周期亦是4,即,所以.所以曲线在点处的切线的斜率为.选(D).(2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该的(分段)表达式,然后再讨论的性质.不能隔着极限
7、号去讨论.【解析】现求的(分段)表达式：当时,；当时, ；当时, ；当时, .由此, 即再讨论函数的性质：在处,所以,函数在处连续,不是间断点.在处,；所以,函数在处不连续,是第一类间断点.故选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1：由向量组线性无关,知线性无关.又因线性相关,故必可由线性表出,因此必可由线性表示,从而选(C).方法2：由题设向量组线性无关,同时,由整体线性无关,任何部分也线性无关,知也线性无关.又由线性相关,所以,.故,故方程组有解,则可由线性表出.【相关知识点】1、定理：若线性无关,线性相关,则可由线性表出,且表示法唯一.2、整体线性无关,任何部分也线性无关.3、非齐次
8、线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,方程组有唯一解4、定理：能由线性表出为列向量的非齐次线性方程组有解.(4)【答案】B【解析】相互独立的随机事件中任何一部分事件,包括它们的和、差、积、逆等运算的结果必与其他一部分事件或它们的运算结果都是相互独立的.所以(A)、(C)、(D)三对事件必为相互独立的.当时,如果与独立,即与也独立,则有,也就是说 .因为,等式两边同除以,与题目已知条件矛盾.所以与不独立.(5)【答案】A【解析】根据分布函数的性质,得.只有A满足,所以选A.【相关知识点】分布函数的性质： (1) 单调不减；(2) (3) 是右连续的.三、(本题满分6分)【解析】此数列的极限可改为考
9、虑函数的极限.因为,故此为“”型极限.方法1： ,而 ,根据重要极限,所以所以, 所以, .方法2: 其中 ,从而 .【相关知识点】一般地,对于形如的函数,如果,那么 .四、(本题满分6分)【解析】 由全微分与偏微分的关系可知,其中的系数就是,即.再对求偏导数,得五、(本题满分5分)yxO【解析】表示圆心为,半径为的圆及其内部,画出区域,如右图.方法1: 所以, ,令,则,所以上式.方法2:引入极坐标系,于是,其中倒数第二步用了华里士公式：,其中为大于1的正奇数.六、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为的情况下,现时的(元)在时的总收入为,反之,时总收入为的现值为,将代入即得到
10、总收入的现值与窖藏时间之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏年末售出总收入的现值为,而由题设,年末的总收入,据此可列出：,令 ,得惟一驻点 .根据极值的第二充分条件,知：是的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏年出售,总收入的现值最大.当时, (年).【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且,当时,函数在处取得极大值；当时,函数在处取得极小值.七、(本题满分6分)【分析】本题中要证的结论中出现两个点和,这种问题一般要将含有和的分别移到等式两边,即本题只要证.由等式左端不难看出应考虑辅助函数.【解析】方法一:令,则在上满足拉格
11、朗日中值定理的条件,故存在,使.由条件,得.再令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在,使得,从而有,即 .方法二:由于本题中没有作的要求,因此,可取,即只要证明存在,使即可.作使满足罗尔定理条件,即在闭区间上连续,在开区间内可导,且,或.用“微分方程法”构造,将看成一个微分方程,分离变量,得,两边积分,得 化简,得 去掉绝对值符号,并改写常数,得.令 ,则,符合当初设想的要求,又,所以满足罗尔定理条件,故存在使,即,又,所以或写成.令,于是有.八、(本题满分9分)【分析】为解决(2)首先要求出(1)中的.为求,需根据和两种情况分别求出对应的和,利用导数方法判定的极小值点,然后比较两种情况
12、下的最小值,从而确定.【解析】(1)因为题中仅设,所以还应分与讨论.当时,如下图1,与的交点与.,求的极值,令,得,(舍去).又根据极值的第二充分条件,当时为极小值.因驻点惟一,故当时为最小. 11O11O 图1 图2再考虑时的情况.如上图2,此时,因此,在范围内,单调减,故当时取最小值,但是所以当时取得最小值,最小值为.(2)当时,计算该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.根据旋转体体积公式,有其中.代入,经计算,.【相关知识点】1、极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且,当时,函数在处取得极小值.2、由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：.九、(本题满
13、分9分)【解析】(1)对等式两边取转置,有,即.利用及矩阵乘法的运算法则,有,即是阶零矩阵.(2)设是的任一特征值,是属于特征值的特征向量,即.对上式两边左乘得,由(1)的结果,得,因,故(重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求的特征向量：先将写成矩阵形式.不妨设,则有 于是得方程组同解方程组,这样基础解系所含向量个数为.选为自由未知量,将它们的组值代入,可解得基础解系为则的属于的全部特征向量为,其中为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】所谓两个方程组()与()同解,即()的解全是()的解,()的解也全是()的解.若()的解()的解,且()的解=()的解,则()的解,()的解,那么
14、()的解()的解.【解析】(1)对方程组()的增广矩阵作初等行变换,有 其中,变换：将第1行分别乘以(-4)、(-3)加到第2行、第3行；变换：将第3行乘以(-1)加到第2行；变换：将第2行乘以(-4)加到第3行.由于,则由非齐次线性方程组有解的判定定理知,方程组()有无穷多解.方程组()对应齐次方程组的同解方程组为选为自由未知量,取,求得对应齐次方程的基础解系为；取,求得方程组()的特解为.故方程组()的通解为,其中是任意常数.(2) 将方程组()的通解代入到方程组()中,整理得因为是任意常数,故.此时方程组()的解全是方程组()的解(任意常数无关).此时,方程组()的增广矩阵,显然.所以(
15、)的解=()的解=()的解,()的解.因此,()的解也必是()的解,从而()与()同解.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组)设是矩阵,线性方程组,则（1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线表出.十一、(本题满分8分)【解析】需求量在区间上服从均匀分布,其概率密度为设进货量为,则销售所得利润与需求量有关.当时,进货量全售出得利润,差额从外调剂获利润；当时,销售得利润,多余数量作削价处理亏损了.所以利润函数为：再求得数学期望为：由题意利润期望值不少于9280元,所以由,用因式分解法解此不等式有因为为整数,所以为最小进货量.十二、(本题满分8分)【解析】(1)是二维离散型随机变量,其可能的取值为.当时,说明随机抽取的一件不是一等品,也不是二等品,则必为三等品,所以事件概率 类似地, 所以得到联合分布如下：010 1 0.1 0.1 0.8 00.9 0.10.20.8(2) 由上知,的边缘分布均为分布,由分布的数学期望和方差公式得二者乘积的数学期望和协方差为：所以由相关系数公式得.