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1、因式分解复习因式分解复习 (彭婷）彭婷）在在日日常常生生活活中中如如取取款款、上上网网等等都都需需要要密密码码有有一一种种用用“因因式式分分解解”法法产产生生的的密密码码，方方便便记记忆忆原原理理是是：如如对对于于多多项项式式x x4 4-y y4 4 ，因因式式分分解解的的结结果果是是(x x-y y)()(x x+y y)()(x x2 2+y y2 2)，若若取取x x=9=9，y y=9=9时，则各个因式的值是：时，则各个因式的值是：(x x-y y)=0)=0，(x x+y y)=18)=18，(x x2 2+y y2 2)=162)=162，于于是是就就可可以以把把“0181620
2、18162”作作为为一一个个六六位位数数的的密密码码对对于于多多项项式式 ，取取x x=10=10，y y=10=10时时，用用上上述方法产生的密码是：述方法产生的密码是：(写出一个即可写出一个即可)一创境导入二、二、学习目标学习目标:1 1、记忆理解记忆理解：能说出因式分解的意义，因式分解与整式乘能说出因式分解的意义，因式分解与整式乘法的区别和联系。法的区别和联系。能说出因式分解常用的方法。能说出因式分解常用的方法。能说出因式分解的一般步骤。能说出因式分解的一般步骤。2 2、应用应用：正确地掌握因式分解的三种基本方法，并能灵正确地掌握因式分解的三种基本方法，并能灵活运用它们进行因式分解。活运
3、用它们进行因式分解。三、自主学习三、自主学习请同学们思考解决下面问题请同学们思考解决下面问题1.1.什么叫多项式的因式分解什么叫多项式的因式分解?如何如何理解因式分解与整式乘法的关系：理解因式分解与整式乘法的关系：2.2.因式分解有几种常用方法？并因式分解有几种常用方法？并举例说明。举例说明。3.3.因式分解的一般思路是什么？因式分解的一般思路是什么？问题问题:什么叫多项式的因式分解什么叫多项式的因式分解?把一个多项式的化成了几个整把一个多项式的化成了几个整式的式的积积的形式，象这样的式子的形式，象这样的式子变形叫做这个多项式因式分解变形叫做这个多项式因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因
4、式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法的关系：下列各式从左到右的变形，那些是因式分下列各式从左到右的变形，那些是因式分解，那些不是？解，那些不是？因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二二次次三三项项式式型型：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)十字相乘法十字相乘
5、法因式分解的一般思路因式分解的一般思路先看有没有公因式先看有没有公因式提公因式提公因式看项数看项数二项二项三项三项检查检查因式分解是否彻底因式分解是否彻底完全平方公式完全平方公式十字相乘十字相乘有有无无提出以后提出以后平方差公式平方差公式二、提公因式法二、提公因式法1、公因式的确定方法：、公因式的确定方法：(1)系数：系数：取各系数的最大公约数取各系数的最大公约数(2)字母：字母：取各项相同的字母取各项相同的字母(3)相同字母指数：相同字母指数：取最低指数取最低指数2、变形规律：、变形规律：(1)xy=(yx)(2)(xy)2=(yx)2(3)(xy)3=(yx)3 (4)xy=(x+y)1.
6、如：如：多项式多项式8a2b2-12ab3c的各项的公因式是的各项的公因式是()A.abB.ab2C.4ab2D.8ab2三练习：()如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是()(A)x2+y2 (B)(x-y)2(C)(x+y)(x-y)(D)(x+y)2B()a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是()(A)(a-b)(a-c)(B)(a-b)(a-c)(C)(a+b)(a-c)(D)(a+b)(a+c)C例如：把下列各式分解因式例如：把下列各式分解因式(1)3x2-6xy-x (2)-24x2y-12xy2+28y3(2)(3)mn(m-
7、n)-(n-m)(4)m(m-n)2-n(n-m)2(1)3x2-6xy-x=x(3x-6y-1)(2)-24x2y-12xy2+28y3=-(24x2y+12xy2-28y3)=-4y(6x2+3xy-7y2)(3)mn(m-n)-(n-m)=mn(m-n)+(m-n)=(m-n)(mn+1)(4)m(m-n)2-n(n-m)2=m(m-n)2-n(m-n)2 =(m-n)2(m-n)=(m-n)3 注意：注意：n-m=-(m-n)(n-m)2=-(m-n)2=(m-n)2尝试练习尝试练习因式分解的一个重要工具因式分解的一个重要工具平方差公式平方差公式 a4+16=42-(a2)2=(4+a
8、2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)尝尝试试练练习习 例:(2)a3b-ab 解:a3b-ab =ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式 在在日日常常生生活活中中如如取取款款、上上网网等等都都需需要要密密码码有有一一种种用用“因因式式分分解解”法法产产生生的的密密码码，方方便便记记忆忆原原理理是是：如如对对于于多多项项式式x x4 4-y y4 4 ，因因式式分分解解的的结结果果是是(x x-y y)()(x x+y y)()(x x2 2+y y2 2)，若若取取x x=9=9，y y=9=9时，则各个因式的值是：时，则各个
9、因式的值是：(x x-y y)=0)=0，(x x+y y)=18)=18，(x x2 2+y y2 2)=162)=162，于于是是就就可可以以把把“018162018162”作作为为一一个个六六位位数数的的密密码码对对于于多多项项式式 ，取取x x=10=10，y y=10=10时时，用用上上述方法产生的密码是：述方法产生的密码是：(写出一个即可写出一个即可)创境导入完全平方式应具备什么特征？完全平方式应具备什么特征？它由三部分组成它由三部分组成,两两部部分分是是两两个个式式子子的的平平方方（或或两两个个数数的平方），且符号都是正号。的平方），且符号都是正号。第三部分是上面两个式子第三部分
10、是上面两个式子(或两个数）或两个数）积的二倍，符号可正可负。积的二倍，符号可正可负。2 22 22 2()2 2；2 22 22 2()2 2.x2-14x+49=x2-2x7+72=(x-7)2尝尝试试练练习习ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2 (a+b)2+6(a+b)+9=(a+b)2+2(a+b)3+32=(a+b)+32=(a+b+3)2利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法十字相乘法.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)用十字相乘法进行因式分解：(x+2)(x-3)1.x2-x-6=(x-3)(x+5)2.x2+2
11、x-15=(x+2)(x-5)3.x2-3x-10=(x-5)(x-4)4.x2-9x+20=(x-7)(x+4)5.x2-3x-28=(x+2)(x-4)6.x2-2x-8=(x-1)(x-3)7.x2-4x+3=(x+3)(x+4)(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)8.x2+7x+12=9.x2+5x+6=10.x2+4x-21=尝尝试试练练习习因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤:可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”.(1)(1)一一“提提”：先先看看多多项项式式的的各各项项是是否有公因式，若有必须先提出来否有公因式，若有必须先提出来.(2)(2)二二“套套”：若若多多项项
12、式式的的各各项项无无公公因因式式(或或已已提提出出公公因因式式)，第第二二步步则则看看 能能 不不 能能 用用 公公 式式 法法 或或 用用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：解：原式解：原式 (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2)2-(2ab)2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2 (a2+9)2-36a2=(a2+9)2-(6a)2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a2+6a+9)(a2-6a+9)=(a+3)2(a-3)2(x2+2x)2+2(x2+2x)+1=(x2+
13、2x)2+2(x2+2x)1+12=(x2+2x+1)2=(x+1)22=(x+1)4(m2-6)2-6(m2-6)+9=(m2-6)2-2(m2-6)3+32=(m2-6-3)2=(m2-9)2=(m-3)(m+3)2=(m-3)2(m+3)2(2)81m472m2n2+16n4=(9m2)22 9m2 4n2+(4n2)2=(9m24n2)2=(3m)2(2n)22=(3m+2n)(3m2n)2=(3m+2n)2(3m2n)2七、你来小结、因式分解的两种基本方法、因式分解的两种基本方法、因式分解的一般步骤、因式分解的一般步骤、按其项数试探分解方法：、按其项数试探分解方法：（1 1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式（两项为异号时）式（两项为异号时）（2 2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式因式强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。解为止。八推荐作业：八推荐作业：把下列各式分解因式把下列各式分解因式(4)81m472m2n2+16n4（1）x3-25x （2）-4y4+4y3-y2(3)4(xy)2 9(x+y)2（5）计算:7652172352 17