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1、第第 1课时课时第第2 3课时课时第第 4课时课时复习回顾复习回顾_1 xx_11xx_732xxxx 212xxx1462问题：问题：630可以被哪些整数整除？可以被哪些整数整除？630 = 23257新课引入新课引入试试看试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积)_2 xx_12x1xx11xx回忆前面整式的乘法回忆前面整式的乘法1112xxx上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整整式式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项这个多项式式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式 。分解因式分解因式因式
2、分解因式分解12x11xx因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形 依依照定义，判断下列变形是不是照定义，判断下列变形是不是因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积）4222xxx2334326xyyxyx2242232349xxxxxxyxyxyx222235创设情景创设情景abcmabcm方法一：方法一：S = m ( a + b + c )方法二：方法二：S = ma + mb + mcmm方法一：方法一：S = m ( a + b + c )方法二：方法二：S = ma + mb + mcm ( a + b + c
3、 ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是这个多项是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫式中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面这个式子的因式分解过程中，面这个式子的因式分解过程中，先先找到找到这个多项式的这个多项式的公因式公因式，再将，再将原式除原式除以公因式以公因式，得到一个新多项式，将这个多，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。项式与公因
4、式相乘即可。这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。 如何准确地找到多项如何准确地找到多项式的公因式呢？式的公因式呢？ 1、系数、系数 所有项的系数的所有项的系数的最大公因数最大公因数 2、字母、字母 应提取每一项都有的字母，应提取每一项都有的字母， 且字母的且字母的指数取最低指数取最低的的 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘cabba22159解：用提取公因式法因式分例题精
5、讲pqqppq3197952223234812ststts最大公因数为最大公因数为3= 3a的最低指数为的最低指数为1ab的最低指数为的最低指数为1b(3a5bc)= 4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=91做一做做一做 按照提公因按照提公因式法因式分解。式法因式分解。222323221. 049. 065312010563pqqpmnmnnmxyxyyxabcbamnmnyxyxyxcbacbayxyx22223243442323325984496322111744536提高训练提高训练( (一一) )349322256410476pqqpxyyyxxbcaacbcaabnmy
6、nmx因式分解：提高训练提高训练( (二二) )的值。，求，、已知22451mnnmmnnm201220112010222313、计算20113211111:2xxxxxxxxx、因式分解第第 3课时课时第第 2课时课时复习回顾复习回顾平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：22bababa2222bababa2222bababa2222bababa_22xx_52a_77mm42x25102aa49142mm新课引入新课引入12平方差公式平方差公式逆用逆用22 52逆用逆用bababa22bababa22 两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
7、数的和与这两个数的差的积。 尝试练尝试练习习( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)y2 4x2 (x2)2 12 (x21) ( 4x2 y2 )(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底 !x2 (x3)2xx(1+x)(1x)x2(1+x2)(1x2)(1+x)(1x) 在我们现学过的因式分解方法中，在我们现学过的因式分解方法中，先考虑先考虑提取公因式提取公因式，再考虑用，再
8、考虑用公式法公式法。6x(x+3y)(x3y)YXYXYX做一做做一做 利用平方差利用平方差公式因式分解。公式因式分解。232242222369162516141196169yxxyyxyxba2242222224249169babaqqpyxtnm提高训练提高训练( (一一) )1166323422xxxanmnmm因式分解： 设设m、n为自然数且满足为自然数且满足关系式关系式12+92+92+22+m2=n2，则则m = _，n = _。提高训练提高训练( (二二) )。和这两个整数是之间的两个整数整除，到能被、_706012148。、计算：402440222012201112106586
9、434221222222222 3、n是自然数，代入是自然数，代入n3 n中计算时，四个同学算出中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是如下四个结果，其中正确的只可能是( )( )。A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158复习回顾复习回顾2222bababa2222bababa2222bababa_44xx_72b_99mm1682 xx49142bb81182mm新课引入新课引入29991= (999+1)2 = 106完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方完全平方公式公式也可以也可以逆用逆用，从
10、而进行一些简便，从而进行一些简便计算与因式分解。计算与因式分解。即：即：2222bababa2222bababa 两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个倍，等于这两个数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。 牛刀小试牛刀小试( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2 形如形如a22ab+b2的式子的式子叫做叫做完全平方式完全平方式。 完全平方式一完全平方式一定可以利用
11、定可以利用完全平完全平方公式方公式因式分解因式分解完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的） 2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。222baba= (4x+3)2= (4x24xy+y2) = (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX做一做做一做 用完
12、全平方公用完全平方公式进行因式分解。式进行因式分解。sttsxxaa29132811822224202544122222224xxabccbanmnm做一做做一做 用恰当的方用恰当的方法进行因式分解。法进行因式分解。备选方法：备选方法：提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式996441122222222222xxxyxyxnmnmaa提高训练提高训练( (一一) )222222441482yxyxyxyxyxabba因式分解： 给给4x2+1加上一个单项式，加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是个单项式可以是 _。提高训练提
13、高训练( (二二) )。，则，、已知_04412cbacabba。，化简、若414110222xxxxx的形状并说明理由。判断，且满足的三边，是、已知ABCcabcbaABCcba0223222的最小值。、求多项式2008422122babaP提高训练提高训练( (三三) )。的最小值为则代数式，、已知_102222yzxzxyzyxyzayx。则，、已知_22221213222bcacabcbacbacba知识结构知识结构因式分解因式分解常用方法常用方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法一、
14、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然后用然后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所，把所得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。其他方法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。 接下来是一些常用的乘法公接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。式，可以逆用进行因式分解
15、。常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导 222222222222222212222122222221zyzxyxzyzyzx
16、zxyxyxyzxzxyzyxyzxzxyzyx222公式法公式法随堂练习：随堂练习：二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。三、十字相乘法三、十字相乘法(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq例例1：因式分解：因式分解x2+4x+31313+1+3p、q型因式分解型因式分解例例2：因式分解：因式分解x27x+10(2)(5)(2) + (5)25十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：三、十字相乘法三、十
17、字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）ac(ad+bc)bd二次项系数二次项系数常数项常数项= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124 + 3 = 721 3213522 + 15= 1113255 + 62 35= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。十字相乘法十字相乘法15244 10254简记口诀：简记口诀：首尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的
18、条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab ac) (bd cd)(b c)(b c)(a + d) 还有别还有别的解法的解法吗？吗？四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab + bd) (ac + cd)(a + d)(a + d)
19、(b c)例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。(x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。+2x2x2(x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1)五五*、拆项添项法、拆项添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解 拆项添项法对数学能力有着更拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式拆哪一项使得接下来可以继续
20、因式分解，要对结果有一定的分解，要对结果有一定的预见性预见性，尝试较多，做题较繁琐。尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项猜测猜测可能需要使用的公式，有时要可能需要使用的公式，有时要根据形式根据形式猜测猜测可能的系数。可能的系数。五五*、拆项添项法、拆项添项法+ 4x2 4x2都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习：配方法配方法配成完全平方式配成完全平方式因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。(b1)2配方法配方法 ( (拆项添项法拆项添项法)
21、)分组分解法分组分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式六六*、待定系数法、待定系数法试因式分解试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。设原式等于设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)333142baba54ba= 3= 1410 + 4双十字相乘法双十字相乘法二次六项式二次六项式因式分解因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345= 312 152 3435七七*、求根法、求根法更多的方法需要同学们自己去寻找更多的方法需要同学们自己去寻找 !多练才能拥有自己的解题智慧多练才能拥有自己的解题智慧 !综合训练综合训练( (一一) )1531439
22、2112233122254122442333324442232xxabccbaxxyyxxabbakxkxxxxxxx因式分解：综合训练综合训练( (二二) )。和这两个整数是之间的两个整数整除，到能被、_504017124。，整除，则能被、已知多项式_127321234baxxbxaxxx综合训练综合训练( (三三) )。则，满足、已知_22452201122yxyxyxyx。，则、已知_124333bababa总结训练总结训练( (一一) )的值。试求代数式的一个根，是方程、设131593320132123452aaaaaaxxa。，求满足方程组、已知正实数_2521822922222cbabcacabcbacbacba总结训练总结训练( (二二) )的值。的一个因式，求是、已知mymxyxyx434322的所有正整数解。、求方程24yxxy。、因式分解198719861987524xxx