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1、等腰三角形的判定苍南县求知中学苍南县求知中学 洪辉真洪辉真 整理整理第1页，本讲稿共26页1 1复习、等腰三角形的复习、等腰三角形的性质性质是什么？是什么？性质性质1 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：（可以简称：等边对等角等边对等角）2 2引入：引入：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？性质性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边等腰三角形的顶
2、角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合上的高互相重合(等腰三角形三线合一)一、温故知新一、温故知新第2页，本讲稿共26页如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等那么这两个角所对的边也相等.简写成简写成”等角对等边等角对等边”.2、你能证明、你能证明“等角对等边等角对等边”吗？吗？二、合作探究二、合作探究1、大胆猜想、大胆猜想第3页，本讲稿共26页已知：已知：ABC中，中，B=C求证：求证：AB=AC证明：证明：作作BAC的平分线的平分线AD在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边
3、相等）（全等三角形的对应边相等）1ABCD2还有其他证法吗？还有其他证法吗？AD平分平分BAC，1=2如果如果一个三角形一个三角形 有有两个角相等两个角相等，那么这两个那么这两个角所对的角所对的边也相等边也相等.注意：注意：“等角对等边等角对等边”的前提是的前提是一个一个 三角形三角形第4页，本讲稿共26页 如图如图,下列推理正确吗下列推理正确吗?A AB BC CD D211=2 BD=DC（等角对等边）（等角对等边）1=2 DC=BCABCD21（等角对等边）（等角对等边）错，错，因为都不是在因为都不是在同一个三角形同一个三角形中。中。辩一辩辩一辩第5页，本讲稿共26页3、等腰三角形的判定
4、：、等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个角相等如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个那么这两个角所对的边也相等角所对的边也相等.(简称为简称为:等角对等边等角对等边)4、等腰三角形的性质与判定有区别吗、等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:等边 等角判定是:等角 等边符号语言：符号语言：在在ABC中中 B=C AB=AC（等角对等边等角对等边）ABC第6页，本讲稿共26页5、归纳总结名名称称图图 形形概概 念念性质与边角关系性质与边角关系 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有两边相有两边相等的三角等的三角形是等腰形是等腰三角形。三角形。2.等边对等角等边对等角,
5、3.三线合一。三线合一。4.是轴对称图形是轴对称图形.2.等角对等边等角对等边1.两边相等。两边相等。1.1.两腰相等两腰相等.第7页，本讲稿共26页例例1 1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。求证：求证：AB=ACAB=AC已知：已知：如图，如图，CAE是是ABC的外角，的外角，AD平分平分CAE，ADBC。证明证明：ADBC，1=B（两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等）2=C（两直线平行两直线平行,内错角相等）内错角相等）AD平分平分CAE 1=2，B=C
6、，AB=AC(等角对等边）。等角对等边）。ABCDE12第8页，本讲稿共26页例例2、已知等腰三角形的底边等于、已知等腰三角形的底边等于a，底边，底边上的高等于上的高等于b，你能用尺规作图的方法作出，你能用尺规作图的方法作出这个等腰三角形吗？这个等腰三角形吗？abMDCBAN作法：（作法：（1）作线段）作线段BC，使，使BC=a；（2）作）作BC的的垂直平分线垂直平分线MN，交，交BC于于D；（3）在）在MN上截取上截取DA=h,得得A点；点；（4）连结）连结AB、AC，则，则 ABC即为所求等腰即为所求等腰三角形。三角形。第9页，本讲稿共26页问题：问题：1.1.如右图所示如右图所示ABCA
7、BC是等腰三角形是等腰三角形,AB=AC,AB=AC,倘若一不倘若一不留心留心.它的一部分被墨水涂没了它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边只留下一条底边BCBC和一个和一个底角底角C.C.同学们想一想同学们想一想,有没有办法把原来的等腰三角形有没有办法把原来的等腰三角形ABCABC重新画出来重新画出来?大家试试看大家试试看.A AB BC CB BC C方法一方法一：用角的相等来画：用角的相等来画.B BC CA A方法二方法二：用过一边中点作垂线的方法来画：用过一边中点作垂线的方法来画.A第10页，本讲稿共26页1.1.在在ABCABC中中,已知已知A=40,B=70,A=40,B=70,
8、试判断试判断ABCABC是什么三角形是什么三角形,为什么为什么?答答:ABC:ABC是等腰三角形。是等腰三角形。理由：理由：在在ABCABC中，中，A=40,B=70,C=180C=180A AB B（三角形内角和等于（三角形内角和等于180180）=180=180404070 70=70=70B=C=70B=C=70AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）即即ABCABC是等腰三角形是等腰三角形第11页，本讲稿共26页1、已知：如图，、已知：如图，ABC中，中，A=B=C求证：求证：AB=AC=BCABC证明：在证明：在ABC中中 A=B（已知）（已知）BC=CA（等角对等边）（等角
9、对等边）同理同理 CA=ABBC=CA=AB第12页，本讲稿共26页CBAD122、已知：如图，、已知：如图，A=DBC=360，C=720。计算计算1和和2，并说明，并说明图中有哪些等腰三角形图中有哪些等腰三角形？第13页，本讲稿共26页 解：解：1=720 2=360等腰三角形有：等腰三角形有：ABC ABDBCDCBAD12第14页，本讲稿共26页5 5、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=AC,A=36,AB=AC,A=36,你能把你能把ABCABC分成三个等腰分成三个等腰三角形吗三角形吗?(?(提供两提供两种种以上不同的作图方案以上不同的作图方案)ABCDEA BCD EABC动
10、手画一画动手画一画第15页，本讲稿共26页ABCABCABC第16页，本讲稿共26页3、如图，把一张矩形的纸沿对角线、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角形折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？吗？为什么？ABCGDE123解：重合部分是等腰三角形。理由：由ABDC是矩形知 ACBD 3=2由沿对角线折叠知 1=2 1=3 BG=GC（等角对等边）第17页，本讲稿共26页 证明：证明：BA=BC，BCA=A=60（等边对等角）（等边对等角）CE=CD，E=CDE=30（三角形外角性质）（三角形外角性质）BD是是AC边的中线，边的中线，DBC=30（等腰三角形的性质）
11、（等腰三角形的性质）DE=DB（等角对等边）（等角对等边）4如图，如图，ABC中，中，BC=BA，A=60，BD 是是AC边的中线，延长边的中线，延长BC到到E，使，使CE=CD，求证：求证：DE=DBABCDE第18页，本讲稿共26页5 5、上午、上午10 10 时，一条船从时，一条船从A A处出发以处出发以2020海里每小海里每小时的速度向正北航行，中午时的速度向正北航行，中午1212时到达时到达B B处，从处，从A A、B B望灯塔望灯塔C C，测得，测得NAC=40NAC=40，NBC=80NBC=80求从求从B B处到灯塔处到灯塔C C的距离的距离NBAC80804040北解：解：N
12、BC=A+CNBC=A+CC=80-40=40 C=80-40=40 BA=BC BA=BC（等角对等边）（等角对等边）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B处到达灯塔处到达灯塔C40C40海里海里第19页，本讲稿共26页五、综合运用五、综合运用1、如图、如图ABC中，中，AB=AC，B=36，D、E分别是分别是BC边上两点，且边上两点，且ADE=AED=2 BAD，则图中等腰三，则图中等腰三角形有（角形有（）个。）个。C共有6个。即ABC、ADE、AEC、ABD、BEDA ABE。ADC、第20页，本讲稿共26页3 3思考：思考：在在ABC
13、ABC中中,已知已知 ,BOBO平分平分ABC,COABC,CO平分平分ACBACB.（1 1）请问图中有多少个等腰三角形）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由说明理由.（2 2）线段）线段EFEF和线段和线段EB,FCEB,FC之间有没有关系之间有没有关系?若有若有是什么关系是什么关系?AB=ACABACB B0CAE EF F过点过点O O作直线作直线EF/BCEF/BC交交ABAB于于E,E,交交ACAC于于F.F.第21页，本讲稿共26页ABCDE4.4.已知在等腰已知在等腰ABCABC中，中，A=36A=36，B=72B=72，C=72C=72，请同，请同学们想一想，如何添一条线，将
14、等腰学们想一想，如何添一条线，将等腰ABCABC分成两个等腰分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？形？还可以继续吗？只要作只要作 B B的角平分线即可！的角平分线即可！只要再做只要再做 BDCBDC的角平分线即可！的角平分线即可！以下步骤重复下去即可！以下步骤重复下去即可！趣味数学趣味数学第22页，本讲稿共26页1.1.（烟台（烟台中考）如图，等腰中考）如图，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20.A=20.线段线段ABAB的的垂直平分线交垂直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC
15、于于E E，连接连接BEBE，则，则CBECBE等于等于()()A.80 B.70 C.60 D.50A.80 B.70 C.60 D.50【解析解析】选选C.C.因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC=ABC=（180-A180-A）=80=80，因为，因为DEDE垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以ABE=A=20ABE=A=20，所以所以CBE=ABC-ABE=80-20=60.CBE=ABC-ABE=80-20=60.A AE EC CB BD D第23页，本讲稿共26页2.2.（日照（日照中考）已知等腰梯形的底角中考）已知等腰梯形的底角为为4545，高高为为
16、2 2，上底，上底为为2 2，则则其面其面积为积为（）A.2 B.6 C.8 D.12A.2 B.6 C.8 D.12【解析解析】选选C.C.过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因为底角为为底角为4545，高为，高为2 2，则下底的长等于，则下底的长等于2+2+2=62+2+2=6，S=S=（2+62+6）2=8.2=8.3.3.（泰州（泰州中考）等腰中考）等腰ABCABC的两的两边长为边长为2 2和和5 5，则则第三第三边长为边长为 【解析解析】因为因为2,5,52,5,5能构成三角形，能构成三角形，2,2,52,2,5不能构成三角形，不能构成三角形，所
17、以第三边长为所以第三边长为5.5.答案：答案：5 5第24页，本讲稿共26页1、等腰三角形的判定方法有下列几种：、等腰三角形的判定方法有下列几种：。2、等腰三角形的判定定理与性质定理的、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是区别是 。3、运用等腰三角形的判定定理时，应注、运用等腰三角形的判定定理时，应注意意 。定义，定义，判定定理判定定理 条件和结论刚好相反。条件和结论刚好相反。在同一个三角形中在同一个三角形中第25页，本讲稿共26页6.在正方形在正方形ABCD内找一点内找一点P，使，使PAB、PBC、PCD、PAD都是等腰三角形，都是等腰三角形，这样的这样的P点有几个？在正方形点有几个？在正方形ABCD外呢？外呢？BACD答：在正方形内的答：在正方形内的P点有点有5个个 在正方形外的在正方形外的P点有点有4个，如图个，如图这些点的位置有什这些点的位置有什么特色呢？么特色呢？第26页，本讲稿共26页