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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 班级：一对一所授年级 +科目：学习必备欢迎下载高一数学授课老师：课次：第次同学：上课时间：教学目标教学重难点指数函数学问点总结（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地,假如xna,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0,记作n00；当n是奇数时,nana,当n是偶数时,nan|aaa0 |aa0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：amnama,0m ,nN* n1 ,am1n1ma,0m ,nN* n1 nnma0 的正分数指数幂等于an0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质
2、（1）arrarararsaa,0 ,r,sR； （2）r a sarsa0,r,sR ；（3）abas0r,sR （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0 ,且a1 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质名师归纳总结 a1 4 60a1 4 6第 1 页,共 10 页66554433221111-4-202-4-202-1-1定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R上单调递增在 R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数图象都过定点（0,1 ）图象都过定点（0,1 ）- -
3、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（ 1）在a ,b 上,fxaxa0 且a1 值域是fa,fb或fb,fa；（ 2）如x0,就xR；fx1；fx取遍全部正数当且仅当（ 3）对于指数函数fxaxa0 且a1 ,总有f1 a；1比较大小例 1 已知函数f x x2bxc 满意f1xf1x ,且f03,就f bx与f cx的大小关系是 _分析：先求 b,c的值再比较大小,要留意bx,cx的取值是否在同一单调区间内x 2 解：f1xf1x ,函数f x 的对称轴是x1故b2,又f03,c3函数f x 在
4、,上递减,在1, 上递增如x0,就 3x2x1,f3 xf2 x；如x0,就 3x2x1,fx 3 f综上可得f3 xf2 x,即f cxf bx评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行争论2求解有关指数不等式例 2 已知a22a53x a22 a51x,就 x 的取值范畴是 _分析：利用指数函数的单调性求解,留意底数的取值范畴解：a22 a5a12441,函数y a22 a5x在 , 上是增函数, 3x1x ,解得x1 4 x 的取值范畴是1 4, 评注：利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指
5、数式,并判定底数与1 的大小,对于含有参数的要留意对参数进行争论3求定义域及值域问题名师归纳总结 例 3 求函数y16x2的定义域和值域x20,故x2, 函数f x 的定义域是,第 2 页,共 10 页解：由题意可得16x20,即x 621,20 06x21,即 0t 1令t6x2,就y1t ,又x2,x 01t1,即 0y1, 函数的值域是01, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响4最值问题2 x x例 4 函数 y a 2 a 1 a 0 且 a 1 在区间 11, 上有最
6、大值 14,就 a 的值是 _分析：令 t a 可将问题转化成二次函数的最值问题,需留意换元后 xt 的取值范畴解：令 t a ,就 xt 0,函数 y a 2 x2 a x1 可化为 y t 1 22,其对称轴为 t 1当 a 1 时,x 11, ,1a xa,即1 aa a当 t a 时,y max a 1 22 14 , 解得 a 3 或 a 5（舍去）；当 0 a 1 时,x 11, ,aa x1,即 a 1,a a2t 1 时,y max 11 2 14,解得 a 1 或 a 1（舍去）；a a 3 5a 的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：
7、换元法,整体代入等5解指数方程t9例 5 解方程3x232x8090,令tx 3 t0,上述方程可化为9 t280t90,解得解：原方程可化为9x 3 2803x或t1（舍去）, 3x9,x2,经检验原方程的解是x29评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要留意验根6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数y93x5的图象,可以把函数y3x的图象（）5 个单位A向左平移9 个单位长度,再向上平移5 个单位长度B向右平移9 个单位长度,再向下平移5 个单位长度C向左平移2 个单位长度,再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度,再向下平移5 个单位长度分析：留意先将函数y93x5
8、转化为t3x25,再利用图象的平移规律进行判定解：y93x53x25,把函数y3x的图象向左平移2 个单位长度, 再向上平移长度,可得到函数y93x5的图象,应选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟识基本函数的图象,并把握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综合练习1 比较以下各组数的大小：（1）如,比较与；（ 2）如,比较与；（3）如,且,比较 a 与 b；（4）如,且,比较 a 与 b解：且（1）由,因
9、,故又,故从而,（2）由,故又,故从而（3）应有因如,就又,故,这样又因,故从而,就,这与已知冲突,这样有又因（4）应有因如又,故,故从而,这与已知冲突小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数 ,和的图象 , 就与 1 的大小关系是 . 名师归纳总结 分析 : 第一可以依据指数函数单调性, 确定 , 在轴右侧令 ,第 4 页,共 10 页对应的函数值由小到大依次为 , 故应选 . 小结 : 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第1 题是由数到形的转化, 第2 题就是由图到数的翻译 , 它的主要目的是提高同学识图, 用图的意识 . x+1-9 x 的最大
10、值和最小值3 已知 -1 x2, 求函数 fx=3+2 3解：设 t=3 x, 由于 -1 x2,所以 1t 9,且 fx=gt=-t-3 2+12, 3故当 t=3 即 x=1 时, fx 取最大值 12；当 t=9 即 x=2 时 fx 取最小值 -24 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 已知函数（学习必备）欢迎下载且（1）求的最小值；（ 2）如,求的取值范畴解：（ 1）当（2）,即时,有最小值为,解得当时,；当时,5（1）已知fx 3x21m是奇函数,求常数m的值；（2）画出函数y|3x1|的图象,并利用图象回答：k为何值时,方程|3 k无
11、解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1 （ 2）当 k0时,直线 y=k与函数y|3xx1|的图象无交点 , 即方程无解 ; 当k=0或k1时, 直线 y=k与函数y|3x1|的图象有唯独的交点,|31|的图象有两个不同交点,所以方程有两解；所以方程有一解; 当 0k1 的图像是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析 此题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想 . 解法 1： 分类争论 ：axx0 ,-x 是减函去肯定值,可得y1xx0 .又 a1,由指数函数图像易知,应选B. aa
12、1,所以当 x0 时, ya x 是增函数； x0 时, ya解法 2：由于 yax是偶函数,又数 . 一、挑选题名师归纳总结 1函数 f （x）=a2-1x在 R上是减函数,就a 的取值范畴是（）a2）第 7 页,共 10 页A、a1 B、a2 C、 a2 D、12. 以下函数式中,满意fx+1=1fx的是 2A、1x+1 B、x+1 C x 、 2 D、2-x 24、既奇且偶函数3. 以下 fx=1+ax2ax是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D4函数 y=2x1是（）2x1、非奇非偶函数A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D5函数 y=211的值域是（）、（-,-1
13、）（0,+xA、（-1,） B、（-,0）（0,+） C 、（-1 ,+） D6以下函数中,值域为R +的是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、y=521x B、y=11-x C学习必备欢迎下载 D、y=12x、y=1x1327已知 0a1,b0 与函数 y=1x,y=1x,y=232到下的排列次序是2 3 x 211函数 y=3 的单调递减区间是12如 f5 2x-1=x-2, 就 f125= 答案 1 、D；2、D；3、B； 4、A；5、D；6、B；7、 A 8.-,00,1 1,+ 9 （1）9,3 9 10 D、C、B、A 11（0,+）
14、 12 0 3三、解答题名师归纳总结 13、已知关于x 的方程 2a2x2 7ax1+3=0 有一个根是2, 求 a 的值和方程其余的根. 第 8 页,共 10 页解: 2a27a+3=0, a=1或 a=3. 2a=1时, 方程为 : 8 12x14 1x+3=0x=2 或 x=1 log23 222a=2 时, 方程为 : 1 22x7 2x+3=0x=2 或 x=1log32 2214、设 a 是实数,fxa2x21xR , 试证明对于任意a,fx 为增函数 . 证明：设x 1, x2R,且x 1x 2就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx 1
15、fx 2a22 1学习必备21 欢迎下载a2xx 12x x2 2 2 2 1 2 2 x x x x2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 由于指数函数 y= 2 x 在 R上是增函数 , 且 x 1 x 2 , 所以 2 x 1 2 x 2 即 2 x 1 2 x 2 0 得 2 x 1 +10, 2 x 2 +10, 所以 f x 1 f x 2 0 且 a 1 在 , + 上是增函数 , 求实数 a 的取值范畴 . a 9解: 由于 fx 递增,如设 x x 1 2 , 就fx 1 fx 2 = | a2 1 | a 1xa 1x a x 2a x 2 a 9= | a2 1 |
16、a 1xa x 2 1+a 1x a x 2 0, a 9故 a 29 a x 1a x 2 3; 2 2 , 解得 0a0 且 y 1. xx2y 4x+2 x+1+1 的定义域为R.2x0, y4 x+2x+1+12x2+2 2x+1 2x+121, y4x+2 x+1+1 的值域为 yy1. 17 已知 9x-10.3x+9 0,求函数 y=（1 ）4x-1-4 （1 ）2x+2 的最大值和最小值. 解：由已知得（3x）2-10 3 x+90 得（ 3x-9 ）（3x-1 ） 0 1 3 x9 故 0x2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而 y
17、=1 4x-1 -4 1 2x+2= 4 （1 ）2学习必备欢迎下载2x-4 （1 ）2x+2 令 t= （1 ）2x（1t1）,就 y=f （t ）=4t2-4t+2=4 （t-1 ）22+1 4当 t=1 即 x=1 时, y min=1 ； 当 t=1 即 x=0 时, y max=2. 218 已知函数 fx ax1 a0 且 a 1. ax11 求 fx 的定义域和值域；2 争论 fx 的奇偶性； 3 争论 fx 的单调性 . 解： 1 易得 fx的定义域为 xxR . 设 yax1, 解得 ax-y1ax1y1ax0 当且仅当 -y10 时,方程有解. 解-y1 10 得-1y1 时, a x+1 为增函数,且 a x+10. x 2 为减函数,从而 fx 1-x 2a xx 1 为增函数 . a 1 a 1 a 1x2 当 0a1 时,类似地可得 fx ax 1 为减函数 . a 1教案审核：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页