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1、学习必备欢迎下载指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1, 0(*nNnmaaanmnm) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的
2、概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递增在R 上单调递减非 奇 非 偶函数非 奇 非 偶函数函 数 图 象都 过 定 点（0，1）函 数 图 象都 过 定 点（ 0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a ，b 上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f （2）若0 x
3、，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数) 1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；指数函数例题解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12 x213321xx解(1) 定义域为xR且 x2值域 y0 且 y1(2) 由 2x+21 0，得定义域 x|x 2 ，值域为 y0(3) 由 33x-1 0，得定义域是 x|x 2 ， 033x13，值域是 0y3练习：（1）412xy；（2）| |2()3xy；（3）
4、1241xxy；【例 2】 指数函数yax， ybx， ycx， ydx的图像如图2 62 所示，则 a、b、 c、d、1 之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dc C b a1dc Dcd1ab 解选(c) ，在 x 轴上任取一点(x ，0) ，则得 b a1dc练习：指数函数满足不等式 , 则它们的图象是( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 3】 比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：248163235894512()(3)4.54.1_3.73.6解(1)y221()x
5、，函数 ， ，该函数在，上是增函数，又，222242821621338254912284162123135258389493859解 (2)0.6110.6 ， ，451245123232( )()解(3) 借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数y14.5x，y23.7x的图像如图263，取 x3.6 ，得 4.53.63.73.6 4.54.1 3.73.6说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的 (1) 若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1 作桥梁，如例2 中的 (2)
6、其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1) ，如例 2 中的 (3) 练习：（1） 1. 72. 5 与 1 . 73 ( 2 )0.10.8与0.20.8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载( 3 ) 1. 70. 3 与0. 93. 1 （）5. 31 .2和7.20 .2【例4】解比较大小与 且 ， 当 ， ， ，aaaaan nnnnnnnnnn n11111111(a0a1n1)0a1n10()() ，当 时，
7、， ， ，aaan naaan nnnnnn nnnnn1111111111()()()1a1n101【例 5】 作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x，( )121x(3)y 2|x-1| (4)y |1 3x| 解 (1)y(264)(0)(11)y1的图像如图 ，过点，及 ，是把函数的图像向左平移个单位得到的( )( )1212121xx解(2)y 2x2 的图像 (如图 2 65)是把函数y2x的图像向下平移2 个单位得到的解(3) 利用翻折变换， 先作 y2|x|的图像， 再把 y2|x|的图像向右平移1个单位，就得y 2|x-1|的图像 ( 如图 266) 解(4) 作函数 y
8、3x的图像关于x 轴的对称图像得y 3x的图像，再把y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载 3x的图像向上平移1 个单位，保留其在x 轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到( 如图 267)【例8】 已知f(x)(a1)aaxx11(1) 判断 f(x)的奇偶性； (2) 求 f(x)的值域； (3)证明 f(x) 在区间 ( ， )上是增函数解(1) 定义域是Rf(x)f(x)，aaaaxxxx1111函数 f(x) 为奇函数(2)yy1a1y1x函数 ，
9、 ，有 ，aayyyyxx1111110即 f(x)的值域为 ( 1，1) (3) 设任意取两个值x1、 x2( ， ) 且 x1x2f(x1) f(x2) ， ， ，故在 上为增函数aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x )f(x )f(x)R1212单元测试题一、选择题： （本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分）1、化简1111132168421212121212，结果是（）A、11321122B、113212 C、13212 D、13211222、44366399aa等于（）A、16aB、8
10、aC、4aD、2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载3、若1,0ab, 且22bbaa, 则bbaa的值等于（）A、6 B、2 C、2 D、2 4、函数2( )1xf xa在 R上是减函数，则a的取值范围是（）A、1a B、2a C、2a D、12a5、下列函数式中，满足1(1)( )2f xf x的是 ( ) A、1(1)2x B、14x C、2xD、2x6、下列2( )(1)xxf xaa是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D 、既奇且偶函数7、已知,0ab ab，下列不等式（1）2
11、2ab；(2)22ab；(3)ba11；(4)1133ab；(5)1133ab中恒成立的有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个8、函数2121xxy是（）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数9、函数121xy的值域是（）A、,1 B、,00, C 、1, D、(, 1)0,10、已知01,1ab, 则函数xyab的图像必定不经过（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、2( )1( )(0)21xF xf xx是偶函数，且( )f x不恒等于零，则( )f x( ) A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是
12、奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则n年后这批设备的价值为（）A、(1%)nab B、(1%)anb C、1( %) nab D、(1%)nab二、填空题： （本题共 4小题，每小题4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若103,104xy，则10 xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载14、函数22811( 31)3xxyx的值域是。15、函数22 33xy的单调递减区间是。16、若21(5)2xfx，则(125)f。三、解答题：
13、 （本题共 6小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）17、设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa。18、已知3,2x，求11( )142xxfx的最小值与最大值。19、设aR，22( )()21xxaaf xxR，试确定a的值，使( )fx为奇函数。20、已知函数22513xxy，求其单调区间及值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载21、若函数43 23xxy的值域为1,7，试确定x的取值范围。22、已知函数1( )(1)1xxafxaa (1) 判断函数的
14、奇偶性； (2)求该函数的值域；(3) 证明( )f x是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案一、题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A C C D D B C A D A A D 二、 13、4314、991,33，令222812(2)9Uxxx，31,99xU,又13Uy为减函数，99133y。15、0,，令23 ,23UyUx， 3Uy为增函数，22 33xy的单调递减区间为0,。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载16、 0 ，32 2 1(125)(5 )(
15、5)220fff三、 17、01a, xya在,上为减函数，22232223xxxxaa, 222322231xxxxx18、221113( )142122124224xxxxxxxf x, 3,2x, 1284x. 则当122x,即1x时 ,( )f x有最小值43；当28x, 即3x时，( )f x有最大值57。19、要使( )fx为奇函数，xR, 需( )()0f xfx, 1222( ),()212121xxxxf xafxaa, 由12202121xxxaa, 得2(21)2021xxa,1a。20、令13Uy,225Uxx， 则y是关于U的减函数， 而U是, 1上的减函数，1,上的
16、增函数，22513xxy在, 1上是增函数，而在1,上是减函数，又2225(1)44Uxxx, 22513xxy的值域为410,3。21、243 2323 23xxxxy，依题意有22(2 )3 237(2 )3 231xxxx即1242221xxx或，224021,xx或由函数2xy的单调性可得(,01,2x。22、 （1）定义域为xR, 且11()( ),( )11xxxxaafxf xfxaa是奇函数；（2）1222( )1,11,02,111xxxxxafxaaaa即( )fx的值域为1,1；（3）设12,x xR, 且12xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载12121212121122()()011(1)(1)xxxxxxxxaaaaf xf xaaaa( 分母大于零，且12xxaa) ( )f x是R上的增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页