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1、3.1.3 频率与概率频率与概率 2021/8/9 星期一1投掷硬币的试验：投掷硬币的试验：虽然我们不能预先判断出现正面向上，虽然我们不能预先判断出现正面向上，还是反面向上。但是假定硬币均匀，直观还是反面向上。但是假定硬币均匀，直观上可以认为出现正面与反面的机会相等。上可以认为出现正面与反面的机会相等。即在大量试验中出现正面的频率接近于即在大量试验中出现正面的频率接近于0.5.历史上有些学者做过成千上万次的投历史上有些学者做过成千上万次的投掷硬币的试验。结果如下表：掷硬币的试验。结果如下表：2021/8/9 星期一2实验者实验者试验次数试验次数(n)出现正面的出现正面的次数次数(m)出现正面的
2、出现正面的频率频率(m/n)棣莫佛棣莫佛204810610.5181蒲蒲 丰丰404020480.5069费费 勒勒1000049790.4979皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005抛硬币试验抛硬币试验2021/8/9 星期一3 我们可以设想有我们可以设想有1000人投掷硬币，如人投掷硬币，如果每人投果每人投5次，计算每个人投出正面的频次，计算每个人投出正面的频率，在这率，在这1000个频率中，一般说，个频率中，一般说，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 都会有。而且会都会有。而且会有不少是有不少是0或或1；如果要求每个人投如果要求每个人投
3、20次，这时频率为次，这时频率为0，0.05，0.95，1的将会变少；多数频率的将会变少；多数频率在在0.350.65之间，甚至于比较集中在之间，甚至于比较集中在0.40.6之间；之间；2021/8/9 星期一4 如果要求每人投掷如果要求每人投掷1000次，这时绝大多次，这时绝大多数频率会集中在数频率会集中在0.5附近，和附近，和0.5有较大差距有较大差距的频率值也会有，但这样的频率值很少。的频率值也会有，但这样的频率值很少。而且随着投掷次数的增多，频率越来越而且随着投掷次数的增多，频率越来越明显地集中在明显地集中在0.5附近。附近。人们经过大量试验和实际经验的积累逐人们经过大量试验和实际经验
4、的积累逐渐认识到：在多次重复试验中，同一事件渐认识到：在多次重复试验中，同一事件发生的发生的频率在某一数值附近摆动频率在某一数值附近摆动，而且随，而且随着试验次数的增加，一般着试验次数的增加，一般摆动幅度越小摆动幅度越小，2021/8/9 星期一5 频率呈现一定的频率呈现一定的稳定性稳定性，频率的稳定，频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小。的大小。事件的频率稳定在某一事件的频率稳定在某一数值数值附近，我附近，我们就用这一数值表示事件发生的们就用这一数值表示事件发生的可能性可能性大小大小。2021/8/9 星期一6事件的概率事件的概率 一般地，在一
5、般地，在n次重复进行的试验中，事次重复进行的试验中，事件件A发生的频率发生的频率 ，当，当n很大时，总在某很大时，总在某个常数附近摆动，随着个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为的概率，记为P(A).由定义可得概率由定义可得概率P(A)满足：满足：2021/8/9 星期一7必然事件与不可能事件可看作随机事必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况件的两种特殊情况.注意点：注意点：1.随机事件随机事件A的概率范围的概率范围因此，随机事件发生的概率都满足：因此，随机事件发生的概率都满足：0P(A
6、)12021/8/9 星期一82.2.频率与概率的关系频率与概率的关系(1)联系联系:随着试验次数的增加随着试验次数的增加,频率会在频率会在概率的附近摆动概率的附近摆动,并趋于稳定并趋于稳定.在实际问题中在实际问题中,若事件的概率未知若事件的概率未知,常用常用频率作为它的估计值频率作为它的估计值.(2)区别区别:频率本身是随机的频率本身是随机的,在试验前不能在试验前不能确定确定,做同样次数或不同次数的重复试验做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同得到的事件的频率都可能不同.而概率是一个而概率是一个确定数确定数,是是客观存在客观存在的的,与与每次试验无关每次试验无关.2021/
7、8/9 星期一9例例1.为了确定某类种子的发芽率，从一大为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干批作发芽试验，其结果批种子中抽出若干批作发芽试验，其结果如下：如下：种子粒数种子粒数257013070020003000发芽粒数发芽粒数246011663918062713发芽率发芽率0.960.857 0.892 0.913 0.903 0.904 从以上的数据可以看出，这类种子的发从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为芽率约为0.9.2021/8/9 星期一10例例2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：如下：时间
8、时间1999年年2000年年2001年年2002年年出生婴儿数出生婴儿数21840230702009419982出生男婴数出生男婴数11453120311029710242(1)试计算男婴各年出生频率（精确到试计算男婴各年出生频率（精确到0.001）；）；(2)该市男婴出生的概率约是多少？该市男婴出生的概率约是多少？(1)1999年男婴出生的频率为：年男婴出生的频率为：解：解：同理可求得同理可求得2000年、年、2001年和年和2002年男婴出生的频率分别为：年男婴出生的频率分别为：0.521,0.512,0.512.(2)各年男婴出生的频率在各年男婴出生的频率在0.510.53之间，故该市男
9、婴出生之间，故该市男婴出生 的概率约是的概率约是0.52.2021/8/9 星期一11概率的意义概率的意义 像木棒有长度，土地有面积一样，像木棒有长度，土地有面积一样，概率概率是对随机事件发生的可能性大小的度量是对随机事件发生的可能性大小的度量，它反映了随机事件发生的它反映了随机事件发生的可能性可能性的大小。的大小。但随机事件的概率大，并不表明它在每一但随机事件的概率大，并不表明它在每一次试验中一定能发生。概率的大小只能说次试验中一定能发生。概率的大小只能说明随机事件在一次试验中发生的可能性的明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小，即随机性中含有的规律性。认识了大小，即随机性中含有的规律性。
10、认识了这种随机性中的规律性，就使我们能比较这种随机性中的规律性，就使我们能比较准确地预测随机事件发生的可能性。准确地预测随机事件发生的可能性。2021/8/9 星期一12例例2.如果某种彩票的中奖概率为如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？张这种彩票一定能中奖吗？解：买解：买1000张彩票相当于张彩票相当于1000次试验，对次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，即有于一次试验来说，其结果是随机的，即有可能中奖，也有可能不中奖，但这种随机可能中奖，也有可能不中奖，但这种随机性又呈现一定的规律性，性又呈现一定的规律性，“彩票的中奖概彩票的中奖概率为率
11、为1/1000是指当试验次数相当大，即随是指当试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有着购买彩票的张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。的彩票中奖。2021/8/9 星期一13 因此，买因此，买1000张彩票，即做张彩票，即做1000次试次试验，其结果仍是随机的，可能一次也没验，其结果仍是随机的，可能一次也没有中奖，也可能中奖一次、二次、甚至有中奖，也可能中奖一次、二次、甚至多次。多次。2021/8/9 星期一14例例3.在生活中，我们有时要用抽签的方法在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情，例如来决定一件事情，例如5张票中有张票中有1张奖票，张奖票，5个人按顺序从中各抽
12、个人按顺序从中各抽1张以决定谁得到其张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽或是后抽（后抽人中的奖票，那么，先抽或是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果）对各人来说公不知道先抽人抽出的结果）对各人来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率相平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率相等吗？等吗？2021/8/9 星期一15解：解：不妨把问题转化为排序问题，即把不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置张票随机地排列在位置1，2，3，4，5上，上，对于这张奖票来说，由于是随机排列，因对于这张奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有此它的位置有5种可能，故它排在任一位置种可能，故它排在任一位置上的概率都
13、是上的概率都是 。5个人按排定的顺序去个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第抽，比如甲排在第1位上，那么他抽得奖票位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第的概率，即奖票恰好排在第1个位置上的概个位置上的概率为率为 。因此，不管排在第几位上去抽，。因此，不管排在第几位上去抽，在不知前面的人抽出结果的前提下，得到在不知前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是奖票的概率都是 。2021/8/9 星期一16例例4.生活中，我们经常听到这样的议论：生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为天气预报说昨天降水概率为90%，结果，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确根本一点雨都没下，
14、天气预报也太不准确了。了。”学了概率后，你能给出解释吗？学了概率后，你能给出解释吗？解：天气预报的解：天气预报的“降水降水”是一个随机事件，是一个随机事件，概率为概率为90%指明了指明了“降水降水”这个随机事件这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为概率为90%的事件也可能不出现，因此，的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨昨天没有下雨”并不说明并不说明“昨天的降水昨天的降水概率为概率为90%”的天气预报是错误的。的天气预报是错误的。2021/8/9 星期一17例例5.从一批准备出厂的电视机中，随机从一批准备出厂的电视机中，随机抽取抽取10台进行质量检查，其中有一台是次台进行质量检查，其中有一台是次品，能否说这批电视机的次品的概率为品，能否说这批电视机的次品的概率为0.10?解：这种说法是错误的解：这种说法是错误的.概率是在大量试验的基础上得到的，更概率是在大量试验的基础上得到的，更是多次试验的结果，它是各次试验频率的是多次试验的结果，它是各次试验频率的抽象，题中所说的抽象，题中所说的0.10，只是一次试验的，只是一次试验的频率，它不能称为概率频率，它不能称为概率 2021/8/9 星期一18