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1、指数与指数函数2021/8/9 星期一1一、整数指数幂的运算性质一、整数指数幂的运算性质二、根式的概念二、根式的概念 如果一个数的如果一个数的 n 次方等于次方等于 a(n1 且且 nN*),那么这个数叫那么这个数叫做做 a 的的 n 次次方方根根.即即:若若 xn=a,则则 x 叫叫做做 a 的的 n 次次方方根根,其其中中 n1且且 nN*.式子式子 a 叫做根式叫做根式,这里这里 n 叫做叫做根指数根指数,a 叫做叫做被开被开方数方数.n(1)aman=am+n (m,nZ);(2)aman=am-n (a 0,m,nZ);(3)(am)n=amn (m,nZ);(4)(ab)n=anb
2、n (nZ).2021/8/9 星期一2三、根式的三、根式的性质性质5.负数没有偶次方根负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.1.当当 n 为为奇奇数数时时,正正数数的的 n 次次方方根根是是一一个个正正数数,负负数数的的 n 次方根是一个负数次方根是一个负数,a 的的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示.n 2.当当 n 为偶数时为偶数时,正数的正数的 n 次方根有两个次方根有两个,它们互为相反它们互为相反数数,这时这时,正数的正的正数的正的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示,负的负的 n 次方次方根用符号根用符号-a 表示表示.正负两个正负两个
3、n 次方根可以合写为次方根可以合写为 a(a0).nnn3.(a)n=a.n4.当当 n 为奇数时为奇数时,an=a;n当当 n 为偶数时为偶数时,an=|a|=na (a0),-a(a0,且且a 1)叫做叫做指数函数指数函数,其中其中 x 是自是自变变量量,函数的定函数的定义义域是域是 R.六、指数函数六、指数函数a =am,a-=(a0,m,nN*,且且 n1).nmnnmnma1(1)aras=ar+s (a0,r,sQ);(2)aras=ar-s (a0,r,sQ);(3)(ar)s=ars (a0,r,sQ);(4)(ab)r=arbr (a0,b0,rQ).2021/8/9 星期一
4、4图图象象性性质质yox(0,1)y=1 y=ax(a1)a1yox(0,1)y=1 y=ax(0a1)0a0,a 1)图象经过第二、三、四象限图象经过第二、三、四象限,则一定有则一定有()A.0a0 B.a1,b0 C.0a1,b1,b0 2.若若 0a1,bab B.bac C.abc D.acb 12 4.若若 0ab(1-a)b B.(1+a)a(1+b)b C.(1-a)b(1-a)D.(1-a)a(1-b)bb12bCADDC 5.设设 a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则则()A.cab B.bac C.abc D.acb 2021/8/9 星期一6典型例题典型例题
5、1.化简下列各式化简下列各式:(1)(1-a);(a-1)3 14(2)xy2 xy-1 xy;34=-a-1.=xy.解解:(1)原式原式=(1-a)(a-1)-43=-(a-1)(a-1)-43=-(a-1)41(2)原式原式=xy2(xy-1)(xy)213121=(xy2x y-)x y 3121212121=(x y )x y 2323312121=x y x y 21212121(3)(1-a)(a-1)-2(-a).2121a-11),求求 的值的值.a1x-x2-1 x2-1 解解:以以 x+x2-1、x-x2-1 为根构造方程为根构造方程:t2-2xt+1=0,即即:t2-(
6、a+)t+a =0,a1a1a1t=a 或或 .x+x2-1 x-x2-1,a1,x-x2-1=.x+x2-1=a,a1 x2-1=(a-),12a1原式原式=(a-)12a1a1=(a-1).12解法二解法二:将已知式整理得将已知式整理得:(a)2-2x a+1=0 或或()2-2x()+1=0.a1a1 a ,a1 a=x+x2-1,=x-x2-1,a1以下同上以下同上.2021/8/9 星期一9 6.已知函数已知函数 f(x)=3x 且且 f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x 的定义域为的定义域为 0,1.(1)求求 g(x)的解析式的解析式;(2)求求 g(x)的单调区间的单
7、调区间,确定其增确定其增减性并用定义证明减性并用定义证明;(3)求求 g(x)的值域的值域.f(a+2)=3a+2=18.解解:(1)f(x)=3x 且且 f-1(18)=a+2,3a=2.g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.即即 g(x)=2x-4x.(2)令令 t=2x,则则函数函数 g(x)由由 y=t-t2 及及 t=2x 复合而得复合而得.由已知由已知 x 0,1,则则 t 1,2,t=2x 在在 0,1 上单调递增上单调递增,y=t-t2 在在 1,2 上单调递减上单调递减,g(x)在在 0,1 上单调递减上单调递减,证明如下证明如下:g(x)的定义域区间的定义域区间 0,1
8、为函数的单调递减区间为函数的单调递减区间.对于任意的对于任意的 x1,x2 0,1,且且 x1x2,g(x1)-g(x2)0 x1x21,2x1-2x20 且且 1-2x1-2x2g(x2).故函数故函数 g(x)在在 0,1 上单调递减上单调递减.=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)0.2021/8/9 星期一10 x 0,1 时有时有:解解:(3)g(x)在在 0,1 上单调递减上单调递减,g(1)g(x)g(0).g(1)=21-41=-2,g
9、(0)=20-40=0,-2g(x)0.故故函数函数 g(x)的值域为的值域为-2,0.6.已知函数已知函数 f(x)=3x 且且 f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x 的定义域为的定义域为 0,1.(1)求求 g(x)的解析式的解析式;(2)求求 g(x)的单调区间的单调区间,确定其增确定其增减性并用定义证明减性并用定义证明;(3)求求 g(x)的值域的值域.2021/8/9 星期一11 7.设设 a0,f(x)=-是是 R 上的奇函数上的奇函数.(1)求求 a 的值的值;(2)试判断试判断 f(x)的反函数的反函数 f-1(x)的奇偶性与单调性的奇偶性与单调性.aexaex解解:
10、(1)f(x)是是 R 上的奇函数上的奇函数,f(0)=0,即即-a=0.1aa2=1.a0,a=1.(2)由由(1)知知 f(x)=ex-e-x,x R,f(x)R.f(x)是奇函数是奇函数,f(x)的反函数的反函数 f-1(x)也是奇函数也是奇函数.y=e-x 是是 R 上的减函数上的减函数,y=-e-x 是是 R 上的增函数上的增函数.又又 y=ex 是是 R 上的增函数上的增函数,y=ex-e-x 是是 R 上的增函数上的增函数.f(x)的反函数的反函数 f-1(x)也是也是 R 上的增函数上的增函数.综上所述综上所述,f-1(x)是奇函数是奇函数,且是且是 R 上的增函数上的增函数.此时此时,f(x)=ex-e-x是是 R 上的奇函数上的奇函数.a=1 即为所求即为所求.2021/8/9 星期一12