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1、 反函数2021/8/9 星期一1一个学生到超市笔记本一个学生到超市笔记本,每个每个2 2元元(1)(1)所用钱数所用钱数y y与购买个数与购买个数X X之间的关系式之间的关系式是是 _ _(2)(2)购买个数购买个数X X与所用钱数与所用钱数y y之间的关系式之间的关系式是是 _y=2x (xN)x=y/2x=y/2(y B)是函数吗是函数吗?是是我们把我们把 x=y/2 (y B)叫做叫做y=2x (xN)的的反函数反函数.(y B)B=y|y=2n,nN2021/8/9 星期一2函数函数函数函数y=2xy=2xx=y/2x=y/2x,yx,y的关系的关系的关系的关系 对应法则对应法则对应
2、法则对应法则定义域定义域定义域定义域值域值域值域值域x是自变量是自变量,y是函数是函数自变量的自变量的2倍倍NBBB=y|y=2n,nNy是自变量是自变量,x是函数是函数自变量的自变量的1/2倍倍N2021/8/9 星期一31.由由y=2x得出得出x=y/2.3.把把x=y/2 (xB)叫做叫做y=2x(xN)的反函数的反函数.原来函数原来函数y=2x(xN)值域是值域是B=y|y=2n,nN2.判断出判断出x=y/2 (yB)也是函数也是函数即：对于即：对于y在在B中的任何一个值通过式子中的任何一个值通过式子x=y/2,x在在N中都有唯一的值和它对应中都有唯一的值和它对应4.对调对调x,y的
3、位置的位置,得到得到y=x/2 (x B)5.把把y=x/2 (xB)叫做叫做y=2x (xN)的反函数的反函数.2021/8/9 星期一4记作：记作：x=f-1(y)字母字母x、y互换，得互换，得 y=f-1(x)一般地，函数一般地，函数y=f(x)(x A)中中,设它的值域为设它的值域为C,我们根据我们根据这个函数中这个函数中x,y的关系，用的关系，用y把把x表示出，得到表示出，得到x=(y),如果如果对于对于 y在在 C中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过x=(y),x在在A中都有中都有唯一的值和它对应，那么，唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示就表示y是自变量，是自变量，x是自
4、变量是自变量y的函数，这样的函数的函数，这样的函数x =(y)（y C)叫做函叫做函数数y=f(x)(x A)的反函数。的反函数。在函数在函数x=f-1（y）中，）中，y是自变量，是自变量，x表示函数。表示函数。一一.反函数定义：反函数定义：2021/8/9 星期一5定义域定义域值域值域原来函数原来函数反函数反函数CCAA解析式解析式y=f(x)y=f-1(x)反函数与原来函数的联系反函数与原来函数的联系所有的函数都存在反函数吗所有的函数都存在反函数吗?2021/8/9 星期一6函数函数y=x2具有反函数吗具有反函数吗?2021/8/9 星期一7 y=x2y=xy=x2 2本身不具有反函数本身
5、不具有反函数,请问如何改变它的定义域请问如何改变它的定义域使其具有反函数使其具有反函数?反函数反函数反函数反函数AB1-12-214 y=x22021/8/9 星期一81、不是每一个函数都有反函数；一个函数有反、不是每一个函数都有反函数；一个函数有反函数的充要条件是它相应的函数的充要条件是它相应的映射是一一映射；映射是一一映射；2、原函数与反函数的法则互逆；它们互为、原函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数；反函数；4、原函数与反函数的定义域与值域互换。原函数与反函数的定义域与值域互换。3、反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；、反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；二、对反函数定义的理解
6、二、对反函数定义的理解2021/8/9 星期一9解：解：（1）由）由 函数函数 ，解得，解得 所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是 例例1求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：（1）（2）（3）（4）（2）由）由 函数函数 ，解得，解得 所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是（3）由）由 函数函数 ，解得，解得 所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是（4）由）由 函数函数 ，解得，解得 所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是2021/8/9 星期一10(1).解：解：原函数的定义域是原函数的定义域是xR，它的它的值域是值域是yR；由由y=3x-1，反解得，反解得 将字母将字
7、母x、y互换互换，得，得 所以，函数所以，函数y=3x-1的反函数是的反函数是2021/8/9 星期一111、写出原函数的定义域和值域写出原函数的定义域和值域2、由、由y=f（x）反解得反解得x=f-1(y)3、把把x、y互换互换4、写出反函数的定义域写出反函数的定义域三、求反函数的步骤：三、求反函数的步骤：2021/8/9 星期一12强化训练强化训练B2021/8/9 星期一132.求函数求函数y=0 (x=0)的反函数的反函数.(x0)(x 1 x 1 x 12021/8/9 星期一142、已知函数已知函数y=x2-1(x -2),则则f-1(4)=_1、求函数求函数的反函数的反函数3、已
8、知函数已知函数 的反函数是其本身，则的反函数是其本身，则 a=-1练习练习:2021/8/9 星期一15课堂小结1 1 反函数的定义反函数的定义2 2 求反函数的步骤求反函数的步骤3 3 并不是所有的函数都具有反函数并不是所有的函数都具有反函数只有满足一一映射的函数只有满足一一映射的函数才具有反函数才具有反函数(1)反解出反解出x (2)交换交换x,y的位置的位置 (3)求出原函数的值域求出原函数的值域 作为反函数的定义域作为反函数的定义域(4)下结论下结论2021/8/9 星期一161.课本课本P64习题第习题第1题中的单号题题中的单号题,第第2题题2.一课一练一课一练 作业作业:2021/
9、8/9 星期一17反函数反函数第二第二课时2021/8/9 星期一18思考思考:若函数若函数y=f(x),x Ay=f(x),x A是定义域上的增函数是定义域上的增函数,试问该函试问该函数是否有反函数数是否有反函数?其反函数在自身定义域内是否是单其反函数在自身定义域内是否是单调函数调函数?结论结论:若若y=f(x)y=f(x)在定义域内是单调函数在定义域内是单调函数,则则y=f(x)y=f(x)有反有反函数函数y=fy=f-1-1(x),(x),并且并且y=fy=f-1-1(x)(x)在自身定义域内也是单调在自身定义域内也是单调函数函数,其单调性与原函数的单调性是一致的其单调性与原函数的单调性
10、是一致的.2021/8/9 星期一19例例1:(1)(1)已知函数已知函数y=f(x),xA,y Cy=f(x),xA,y C有反函数有反函数y=fy=f-1 1(x)(x)x C,x C,则则f(ff(f-1-1(x)=_,(x)=_,其中其中(x C)(x C)f f-1-1(f(x)=_,(f(x)=_,其中其中(x A).(x A).2021/8/9 星期一20 互为反函数的函数图象间的关系互为反函数的函数图象间的关系例例2、求函数、求函数y=3x-2（xR）的反函数，并画出原函数和它的反）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。函数的图象。一般地一般地,函数函数y=f(x)的图象和
11、它的反函数的图象和它的反函数y=f-1(x)的的 图象关于直线图象关于直线y=x对称对称,反之反之,如果两个函数的图如果两个函数的图象关于直线象关于直线y=x对称对称,则这两个函数互为反函数则这两个函数互为反函数.若若点点P（a，b）在）在y=f(x)的图象上则的图象上则关于直线关于直线y=x对称的点是对称的点是P1（b，a）必在）必在它的反函数它的反函数y=f-1(x)的的 图象上图象上例例3、求函数、求函数y=x3（xR）的反函数，并画出原来的函数）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。和它的反函数的图象。2021/8/9 星期一21例例:已知函数已知函数y=f(x)具有反函数具有
12、反函数y=f-1(x),并且点并且点(8,1)在在y=f(x)的图象上的图象上,则函数则函数y=f-1(x+4)上必有点上必有点_,y=f-1(x3)+3上必有点上必有点_.2021/8/9 星期一22结论结论:如果一个函数的图象本身关于直线如果一个函数的图象本身关于直线y=x对称对称,则其反函数就为其本身则其反函数就为其本身.2021/8/9 星期一23 练练 习习 1、求函数求函数y=x2（x0）的反函数，并在同一坐标）的反函数，并在同一坐标系画出它们的图象。系画出它们的图象。解：由解：由y=x2（x0）解得）解得 ，所以函数，所以函数y=x2（x0）的反函数是的反函数是2、若点、若点P（
13、1，2）在函数）在函数 的图象上，的图象上，又在它的反函数的图象上，求又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。解：由题意知，解：由题意知，P（1，2）在函数）在函数 的反函的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点对称的性质知，点P1（2，1）也在函数）也在函数 的图象上。因此，得的图象上。因此，得解得，解得，a=3，b=72021/8/9 星期一243.若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且f（x）=（x-1）2（x1），求g（x2）解：函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称 g（x）是f（x
14、）的反函数，g（x）=f-1（x）=2021/8/9 星期一25 1.函数y=f（x）的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。当已知函数y=f（x）的图象时，利用这一性质，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f1（x）的图象。3.点P（a，b）关于直线y=x对称的点是P1（b，a）性质：2、互为反函数的两个函数的单调性相同。2021/8/9 星期一26强化训练:n1.设有三个函数,第一个函数是y=f(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数与第二个函数的图象关于原点对称,那么第三个函数是()nA.y=-f(x)B.y=f-1(-x)nC.y=-f-1(-x)D.y=f-1(x)2021/8/9 星期一27n2.已知2021/8/9 星期一282021/8/9 星期一29