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1、反函数反函数2021/8/9 星期一11.反函数的概念设设v=2 千米千米/小时小时,t表示时间表示时间,s表示位表示位移移.时间时间 t(小时小时)位移位移 s(千米千米)1234位移位移 s(千米千米)时间时间 t(小时小时)246824681234根据条件填图,并写出对应的关系式.假如观察两式22匀速运动匀速运动2021/8/9 星期一21.反函数的概念观察这两个关系式发现：观察这两个关系式发现：在中 t 是自变量，s 是自变量 t 的函数在中 s 是自变量，t 是自变量 s 的函数除此之外,我们还可发现的表达式可由的表达式变换而得,即从式中求出t即可.2021/8/9 星期一31.反函
2、数的概念2021/8/9 星期一4反函数 一般地，函数 y=(x)(xA)中，设它的值域为 C我们根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数 y=(x)(xA)的反函数，记作 X=X=-1-1(y)(yC)(y)(yC)在函数 x=-1(y)中，y 是自变量，x 表示函数但在习惯习惯上，我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函数，为此我们对调函数 x=-1(y)中的字母 x，
3、y，把它改写成 y=y=-1-1(x)(x)(xC)(xC)(在书中，今后凡不特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式)-1(x)是表示反函数的符号是表示反函数的符号,1表表示对应关系示对应关系,-1(x)为一个整体符号为一个整体符号.(课本第61页)2021/8/9 星期一5反函数返回概念2021/8/9 星期一6 从反函数的概念可知,从反函数的概念可知,如果函数y=(x)有反函数y=-1(x),那么函数y=-1(x)的反函数就是y=(x),这就是说,函数y=(x)与y=-1(x)互为反函数.1.反函数的概念概念表明比如,函数 与函数 互为反函数.2021/8/9 星期一7ACyx-1
4、1.反函数的概念反函数的概念概念表明概念表明 从映射的概念可知从映射的概念可知,函数函数y=(x)y=(x)是定义域集合是定义域集合A A到值域集到值域集合合C C的映射的映射,而它的反函数而它的反函数y=y=-1-1(x)(x)是集合是集合C C到集合到集合A A的映射的映射.x表明表明:函数函数y=(x)的定义域和值域与反函数的定义域和值域与反函数y=-1(x)的定义域和值域的关系的定义域和值域的关系如何如何?2021/8/9 星期一8注意注意：2.函数函数y=(x)的定义域的定义域,正好是它的反函数正好是它的反函数y=-1(x)的值域的值域;函数函数y=(x)的值域的值域,正好是它的反函
5、数正好是它的反函数y=-1(x)的定义域的定义域(如下表如下表).函数函数 y=(x)反函数反函数 y=-1(x)定义域定义域AC值域值域CA1.并不是所有函数都有反函数的并不是所有函数都有反函数的,判断一个判断一个函数存在函数存在反函数的条件是反函数的条件是:对定义域内任意对定义域内任意这样的函数就存在反函数这样的函数就存在反函数2021/8/9 星期一9知识应用与解题研究知识应用与解题研究例1 求下列函数的反函数:(1)(xR)(2)(xR)(3)(x0)(4)(xR,x1)想一下如何解?请看解答2021/8/9 星期一101.反函数的概念知识应用与解题研究知识应用与解题研究例1 求下列函
6、数的反函数:(1)(xR);解:由(xR),故,所求的反函数为(xR).(4)的解现在,请同学们看书上对(1)、(2)、(3)、(4)的解答.首先,将y=f(x)看作方程,解出x=f-1(y)(yC);其次，将x,y互换,得到y=f-1(x)(xC).最后,指出反函数的定义域得2021/8/9 星期一11知识应用与解题研究知识应用与解题研究例1 求下列函数的反函数:(4)(xR,x1)解:由(xR,x1)得故,原函数的反函数为:.首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).最后,指出反函数的定义域即,又由2021/8/9 星期一12求
7、反函数的方法步骤求反函数的方法步骤:l判定原函数的值域判定原函数的值域;l用用y表示表示x,得得x=(y)（即反解）（即反解）l交换交换x,y得得y=f-1(x)(即对调）即对调）l原函数的反函数是原函数的反函数是:或写或写 反函数后要写出定义域反函数后要写出定义域2021/8/9 星期一13例例2（3）y=x2(x0)的反函数是的反函数是_ （2）y=x2(x0)的反函数是的反函数是_（1）y=x2(xR)有没有反函数有没有反函数?2021/8/9 星期一14 例例2：求函数：求函数（1 x 0）的反函数的反函数.1 x 0解：解：0 1 0 y 1解得(1 x 0)由(1 x 0)的反函数
8、的反函数是：(0 x 1)0 x2 101 x2 1.2021/8/9 星期一15例例3 3、求函数、求函数的反函数的反函数。解：解：当当 0 0 x x11时时 1 1x x2 2 1 100即即-1-1y y 0 0(1 1y y 0)0)0 x2 1 即即 0 y 1 由由 y=x2 (1 x 0)解得解得(0 y 1)(0 x 1)当当-1 -1 x x 00时时原函数的反函数为原函数的反函数为由由y y=x x2 2 1 1(0(0 x x1)1)解得解得2021/8/9 星期一16（一）课堂练习（一）课堂练习（1）函函数数y=2|x|在在下下列列哪哪个个定定义义区区间间内内不不存存
9、在在反反函函数？数？（）（A）2，4；（B）-4，4 （C）0，+)（D（-，0B（2）已知已知y=，x-4，0,求出它的反求出它的反函数函数,并指明定义域并指明定义域.2021/8/9 星期一173.填空：进入本节课小结2021/8/9 星期一181.反函数的概念总结提炼总结提炼1.了解了反函数的概念2.知道了反函数的求法布置作业布置作业课本 P64 第1,2题.下课下课首先首先,将将y=(x)看作方程看作方程,解解出出x=-1(y)(y C);其次，其次，将将x,y互换互换,得到得到y=-1(x)(x C).最后最后,指出反函数的定义域指出反函数的定义域2021/8/9 星期一192021/8/9 星期一20