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1、反函数的概念黄梅国际育才高级中学黄梅国际育才高级中学2021/8/9 星期一11.反函数的概念设设v=2 千米千米/小时小时,t表示时间表示时间,s表示位表示位移移.时间时间 t(小时小时)位移位移 s(千米千米)1234位移位移 s(千米千米)时间时间 t(小时小时)246824681234根据条件填图,并写出对应的关系式.假如观察两式22匀速运动匀速运动2021/8/9 星期一21.反函数的概念观察这两个关系式发现：观察这两个关系式发现：在中 t 是自变量，s 是自变量 t 的函数在中 s 是自变量，t 是自变量 s 的函数除此之外,我们还可发现的表达式可由的表达式变换而得,即从式中求出t
2、即可.又例如这时2021/8/9 星期一31.反函数的概念得到反函数的概念这时,32,8,6,通过式子中任何一个值在对于这样yxy-=1,0 中都有唯一的值和它对应。在 X ,),8,6(,的函数作为作为自变量可以把也就是说yxyy2021/8/9 星期一4反函数 一般地，函数 y=(x)(xA)中，设它的值域为 C我们根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数 y=(x)(x
3、A)的反函数，记作 X=-1(y)(y C)在函数 x=-1(y)中，y 是自变量，x 表示函数但在习惯习惯上，我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函数，为此我们对调函数 x=-1(y)中的字母 x，y，把它改写成 y=-1(x)(x C)(在书中，今后凡不特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式)-1(x)是表示反函数的符号是表示反函数的符号,1表表示对应关系示对应关系,-1(x)为一个整体符号为一个整体符号.例如课本第61页2021/8/9 星期一5反函数返回概念2021/8/9 星期一6 从反函数的概念可知,从反函数的概念可知,如果函数y=(x)有反函数y=-1(x),那么函数
4、y=-1(x)的反函数就是y=(x),这就是说,函数y=(x)与y=-1(x)互为反函数.1.反函数的概念概念表明比如,函数 与函数 互为反函数.(2)映射2021/8/9 星期一7 从映射的概念可知,1.反函数的概念概念表明 从反函数的概念可知,如果函数y=(x)有反函数y=-1(x),那么函数y=-1(x)的反函数就是y=(x),这就是说,函数y=(x)与y=-1(x)互为反函数.从映射的概念可知,函数y=(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y=-1(x)是集合C到集合A的映射.看图示2021/8/9 星期一8ACyx-11.反函数的概念概念表明 从映射的概念可知,函数y=
5、(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y=-1(x)是集合C到集合A的映射.x(3)表明:函数y=(x)的定义域和值域与反函数y=-1(x)的定义域和值域的关系如何?2021/8/9 星期一91.反函数的概念概念表明 从反函数的概念可知,如果函数y=(x)有反函数y=-1(x),那么函数y=-1(x)的反函数就是y=(x),这就是说,函数y=(x)与y=-1(x)互为反函数.从映射的概念可知,函数y=(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y=-1(x)是集合C到集合A的映射.函数y=(x)的定义域,正好是它的反函数y=-1(x)的值域;函数y=(x)的值域,正好是它
6、的反函数y=-1(x)的定义域(如下表).函数 y=(x)反函数 y=-1(x)定义域AC值域CA再看反函数的概念2021/8/9 星期一10 一般地，函数 y=(x)(xA)中，设它的值域为 C我们根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数 y=(x)(xA)的反函数，记作 X=-1(y)(y C)在函数 x=-1(y)中，y 是自变量，x 表示函数但在习惯习惯上，我们一般用
7、 x 表示自变量，用 y 表示函数，为此我们对调函数 x=-1(y)中的字母 x，y，把它改写成 y=-1(x)(y C)(在书中，今后凡不特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式)反函数也就是说2021/8/9 星期一111.反函数的概念概念表明也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程y=f(x)(xA)x=(yC)反解用 y 把 x 表示出来如果那么判断x=(yC)对调字母 x，y 对调y=(xC)知识应用与解题研究2021/8/9 星期一12（1）不是每一个函数都有反函数；不是每一个函数都有反函数；一个函数有反函数的充要条件是它一个函数有反函数的充要条件是它相
8、应的映射是一一映射；相应的映射是一一映射；（2）原函数与反函数的法则互逆；它原函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数；们互为反函数；（4）原函数与反函数的定义域与值域互换。）原函数与反函数的定义域与值域互换。（3）反函数也是函数，因为它是符合函）反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；数定义的；对反函数定义的理解对反函数定义的理解2021/8/9 星期一131.反函数的概念知识应用与解题研究知识应用与解题研究例1 求下列函数的反函数:(1)(xR)(2)(xR)(3)(x0)(4)(xR,x1)想一下如何解?请看解答2021/8/9 星期一141.反函数的概念知识应用与解题研究知识应用与解题研
9、究例1 求下列函数的反函数:(1)(xR);解:由(xR),故,所求的反函数为(xR).(4)的解现在,请同学们看书上对(1)、(2)、(3)、(4)的解答.首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).最后,指出反函数的定义域得2021/8/9 星期一151.反函数的概念知识应用与解题研究知识应用与解题研究例1 求下列函数的反函数:(4)(xR,x1)解:由(xR,x1)得故,所求的反函数为.首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).最后,指出反函数的定义域即,又由2021/8/9 星期一161.反函数的概念演练反馈3.填空：解2021/8/9 星期一171.反函数的概念演练反馈3.填空：进入本节课小结2021/8/9 星期一181.反函数的概念总结提炼总结提炼1.了解了反函数的概念2.知道了反函数的求法布置作业布置作业课本 P64 第1,2题.下课首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).最后,指出反函数的定义域2021/8/9 星期一19谢谢大家，再见！2021/8/9 星期一20