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1、空间向量空间向量在立体几何证明中的应用在立体几何证明中的应用新登中学高二数学备课组新登中学高二数学备课组2021/8/11 星期三1 前段时间我们研究了用空间向量求前段时间我们研究了用空间向量求角角(包括线线角、线面角和面面角包括线线角、线面角和面面角)、求距离求距离(包括线线距离、点面距离、线包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。解决立体几何中的有关证明问题。2021/8/11 星期三2立体几何中的有关证明问题，大致可分为立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行平行”“垂直垂直”
2、两大类：两大类：平行：平行：线面平行、面面平行线面平行、面面平行垂直：垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直线线垂直、线面垂直和面面垂直2021/8/11 星期三3平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知、已知b，a不在不在内，如果内，如果ab，则，则a。2、如果、如果a，a，则，则。3、如果、如果ab，a，则，则b。（课本。（课本P22.6）4、如果、如果a，b，ab，则，则。2021/8/11 星期三4 一、一、用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 2021/8/11 星
3、期三5GAEDCBFHMN例例1.如图：如图：ABCD与与ABEF是正方形，是正方形，CB平面平面ABEF，H、G分别是分别是AC、BF上上的点，且的点，且AH=GF.求证：求证：HG平面平面CBE.MHAB,NG AB MHNGAH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG2021/8/11 星期三6GAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面平面HPG平面平面CBE HG平面平面CBE 2021/8/11 星期三7GAEDCBFHozy证明：由已知得：证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故两两垂直，故可建立如图所示的空可建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系o-xyz.x
4、设正方形边长为设正方形边长为1,AH=FG=a,则则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故故 ,而平面而平面CBE的法的法向量为向量为 (0,1,0),故故 ,而而 平面平面CBE 故故 HG平面平面CBE 2021/8/11 星期三8RDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点.求证：求证：MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面AC2021/8/11 星期三9DBCAA1QPN
5、MD1C1B1作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1，作作NN1 QP1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面AC2021/8/11 星期三10DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又，又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)所以向量所以
6、向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面AC2021/8/11 星期三11DCBAD1C1B1A1例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证：平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D12021/8/11 星期三12DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的证明：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为
7、1，则向量，则向量设平面设平面BDA1的法向的法向量为量为则有则有x+z=0 x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量为的法向量为2021/8/11 星期三13同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量为的法向量为则显然有则显然有即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于量
8、积等于0，利用解方程组的方法求出，利用解方程组的方法求出平面法向量平面法向量(在解的过程中可令其中一在解的过程中可令其中一个未知数为某个数个未知数为某个数)。例例1 1、2 2与例与例3 3在利用法向量时有何不同在利用法向量时有何不同？2021/8/11 星期三14DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中点中点.求证：求证：平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平
9、面平面BDGF2021/8/11 星期三15DCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的略证：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则求得平面则求得平面AEF的法向的法向量为量为求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为显然有显然有故故 平面平面AEH平面平面BDGF2021/8/11 星期三16 二、二、用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 2021/8/11 星期三17DACBBCDAFEXYZ2021/8/11 星期三18ADCB求证：平面求证：平面MNC平面平面PBC；求点求点A到平面到平面MNC的距离。的距离。已知已知ABCD是矩形，是矩形
10、，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是分别是AD、PB的中点。的中点。PMN练习练习12021/8/11 星期三21ABCDMXYZ2021/8/11 星期三22ABCDMGXYZ2021/8/11 星期三23ABCFEDXYZ2021/8/11 星期三24ABCFEDXZ2021/8/11 星期三25ABCFEDXYZ2021/8/11 星期三26小结：小结：利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很近年来很“热热”的话题，其原因是它把有关的的话题，其原因是它把有关的“证明证明”转化为转化为“程序化的计算程序化的计算”。
11、本课时讲的内容是立体几。本课时讲的内容是立体几何中的证明何中的证明“线面平行、垂直线面平行、垂直”的一些例子，结合我们的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路套路”。利用向量解题利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。及写出有关点的坐标。用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主趋势，而向量是用代
12、数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。体几何的基础。2021/8/11 星期三27DCBAD1C1B1A1PFE作业：作业：1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分别是分别是A1D1、BB1的中点，问的中点，问:在边在边CC1上是否存在一上是否存在一点点P，使，使A1C平面平面EFP？若存在，求？若存在，求出出P的位置；若不的位置；若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。2021/8/11 星期三28NMPDCBA2.在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，底底ABCD是正方形，是正方形，且且PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD =DA,M、N分别分别 是是PA、BD上的上的 动点，动点，且且PM:MA=BN:ND。问：。问：直线直线MN与平面与平面PBC有什有什么关系？请证明你的结论么关系？请证明你的结论.2021/8/11 星期三29