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1、2.3 数学归纳法数学归纳法(1)执教：太仓市实验高级中学 王树锋2021/8/11 星期三1问题问题1：有一台晚会，若知道晚会的第：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？会都是唱歌？问题问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题3：有一台晚会，若知道第一个节目：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的是唱歌，如果一个节目是
2、唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？歌？一、设置情景，导学探究：一、设置情景，导学探究：2021/8/11 星期三2a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d问题问题5:如何证明如何证明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)问题4:2021/8/11 星期三3所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么求证求证问题4：2021/8/11 星期三4二、挖掘内涵、形成概念：二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们
3、的正确性:(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N*，k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当
4、n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。2021/8/11 星期三5注意注意 1 1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证
5、明定理等加以证明2021/8/11 星期三6证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。假设假设n=k(kN,k1)n=k(kN,k1)时等式成立时等式成立,即：即：1+3+5+(2k-1)=k 1+3+5+(2k-1)=k2 2，当当n=k+1n=k+1时：时：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2，所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由和和可知，对可知，对nN nN，原等式都成立。，原等式都成立。例、用
6、数学归纳法证明例、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n1+3+5+(2n-1)=n2 2 （nN nN）.三、建模应用,能力建构：2021/8/11 星期三7变式1：2021/8/11 星期三8变式变式2 2：2021/8/11 星期三9变式变式3 3：2021/8/11 星期三10变式变式4 4：2021/8/11 星期三11例例:用数学归纳法证明用数学归纳法证明重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。2021/8/11 星期三12四、四、(选选)反馈强化，分层评价反
7、馈强化，分层评价:1.用数学归纳法证明 时，由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子是（）A B C D 2021/8/11 星期三13B 时等式成立2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 为偶数）时命题真，则还需要用归纳假设再证（）A 时等式成立C 时等式成立D 时等式成立2021/8/11 星期三14五、归纳总结、形成网络五、归纳总结、形成网络1、数学归纳法核心(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明2.“观察、猜想、证明”是解决与自然数有关的命题的有效途径.2021/8/11 星期三15作业作业:一、一、P91 CT 1CT 1、2 2、4 4二、请你设计证明方法：二、请你设计证明方法：1.1.证明一个命题对证明一个命题对n=2,4,6,8,n=2,4,6,8,成立成立;2.2.证明一个命题对所有正整数都成立证明一个命题对所有正整数都成立;2021/8/11 星期三162021/8/11 星期三17