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1、第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法基础梳理基础梳理1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集如下表2021/8/8 星期日1 2021/8/8 星期日2,3.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0;0等价于（x-a）(x-b)0；(2)8x-116x2.分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.2021/8/8 星期日4解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1-,
2、x2=1+,所以原不等式的解集是x|1-x1+(2)方法一：原不等式即为16x2-8x+10,其相应方程为16x2-8x+1=0,=(-8)2-416=0,上述方程有两相等实根x=14,结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知，原不等式的解集为R.2021/8/8 星期日5方法二：8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20,xR,不等式的解集为R.举一反三举一反三学后反思 一般地，对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.1.设mR,解关于x的不等式 解析：分类讨论：(1)当m=0时，不等式恒成立，不等式的解集为R;(2)当m0时，原不等式化
3、为(mx+2)(mx-1)0，解得 2021/8/8 星期日6(3)当m0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)0，解得 综上,当m=0时，不等式的解集为R;当m0时，不等式的解集为(,);当m0时，不等式的解集为(,).题型二题型二 三个二次问题三个二次问题【例2】函数f(x)=x2+ax+3.(1)当xR时，f(x)a恒成立,求a的取值范围；(2)当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.分析 设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)a恒成立问题转化为g(x)0恒成立问题：2021/8/8 星期日7 （1）中xR时,g(x)0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故
4、0;(2)中求当x-2,2时，g(x)0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？解 （1）xR时，有x2+ax+3-a0恒成立，则有=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,-6a2.(2)方法一：当x-2,2时，g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论：2021/8/8 星期日8如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有=a2-4(3-a)0,即-6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x-2,+)时，g(x)0,即 0,a2-4(3-a)0,a2或a-6,x=-2,即 -4 g(-2)0,4-2a+3-a0 a ,解得a.2021/8/8 星期日9如
5、图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0,即 0,a2-4(3-a)0 a2或a-6,x=-2 即 -2,a2,即a-4时，f(x)min=f(2)=2a+7.令2a+7a,则a-7,-7a-4.当-4时,f(x)min=f(-2)=7-2a.令7-2aa时,则a ,a.由,得-7a2.即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.2021/8/8 星期日11学后反思(1)f(x)=ax2+bx+c0(a0)对xR恒成立时，a0只要求满足 0 即可.另外：ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0,0;ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0,0;ax2+bx+c0(a
6、0)恒成立 a0,0.(2)区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值f(x)min02021/8/8 星期日12举一反三举一反三2.不等式 对于xR恒成立，则a的取值范围是.解析：(1)当a=2时，不等式恒成立；(2)由 解得-2a2.综上,-2a2.答案：(-2,22021/8/8 星期日13题型三题型三 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了
7、减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.2021/8/8 星期日14解 设税率调低后的税收总收入为y元,.1则y=2 400m(1+2x%)(8-x)%=(x2+42x-400)(0 x8).4依题意,得y2 400m8%78%,即 (x2+42x-400)2400m8%78%.7整理得x2+42x-880,解得-44x2.10根据x的实际意义,知0 x8,所以00),易知1 s走了 =(m),由题意得 x
8、22t0+15,即 ，解得0 x23.所以卡车的最大限速为23 km/h.易错警示易错警示【例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.2021/8/8 星期日17错解 ax2-（a+1）x+10 x2-(1+)x+1a0,即(x-1)(x-)1,即0a1时,不等式解集为x|1x .当 1或a0时,不等式解集为x|x1.错解分析 上述错解有如下错误：应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论.讨论时漏掉了a=0和a0两种情况,在比较 与1的大小时,又忽视了 =1这种情况.此外应注意如下错误:步骤要规范完整,分类讨论的试题要有总结性的语言,如“综上所述，有”；再有，由于关于x的不等式是按a的取
9、值分类讨论的,故最后结论不应取并集,应分别叙述;若是按x分类讨论的,则最后应取并集,故何时取交集、并集还是分别说明应引起重视.2021/8/8 星期日18正解 若a=0,原不等式-x+11;若a0 x1;若a0，原不等式x-(x-1)1时，式（*）x1;当0a1时，式（*）1x .综上所述，当a0时,不等式解集为x|x1;当a=0时，不等式解集为x|x1;当0a1时，不等式解集为x|1x1时，不等式解集为x|1ax1.2021/8/8 星期日19考点演练考点演练解析：由题意知a0,可设 而a0,-4a0的解集为（1,2）,若f(x)的最大值小于1，求a的取值范围.2021/8/8 星期日201
10、1.(2010厦门质检)若不等式 对满足-2m2的所有m都成立，求实数x的取值范围.解析:设 要使f(m)0在-2m2上恒成立，只需 即 或 2021/8/8 星期日2112.(2009南京模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc4的解集为x|xb,所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b1,由根与系数关系得 1+b=,a=1,1b=,解得 b=2.2021/8/8 星期日22(2)ax2-(ac+b)x+bc0 x2-(2+c)x+2c0,即(x-2)(x-c)2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc;当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc;当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24