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1、2.32.3等差数列的前等差数列的前n n项和和2021/8/8 星期日1有一次，老师和高斯经过有一次，老师和高斯经过建筑工地，建筑工地上放建筑工地，建筑工地上放着一堆圆木，从上到下每着一堆圆木，从上到下每层的数目分别为层的数目分别为1 1，2 2，3 3，100.100.老师问：老师问：高斯，你知道高斯，你知道共有多少共有多少根圆木根圆木吗？吗？问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100=？创设情景创设情景上页上页下页下页2021/8/8 星期日2高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他他发发现现这这100100个数可
2、以分为个数可以分为5050组：组：第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每每组组数数的的和和均均相相等等，都都等等于于101101，5050个个101101就就等等于于50505050了了。高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化为乘法运算，迅速准确得到了结果化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？下页下页上页上页2021/8/8 星期日3n (n-1)(n-2)2 1分析：这分析：这其实是求其实是求一
3、个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.启启 发发倒序相加法倒序相加法上页上页下页下页2021/8/8 星期日4探探 究究 高斯的算法高斯的算法妙处妙处在哪里？这在哪里？这种方法能够推广到一般等差数种方法能够推广到一般等差数列的前列的前n n项和吗？项和吗？上页上页下页下页2021/8/8 星期日5合合 作作 探探 究究已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为an，求前求前n项和项和Sn.如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？思考：还有别的推导方法吗？上页上页下页下页2021/8/8 星期日6已知等差数列已知等差数列 an
4、 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为an，求前求前n项和项和Sn.上页上页下页下页 另另 解解 +得得倒序相加法倒序相加法2021/8/8 星期日7公公 式式 变变 形形思考：比较这两个公式，如何记忆？从哪些角度反映等差数列性质？上页上页下页下页2021/8/8 星期日8等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：含含a1 和和d求求 和和 公公 式式含含a1 和和an公式记忆公式记忆上页上页公式应用公式应用2021/8/8 星期日9公公 式式 记记 忆忆对比对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前等差数列前 n 项和公式项和公
5、式.na1anna1a1(n-1)d将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.下页下页返回返回2021/8/8 星期日10公公 式式 应用应用练一练上页上页下页下页2021/8/8 星期日11例例 题题 讲讲 解解 例例1 1、20002000年年1111月月1414日教育部下发了关于在日教育部下发了关于在中小学实施中小学实施“校校通校校通”工程的通知，某市据工程的通知，某市据此提出了实施此提出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小学建成不年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测
6、算，同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元。为了保证工万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年年内，该市在内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少工程中的总投入是多少？分析：分析：找关键句；找关键句；求什么，如何求？求什么，如何求？上页上页下页下页2021/8/8 星期日12解：解：依题意得，该市在依题意得，该市在“校校通校校通”工程的经费每年工程的经费每年比上一
7、年增加比上一年增加5050万元，所以每年投入的资金构成等万元，所以每年投入的资金构成等差数列差数列 a an n，且，且a a1 1=500,=500,d d=50,=50,n n=10.=10.那么，到那么，到20102010年（年（n=10),n=10),投入的资金总额为投入的资金总额为答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.上页上页下页下页2021/8/8 星期日13例例 题题 点点 评评解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：（1 1）仔细阅读题目，审清题意；）仔细阅读题目，审清题意；（2 2）提取相关数学信息，建立数学模型（本题为等）提取相关数学信息，
8、建立数学模型（本题为等差数列模型）；差数列模型）；（3 3）解决此数学模型所体现的数学问题（本题是根）解决此数学模型所体现的数学问题（本题是根据首项和公差选择前据首项和公差选择前n n项和公式进行求解）；项和公式进行求解）；（4 4）还原问题（回到实际问题中作答）。）还原问题（回到实际问题中作答）。易错方面：易错方面：（1 1）审题不清）审题不清（如：把前（如：把前n n项和与最后一项混淆）项和与最后一项混淆）（2 2）项数）项数（3 3）忘记答或写单位）忘记答或写单位上页上页下页下页2021/8/8 星期日14例例 题题 讲讲 解解例例2 2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an的前的前1
9、010项的和是项的和是310310，前，前2020项的和是项的和是12201220，由这些条件能确定这个等差，由这些条件能确定这个等差数列的前数列的前n n项和的公式吗？项和的公式吗？分析：方分析：方程思想和程思想和前前n项和项和公式相结公式相结合合解：由题意知：解：由题意知：S10310，S201220，将，将它们代入公式它们代入公式得到得到还有其它还有其它方法吗？方法吗？方程思想上页上页下页下页2021/8/8 星期日15一一 题题 多多 解解例例2 2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an的前的前1010项的和是项的和是310310，前，前2020项的和是项的和是12201220，由这
10、些条件能确定这个等差，由这些条件能确定这个等差数列的前数列的前n n项和的公式吗？项和的公式吗？上页上页下页下页2021/8/8 星期日16一一 题题 变变 式式例例2 2变式、已知一个等差数列变式、已知一个等差数列an的前的前1010项的和项的和是是310310，前，前2020项的和是项的和是12201220，由这些条件能确定这，由这些条件能确定这个等差数列的前个等差数列的前3030项和的公式吗？项和的公式吗？【另解】【另解】由等差数列的性质，可推得：由等差数列的性质，可推得：成等差数列成等差数列 解得：前解得：前3030项的和为项的和为2730.2730.整整体体思思想想点评：点评：上述方
11、法没有列出方程求出具体的个别量，而上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用数学中的是恰当地运用数学中的整体思想整体思想来快速求出，要来快速求出，要注意注意体会体会这种思想在数学中的运用这种思想在数学中的运用.上页上页下页下页2021/8/8 星期日17变变 式式 提提 高高整体思想上页上页下页下页2021/8/8 星期日18知知 识识 小小 结结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式；2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 3.3.公式的应用公式的应用 ；上页上页下页下页（两个）（两个）倒序相加法倒序相加法(知三求一知三求一)2021
12、/8/8 星期日19例例 题题 讲讲 解解当当n 1n 1时：时：当当n=1n=1时：时：也满足也满足式式.上页上页下页下页2021/8/8 星期日20变变 式式 训训 练练当当n 1n 1时：时：当当n=1n=1时：时：不满足不满足式式.点评：点评：分分类类讨讨论论思思想想上页上页下页下页2021/8/8 星期日21【深化探究】如果一个数列如果一个数列 的前的前n n项和为项和为其中其中p p、q q、r r为常数，且为常数，且p0p0，那么这个数列一定是等，那么这个数列一定是等差数列吗差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？如果是，它的首项和公差是什么？（1）若）若r0，则这个数列一定不是
13、等差数列，则这个数列一定不是等差数列.（2）若）若r0，则这个数列一定是等差数列，则这个数列一定是等差数列.结论结论：数列是等差数列等价于：数列是等差数列等价于常数项为常数项为0的关于的关于n的二次型的二次型函数函数上页上页下页下页2021/8/8 星期日22例例 题题 讲讲 解解【解析】【解析】由题意知，等差数列的公差为由题意知，等差数列的公差为 于是，当于是，当n n取与取与 最接近的整数即最接近的整数即7 7或或8 8时，时，取最大值取最大值.函数思想函数思想还有其它还有其它方法吗？方法吗？上页上页下页下页2021/8/8 星期日23例例 题题 讲讲 解解从等差数从等差数列的通项列的通项公式出发公式出发来分析来分析上页上页下页下页2021/8/8 星期日24【本节小结】1.等差数列的前n项和公式3.推导等差数列前n项和公式方法：倒序相加法4.本节基本思想：方程思想函数思想分类讨论思想整体思想上页上页下页下页2021/8/8 星期日25作业1.课本P52页练习 22.课本P52页习题2.3A组 23.做好下面方面：熟记公式体会本节数学思想方法首页首页下页下页2021/8/8 星期日262021/8/8 星期日27